Pearson Korelasyonu

Açılış sahnesi

Ekimin ikinci salısı, Malatya. Romatoloji uzmanı Cavidan Hanım bir hafta önce yöntem satırına kovaryansı yazmaktan vazgeçmişti; 110 sayısını hangi birimle anlatacağını bulamamıştı. Bu sabah masaya bir sütun daha geldi. Poliklinik hemşiresi vizit formlarından aynı altı hastanın sabah ağrısını çıkarmış, sıfırdan ona kadar işaretlenen bir sayısal cetvelden: 2, 4, 3, 5, 7 ve 6.

Cavidan Hanım'ın sorusu artık iki taraflı. Tutukluğun C-reaktif proteinle mi, yoksa hastanın kendi bildirdiği ağrıyla mı daha sıkı yürüdüğünü öğrenmek istiyor; protokole hangisinin ikincil sonuç olarak gireceği buna bağlı. Caner iki kovaryansı hesaplamış bile: belirteçle 110, ağrıyla 59. "Demek ki belirteç daha sıkı bağlı" diyor. Cavidan Hanım başını sallamıyor, çünkü bir dakika ile bir litrede miligramın çarpımını bir dakika ile bir cetvel puanının çarpımıyla kıyaslamanın ne demek olduğunu henüz kimse söyleyemedi.

Bu derste ne olacak

Kovaryansı iki standart sapmaya bölerek Pearson katsayısını Caner'in altı hastasında elle bulacaksın. Katsayının neden −1 ile 1 arasına hapsolduğunu geçen dersin fark varyansı formülünden çıkaracak, sonra ağrı sütunuyla birimden bağımsızlığın ne kazandırdığını göreceksin. Ardından katsayının karesini, tek bir hastanın onu ne kadar sürüklediğini ve altı kişiyle ne kadar belirsiz kaldığını hesaplayacaksın.

Sıfır noktası

İki ölçümün birlikte değişmesine çok önce korelasyon adı verilmişti (L01-P03-M01-D01); o ders ilişkinin varlığını ve yönünü konuşmuş, gücünü bir sayıya bağlamamıştı. Geçen derste o gücün ham hâli olan kovaryansı kurdun ve işaretinin okunabildiğini, büyüklüğünün ise birime esir olduğunu gördün. Tutukluğu saatle yazınca 110, 1,83'e inmişti.

Birimi silmenin aracı da elinde. Normal dağılım dersinde (L02-P02-M02-D04) bir ölçümün ortalamadan kaç standart sapma uzakta durduğunu z-puanı olarak yazmıştın; değerden ortalamayı çıkarıp standart sapmaya bölmek dakikayı da miligramı da götürür. Bu derste her hastanın iki ölçümünü önce z-puanına çevirecek, çapraz çarpımları o birimsiz sayılarla kuracaksın.

Mekanizma

Kovaryansı ölçeklemek

Geçen dersin iki varyansı 1.330 ve 23,6 idi. Standart sapmalar bunların karekökü: tutuklukta yaklaşık 36,47 dakika, belirteçte yaklaşık 4,86. Kovaryansı bu ikisinin çarpımına bölmek, her sapmayı kendi yayılımına bölüp sonra çarpmakla aynı işi görür. Çarpım √(1.330 × 23,6) = √31.388 ≈ 177,17 ve katsayı 110 ÷ 177,17 ≈ 0,621.

Aynı sonuca z-puanlarından da ulaşabilirsin. Altıncı hastanın tutukluğu 55 ÷ 36,47 ≈ 1,51 standart sapma yukarıda, belirteci 8 ÷ 4,86 ≈ 1,65 yukarıda; çarpımları yaklaşık 2,48. Altı çarpımın toplamı 1,13 − 0,51 + 0,34 + 0 − 0,34 + 2,48 ≈ 3,10 ve 3,10 ÷ 5 ≈ 0,621. Hangi yoldan gidersen git, dakikalar ve miligramlar yoldan çekilmiş olur.

Sınırlar nereden geliyor

Geçen dersin sonunda iki ölçümün farkının varyansını kurmuştun: iki varyansın toplamından kovaryansın iki katı çıkıyordu. Aynı kuralı iki z-puanı sütununa uygula. Her z-puanı sütununun varyansı tanımı gereği 1, ikisinin kovaryansı da tam olarak r. Fark sütununun varyansı 1 + 1 − 2r = 2 − 2r çıkar.

Bir varyans hiçbir zaman eksi olamaz, çünkü kareler toplamından gelir. O hâlde 2 − 2r sıfırdan küçük olamaz ve r 1'i geçemez. Toplam için aynı akıl yürütme 2 + 2r verir ve r −1'in altına inemez. Sınıra tam olarak dokunmak ise fark ya da toplam sütununun varyansının sıfır olmasını, yani her hastada iki z-puanının birbirine eşit ya da birbirinin tam tersi olmasını gerektirir. Bu da bütün noktaların eğimi artı ya da eksi olan tek bir düz çizginin üstünde durduğu anlamına gelir.

Matematikte bu sonucun genel adı Cauchy–Schwarz eşitsizliği: iki dizinin çarpımlarının toplamı, kareler toplamlarının çarpımının karekökünü aşamaz. Sezgisi yeterli: bir ölçüm ötekini ne kadar sadık izlerse izlesin, kendisinden daha sadık izleyemez. Caner'in altı hastası 0,621'de, yani artı yarıda ve sıfırdan çok bire yakın.

Sınırlar kuramsal bir tavan, bu iki sütun için ulaşılabilir bir tavan değil. Belirteç değerlerini tutukluk sırasına göre dizsen bile, yani en kısa tutukluğa en düşük belirteci verip öyle devam etsen, noktalar düz bir çizgi üstüne oturmadığı için r ancak yaklaşık 0,99'a çıkar; ters sırayla −0,91'e iner. İki dağılımın biçimi birbirine benzemedikçe ±1'e hiç varılamaz.

Aynı cetvelde iki ilişki

Şimdi Caner'in 59'unu aynı yoldan ölçekle. Ağrı puanlarının ortalaması 27 ÷ 6 = 4,5. Tutukluk sapmalarıyla çarpımlar 100, 15, 22,5, 0, 75 ve 82,5; toplam 295 ve 295 ÷ 5 = 59. Ağrının sapma kareleri toplamı 17,5, varyansı 17,5 ÷ 5 = 3,5. Katsayı 59 ÷ √(1.330 × 3,5) = 59 ÷ √4.655 ≈ 59 ÷ 68,23 ≈ 0,865.

Tablo tersine döndü. Kovaryansı küçük olan çift daha sıkı yürüyor, çünkü ağrı cetveli dar bir aralıkta yayılıyor ve bu dar yayılım 59'u küçük göstermişti. Ağrı sütununda eksi bölgeye düşen hiçbir hasta yok; ikinci hastanın çarpımı bile 15 ile artı. Belirteç sütununda ise iki hasta ters yönde duruyordu. Katsayılar artık aynı birimsiz cetvelde ve Cavidan Hanım'ın sorusu ilk kez cevaplanabilir bir soru.

Karenin anlamı

Katsayının karesi ayrı bir soruya cevap verir. 0,621 × 0,621 ≈ 0,386: belirtecin altı hasta arasındaki yayılımının yaklaşık beşte ikisi, tutukluğa en iyi uyan düz çizgiyle birlikte hareket ediyor. Geri kalan beşte üçlük yayılım o çizginin söyleyemediği bir şey. Ağrı için kare 0,865 × 0,865 ≈ 0,75; dörtte üç.

Kare almanın bir yan etkisi var: orta büyüklükteki katsayılar karede küçük görünür. 0,5'lik bir r, paylaşılan yayılımın yalnız dörtte biri demek; 0,3'lük bir r yüzde dokuz. Bir makalede "güçlü korelasyon" okuduğunda katsayının karesini aklından hesaplamak iddiayı yerine oturtur. O çizginin nasıl çizildiği ve eğiminin ne anlama geldiği bir sonraki modülün, regresyonun konusu olacak.

Tek hasta, tek katsayı

Geçen derste kovaryansın beşte dördünün altıncı hastadan geldiğini görmüştün. Katsayıya etkisi daha çarpıcı. O hastayı çıkarınca kalan beşin ortalamaları 49 dakika ve 8,4; çapraz çarpımlar toplamı 22, kovaryans 22 ÷ 4 = 5,5. Standart sapmalar yaklaşık 27,48 ve 3,21, çarpımları 88,18 ve katsayı 5,5 ÷ 88,18 ≈ 0,06. Bir kişi 0,62'yi neredeyse sıfıra indiriyor.

Bu, altıncı hastanın verisinin yanlış olduğunu göstermez; tutukluğu uzun, belirteci yüksek bir hasta gerçekten olabilir. Gösterdiği şey, altı noktalık bir katsayının bir bulgudan çok bir noktanın konumu olduğu. Değerleri sıralarına çevirerek bu çekimi zayıflatan bir yöntemi ve eğri bir ilişkiyi düz çizgi arayan bir sayının nasıl kaçırdığını bu modülün ilerleyen dersleri işleyecek.

Altı kişiyle ne kadar emin olunur

Örneklemden hesaplanan r, evrendeki katsayının bir tahmini ve bu tahminin dağılımı simetrik değil. Sınıra yaklaştıkça sıkışır: 0,9'dan yukarı kayacak yer azdır, aşağı kayacak yer çoktur. Ronald Fisher 1915'te Biometrika'da örneklem katsayısının dağılımını çıkardı ve bu çarpıklığı gösterdi; bugün aralık hesabında kullanılan dönüşüm onun adını taşır.

Caner'in verisinde 1,621 ÷ 0,379 ≈ 4,28, doğal logaritması yaklaşık 1,45 ve yarısı z ≈ 0,726. Standart hata 1 ÷ √3 ≈ 0,577. Yüzde 95'lik aralık 0,726 ± 1,96 × 0,577, yani −0,40 ile 1,86. Katsayı ölçeğine dönünce −0,38 ile 0,95 arası çıkıyor. Bu aralık zayıf bir ters ilişkiden neredeyse kusursuz bir doğru ilişkiye kadar her şeyle uyumlu. Aynı r altmış hastadan gelseydi aralık yaklaşık 0,44 ile 0,76 olurdu.

Anlamlılık ile büyüklük

Hipotez testi derslerinde p değerinin bir etkinin gerçekliğiyle ilgili sınırlı bir bilgi taşıdığını, büyüklüğü hakkında ise sessiz kaldığını görmüştün. Korelasyonda bu ayrım özellikle keskin. Caner'in altı hastasında r = 0,621 için iki yönlü p yaklaşık 0,19. Aynı katsayı altmış hastadan gelseydi p binde birin çok altında kalırdı. Bin hastalık bir kayıtta ise 0,1'lik bir katsayı, yani yüzde birlik paylaşılan yayılım, p ≈ 0,002 ile anlamlı çıkar.

p değeri r'nin sıfır olmadığına dair kanıtı ölçer, ilişkinin klinikte işe yarayacak kadar güçlü olup olmadığını ölçmez. Bir makale "anlamlı korelasyon" yazıp katsayıyı vermiyorsa büyüklük hakkında hiçbir şey öğrenmemiş olursun.

Klinik gerçeklik

Cavidan Hanım protokole ikincil sonuç olarak iki ölçümü de yazmaya karar veriyor, ama gerekçe satırına katsayıları koymuyor. Altı hastanın 0,62 ve 0,87'si, aralıkları üst üste bindiği için hangisinin daha sıkı bağlı olduğunu söylemeye yetmiyor; söyledikleri tek şey hesabın artık yapılabilir olduğu. Çalışma bittiğinde yüzlerce ölçüm çiftinden gelecek katsayılar güven aralıklarıyla birlikte raporlanacak.

Hekimlerin dört şeyi yan yana okuması gerekir: katsayının kendisi, karesi, aralığı ve saçılım grafiği. Grafik olmadan tek bir uç noktanın, iki ayrı hasta grubunun ya da eğri bir ilişkinin katsayıyı nasıl şekillendirdiğini göremezsin. Katsayı ne kadar yüksek olursa olsun hangi ölçümün ötekine yol açtığını da söylemez; bu, akademinin korelasyonla nedenselliği ayırdığı ilk dersten bu yana değişmedi.

Kendini sına

1. Belirteç litrede mikrogram olarak yazılsaydı Pearson katsayısı kaç olurdu? Kovaryansta ne değişirdi?
2. Tutukluk ile ağrı arasındaki katsayıyı z-puanlarından yeniden hesapla ve 0,865'i bul.
3. r = −0,7 olan bir çift ile r = 0,4 olan bir çiftten hangisi daha fazla yayılım paylaşır?
4. Neden 2 − 2r hiçbir zaman eksi olamaz? Bu r hakkında ne söyler?
5. On iki hastada r = 0,62 bulunsaydı Fisher dönüşümüyle yüzde 95'lik aralık kaç olurdu?
6. "Korelasyon anlamlı bulundu (p < 0,001)" cümlesi tek başına ilişkinin gücü hakkında neden bir şey söylemez?

Bir sonraki derse köprü

Altıncı hastanın 115 dakikası ve 18'lik belirteci Pearson hesabında büyüklükleriyle ağırlık taşıdı. Aynı hasta yalnız "en uzun tutukluk" ve "en yüksek belirteç" diye, yani sıra numarasıyla yazılsaydı çekimi ne kadar kalırdı? Ölçümlerin yerine sıralarını koyan bir katsayı düz çizgi yerine neyi arar, ve Pearson'un hangi kırılganlığını ortadan kaldırıp hangisini yerinde bırakır?