Kovaryans

Açılış sahnesi

Malatya, üniversite hastanesinin romatoloji polikliniği, ekimin ilk salısı, öğle arası. Romatoloji uzmanı Cavidan Hanım'ın masasında biyoistatistikten geri gelen protokol taslağı açık; yöntem satırı artık dolu, sabah tutukluğunun üç ölçümü için tekrarlı ölçümler çözümlemesi yazılmış. Cavidan Hanım bir satır eklemek istiyor. Her vizitte kandan C-reaktif protein, iltihapla yükselen bir belirteç, zaten çalışılıyor; tutukluğu uzun süren hastanın belirteci de yüksek mi, bunu da görmek istiyor.

Yan dal asistanı Caner bir önceki haftanın ilk vizitlerinden altı hastanın iki sayısını bir kâğıda yazmış. Tutukluk dakika olarak 20, 30, 45, 60, 90 ve 115; aynı hastaların belirteci litrede miligram olarak 5, 13, 6, 10, 8 ve 18. Cavidan Hanım listeye bakıp "hangi gruba göre karşılaştıracağız?" diye soruyor. Caner'in cevabı basit: grup yok, altı kişi var ve her birinin iki ölçümü var.

Bu derste ne olacak

İki ölçümün birlikte sapmasını bir sayıya toplamayı Caner'in altı satırıyla elle yapacaksın. Sonra o sayının işaretini saçılım grafiğinin dört bölgesinde okuyacak, büyüklüğünün neden tek başına bir şey söylemediğini birim değiştirerek göreceksin. En sonda sayının göremediği bir ilişki biçimini ve iki ölçümü toplarken ya da birbirinden çıkarırken nereye girdiğini bulacaksın.

Sıfır noktası

İki şeyin birlikte değişmesine bu akademide çok önce korelasyon (birliktelik) adı verilmişti; o ders ilişkinin yönünü ve varlığını konuşmuş, sebebini ayrı bir soru olarak bırakmıştı. Saçılım grafiği dersinde de her gözlemin iki ölçümünü bir noktaya çevirmeyi görmüştün. Şimdi o noktaların bıraktığı izlenimi bir sayıya bağlayacaksın.

Sayının yapı taşı zaten elinde. Varyans, her gözlemin ortalamadan sapmasının karesini alıp toplamak ve bölmekti. Örneklemden daha büyük bir hasta topluluğu hakkında konuşulacağı zaman paydanın gözlem sayısından bir eksik alındığını da öğrenmiştin. Kare alma işlemini biraz açarsan, sapmayı kendisiyle çarpmak olduğunu görürsün. Bu derste aynı gözlemin iki farklı ölçümdeki sapmalarını birbiriyle çarpacaksın.

Mekanizma

Sapmaları çarpmak

İlk adım iki ortalama. Tutukluk toplamı 360 dakika ve 360 ÷ 6 = 60; belirteç toplamı 60, ortalaması 60 ÷ 6 = 10. Her hastanın iki sapması bu iki ortalamadan hesaplanıyor. Ardından her satırda iki sapma çarpılıyor ve bu çarpımlar toplanıyor.

Çarpımların toplamı 200 − 90 + 60 + 0 − 60 + 440 = 550. Bu toplam, varyanstaki kareler toplamının karşılığı; ona çapraz çarpımlar toplamı deniyor. Altı hastadan daha geniş bir hasta topluluğu hakkında konuşulacağı için payda altıdan bir eksik: 550 ÷ 5 = 110. Aynı toplamı altıya bölseydin 550 ÷ 6 ≈ 91,7 bulurdun. R'nin ve numpy'nin kovaryans işlevleri varsayılan olarak beşe böler, Excel'in eski COVAR işlevi altıya; bir makaledeki sayıyı yeniden hesaplarken hangisinin kullanıldığına bakmak gerekir.

Aynı işlemi bir değişkenin kendisiyle yaparsan sapma sapmayla çarpılır ve tanıdık bir sayı çıkar. Tutukluğun sapma kareleri 1.600, 900, 225, 0, 900 ve 3.025; toplam 6.650 ve 6.650 ÷ 5 = 1.330. Bu tutukluğun örneklem varyansı. Varyans, bir ölçümün kendisiyle kovaryansı olarak da okunabilir ve bu okuma dersin sonunda işe yarayacak.

İşaret dört bölgeden geliyor

Caner'in altı noktasını saçılım grafiğine koy ve iki ortalamadan birer çizgi geçir: yatayda 60 dakikadan dikey bir çizgi, dikeyde 10'dan yatay bir çizgi. Grafik dört bölgeye ayrılıyor. Sağ üstte iki sapma da artı, sol altta ikisi de eksi, ve iki durumda da çarpım artı. Sol üst ile sağ alttaki noktalarda sapmalardan biri artı, öteki eksi; çarpım eksi çıkıyor.

Tablo bu okumayla açılıyor. Birinci, üçüncü ve altıncı hasta artı bölgelerde, toplam katkıları 200 + 60 + 440 = 700. İkinci hasta sol üstte, beşinci hasta sağ altta, katkıları birlikte −150. Dördüncü hasta iki çizginin kesiştiği yerde durduğu için hiçbir şey katmıyor. Kovaryansın artı çıkması, artı bölgelerin ağırlığı eksi bölgelerinkini aştığı için.

Bir noktanın katkısı yalnız bölgesine değil merkezden uzaklığına da bağlı. Altıncı hastanın tek başına katkısı 440 ÷ 550 = 0,8, yani toplamın beşte dördü. İki sapmanın çarpımı, iki ölçümde birden uç olan bir hastayı büyük ölçüde öne çıkarıyor. Varyansta uzaktaki gözlemin orantısız ağırlık aldığını görmüştün; aynı özellik burada iki boyutta işliyor. Altıncı hasta çıkarılsa geri kalan beşte ilişkinin nasıl göründüğünü Kendini sına bölümünde hesaplayacaksın.

Eşleşme sayının içinde

Ortalamalar ve varyanslar her sütundan ayrı ayrı hesaplanıyordu; bir sütunun sırasını karıştırsan hiçbiri değişmezdi. Kovaryans ise satırın kendisine bakıyor, yani hangi tutukluğun hangi belirteçle aynı hastaya ait olduğuna. Caner belirteç sütununu elektronik tabloya bir satır aşağı kaymış olarak girseydi her tutukluk bir önceki hastanın belirteciyle yan yana gelirdi: 18, 5, 13, 6, 10 ve 8. Belirteç ortalaması yine 10, varyansı yine aynı.

Çapraz çarpımlar bu kez −320, 150, −45, 0, 0 ve −110; toplam −325 ve −325 ÷ 5 = −65. Tek bir satırlık kayma işareti tersine çevirdi. İki ölçüm ayrı laboratuvar ya da ayrı form üzerinden toplandığında hasta numarasıyla birleştirilmesi bu yüzden sıradan bir veri girişi işi değil, hesabın ta kendisi.

Büyüklüğün birimi

Sonucu yazarken biriminin ne olduğunu söylemen gerekiyor. Sapmalardan biri dakika, öteki litrede miligram, çarpımları da dakika çarpı miligram bölü litre. Cavidan Hanım "110 çok mu az mı?" diye soruyor ve sorunun cevabı yok. Bu birimde ne bir alışkanlık ne de bir karşılaştırma ölçüsü var.

Sorunu tutukluğu saatle yazarak görebilirsin. Her tutukluk değeri 60'a bölünür, sapmalar da 60'a bölünür, çarpımlar da. Kovaryans 110 ÷ 60 ≈ 1,83 oluyor. Laboratuvar belirteci desilitrede miligram olarak raporlasaydı değerler onda birine inerdi ve kovaryans 110 ÷ 10 = 11 çıkardı. İki değişiklik birlikte yapılınca 110 ÷ 600 ≈ 0,18 kalıyor. Hastalar aynı, iki ölçüm arasındaki ilişki aynı, yalnız ölçü birimi değişti; sayı altı yüz kat oynadı.

Ölçek türleri dersinde (L02-P03-M01-D03) aynı belirtecin birimi değiştiğinde "dört katına çıktı" cümlesinin yerinden kıpırdamadığını görmüştün. Oran birimden bağımsızdı, çünkü aynı birim hem payın hem paydanın içindeydi ve sadeleşiyordu. Kovaryansta birimler sadeleşmiyor, çarpılıyor. Bu yüzden iki çalışmanın kovaryansını karşılaştırmak, hatta aynı çalışmada tutukluk–belirteç kovaryansını tutukluk–ağrı kovaryansıyla karşılaştırmak anlamsız: sayılar farklı birimlerde.

Sıfır kovaryans ne söylemez

Kovaryans bir tek eğilimi arar: bir ölçüm ortalamanın üstündeyken ötekinin de düzenli olarak üstünde ya da altında kalması. İlişki bir yönde gidip sonra geri dönüyorsa çarpımlar birbirini götürebilir. Beş gözlemlik soyut bir örnek kur: birinci ölçüm 0, 1, 2, 3 ve 4; ikinci ölçüm 4, 1, 0, 1 ve 4. İkinci ölçüm birinciden tamamen belirleniyor, orta noktadan uzaklığın karesi.

İki ortalama da 2. Çapraz çarpımlar sırasıyla (−2) × 2 = −4, (−1) × (−1) = 1, 0, 1 × (−1) = −1 ve 2 × 2 = 4; toplam sıfır ve kovaryans sıfır. Grafiğin sol yarısında bir eğim, sağ yarısında onun aynası var ve ikisi birbirini tam olarak yok ediyor. Sıfır kovaryans ilişkinin olmadığını söylemiyor, düz bir çizgiye yaslanan bir eğilim bulunmadığını söylüyor. U biçimli ve başka eğrisel ilişkilerin nasıl okunacağı bu modülün ilerleyen bir dersinde işlenecek.

İki ölçümü toplarken ve çıkarırken

Eşleştirilmiş t testi dersinde (L02-P04-M04-D02) fark puanının varyansını iki standart sapma ve ilişki katsayısıyla kurmuştun; Baran'ın sekiz kişisinde katsayı ile iki standart sapmanın çarpımı 68,286 çıkmıştı. O çarpımın adı kovaryans. Aynı formül bu adla daha kısa yazılıyor: Var(X − Y) = Var X + Var Y − 2 Cov(X, Y). Sekiz kişide iki kovaryansın toplamı 2 × 68,286 = 136,571 ve bu sayı iki varyansın toplamı olan 139,429'dan düşülünce kesin değerlerle 2,857 kalıyor: fark sütununun kendi varyansı. Önce ile sonra aynı yöne sapan ölçümler olduğu için kovaryans büyük ve artıydı; farkın varyansını neredeyse sıfıra indiren de oydu.

Toplamda işaret tersine dönüyor: Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2 Cov(X, Y). Aynı sekiz kişinin iki bel ölçümünü toplasaydın 139,429 + 136,571 = 276 bulurdun, bağımsız iki ölçümden beklenenin yaklaşık iki katı. Romatolojide bunun karşılığı iki elin şiş eklem sayısını toplayan bir puan olabilir. Sağ ve sol elin varyansı birer 4 ve kovaryansları 3 olsaydı toplamın varyansı 4 + 4 + 2 × 3 = 14 çıkardı; eller birbirinden habersiz olsaydı yalnız 8. Birlikte hareket eden parçalardan kurulan bir puanın yayılımı, parçalarınkinin toplamından geniş olur.

Klinik gerçeklik

Cavidan Hanım yöntem satırına kovaryansı değil, ölçekten bağımsız bir ilişki ölçüsünü yazmaya karar veriyor; 110 sayısını etik kurula hiçbir birimle anlatamayacağını görmüş. Kovaryansın kendisi raporlarda nadiren yalnız başına durur; asıl işi, ilişki katsayılarının, regresyon eğiminin ve farkın ya da toplamın varyansının içinde saklı olmak. Bir makalenin ek tablosunda "kovaryans matrisi" gördüğünde köşegendeki sayıların varyanslar, köşegen dışındakilerin çift çift kovaryanslar olduğunu, ve bunların ancak birimleri yan yana yazıldığında okunabileceğini bil.

Caner'in altı hastası da bir uyarı taşıyor. Kovaryansın beşte dördü tek bir hastadan geliyor; o hastanın tutukluğu uzun ve belirteci yüksek, ama bu tek bir kişinin uzun sabahıdır. Artı işaretli bir kovaryans nedensel bir sıra da söylemiyor: iltihap tutukluğu artırıyor olabilir, ikisi ortak bir süreçten doğuyor olabilir ya da örneklemin nasıl seçildiği bu deseni yaratmış olabilir.

Kendini sına

1. Altıncı hastayı çıkarıp kalan beş hastanın ortalamalarını, çapraz çarpımlar toplamını ve kovaryansını hesapla. İşaret değişti mi?
2. Belirteci litrede mikrogram olarak yazsaydın kovaryans kaç olurdu?
3. Her hastanın tutukluğuna 15 dakika eklenirse kovaryans neden değişmez?
4. Saçılım grafiğinde çoğu nokta sol üst ve sağ alt bölgelerdeyse kovaryansın işareti ne olur? Klinikte hangi ölçüm çifti böyle davranabilir?
5. Kovaryansı sıfır olan iki ölçüm için "aralarında hiçbir ilişki yok" demek neden yanlış olabilir?
6. İki ölçümün kovaryansı eksiyse toplamlarının varyansı, varyanslarının toplamından büyük mü küçük mü olur?

Bir sonraki derse köprü

Kovaryansın birimini atmanın akla ilk gelen yolu, her ölçümü kendi yayılımıyla ölçmek: tutukluğu dakika yerine standart sapma cinsinden, belirteci de kendi standart sapması cinsinden yazmak. Çapraz çarpımları bu birimsiz sapmalardan kurarsan elde edilen sayının adı Pearson korelasyonu. O sayı dakikayla saat arasında gidip gelmeyecekse hangi iki sınırın içinde kalmak zorunda, ve Caner'in altı hastası o aralığın neresine düşer?