Tekrarlı Ölçümler

Açılış sahnesi

Tokat, aynı devlet hastanesinin kalp yetmezliği polikliniği, ağustosun son çarşambası, randevular bittikten sonra. Poliklinik hemşiresi Yeter Hanım masaya bir arama defteri bırakıyor. Mayısta öğret-geri al yöntemiyle taburcu edilen altı hastayı bir ay sonra o aramış, çünkü Sevinç o hafta yıllık izindeydi; üçüncü ayın aramalarını Sevinç yeniden kendisi yapmış. Kenarda kurşun kalemle bir not var: bir hasta üçüncü ayda "bu soruyu geçen sefer de sormuştunuz" demiş.

Sevinç üç arama turunu mayısta öğrendiği varyans analiziyle üç ayrı grup gibi çözümlemiş. F yaklaşık 2,45, p yaklaşık 0,12; notunda "bilgi puanı zamanla anlamlı değişmiyor" yazıyor. Klinik eczacı Nuriye Hanım sütunlara değil satırlara bakıyor. Altı satırın her birinde tek bir insanın üç puanı duruyor ve en yüksek puanlı hasta üç ölçümde de en yukarıda.

Bu derste ne olacak

On sekiz puanın yayılımını zaman, kişi ve hata diye üçe ayıracak, kişi payını çıkarmanın F'yi nasıl büyüttüğünü aynı veriyle göreceksin. Bağımsızlığın yerine gelen varsayımı hesaplayacak ve bozulduğunda serbestlik derecesini küçülteceksin. Son olarak zamanla gelen değişimin ne kadarının unutma olduğunu tartacaksın.

Sıfır noktası

Eşleştirilmiş t testinde her kişinin iki ölçümünü birbirinden çıkarmış, fark puanıyla çalışmıştın (L02-P04-M04-D02). Kişiden kişiye değişen düzey her iki ölçüme aynı biçimde girdiğinden çıkarmada silinmişti. Üç ölçüm varken tek bir fark yok, üç fark var.

Varyans analizinin üç varsayımından ilki gözlemlerin bağımsızlığıydı ve mayısta bunun nerede bozulacağını not etmiştin: aynı hastanın birden çok ölçümü tabloya girerse (L02-P04-M04-D07). Nuriye Hanım'ın önündeki tablo tam olarak bu:

Mekanizma

Sevinç'in tablosu

Sevinç'in yaptığı, her sütunu ayrı bir grup saymak. Genel ortalama 234 ÷ 18 = 13. Zamanların kareler toplamı 6 × (2² + 1² + 1²) = 6 × 6 = 36, serbestlik derecesi 2, ortalama kare 18. Sütunların kendi içindeki kareler toplamı 28 + 44 + 38 = 110, serbestlik derecesi 15, ortalama kare 110 ÷ 15 ≈ 7,33. Oran 18 ÷ 7,33 ≈ 2,45; F(2, 15) için yüzde beşlik sınır 3,68 ve p ≈ 0,12.

Paydaki 110'a bak. Altıncı hastanın puanları 18, 17 ve 16, üçüncü hastanınkiler 12, 10 ve 8; aradaki kalıcı açıklık zamanla değil kimin ne kadar bildiğiyle ilgili. Sevinç'in çözümlemesi onu gürültü sayıyor.

Kişi payını ayırmak

Kişi ortalamaları 13, 14, 10, 13, 11 ve 17. Sapmalarının karelerini kişi başına ölçüm sayısıyla çarpınca kişi kareler toplamı çıkıyor: 3 × (0 + 1 + 9 + 0 + 4 + 16) = 3 × 30 = 90. Sütun içindeki 110'un 90'ı kalıcı kişi farkı. Geriye 110 − 90 = 20 kalıyor ve hata terimi artık yalnız bu.

İkinci hastanın ortalaması 14, bir ayın ortalaması genelden bir puan aşağıda; bu hastadan bir ayda beklenen 14 − 1 = 13, gözlenen 11. Aradaki −2, bu hastanın seyrinin ortak seyirden sapması; hata terimi bu sapmalardan oluşuyor. On sekiz hücredeki bu sapmaların kareler toplamı 20; serbestlik derecesi kişi sayısının bir eksiği ile zaman sayısının bir eksiğinin çarpımı, 5 × 2 = 10. Hata ortalama karesi 20 ÷ 10 = 2, F = 18 ÷ 2 = 9. F(2, 10) dağılımının yüzde beşlik sınırı 4,10 ve p ≈ 0,0058.

Aynı on sekiz sayı, aynı zaman payı; payda ise 7,33'ten 2'ye indi, oran 7,33 ÷ 2 ≈ 3,67. Karşılığında hata terimi beş serbestlik derecesi kaybetti ve yüzde beşlik sınır 3,68'den 4,10'a çıktı. Eşleştirmedeki pazarlığın aynısı; kişiler birbirinden ne kadar farklıysa o kadar kârlı.

İki ölçümde eşleştirilmiş teste döner

Yalnız ilk iki sütunu al. Farklar 0, 6, 2, 5, 4 ve 1; ortalama 3, varyans 5,6, standart hata √(5,6 ÷ 6) ≈ 0,966 ve t = 3 ÷ 0,966 ≈ 3,11, karesi ≈ 9,64. Aynı iki sütuna tekrarlı ölçümler varyans analizi uygulayınca zaman kareler toplamı 27, kişi 58, hata 14 çıkıyor; F = 27 ÷ (14 ÷ 5) = 27 ÷ 2,8 ≈ 9,64. p ikisinde de ≈ 0,027.

Bağımlılığın yerine gelen varsayım

Aynı kişinin üç puanı birbirine bağlı: bir hafta ile bir ay arasındaki ilişki katsayısı ≈ 0,63, bir ay ile üç ay arasında ≈ 0,66, bir hafta ile üç ay arasında ≈ 0,95. Bu bağ, sıradan F testinin bağımsızlık varsayımını açıkça bozuyor. Tekrarlı ölçümler çözümlemesi bağımsızlığı yalnız kişiler arasında istiyor; kişi içindeki bağı kişi payını ayırarak içine alıyor.

Karşılığında yeni bir varsayım geliyor. Her zaman çiftinin fark puanını al ve varyansına bak: bir hafta eksi bir ay 5,6; bir ay eksi üç ay 5,6; bir hafta eksi üç ay 0,8. Hata teriminin tek bir ortalama kare olabilmesi için bu üç varyansın evrende eşit olması gerekiyor. Burada biri ötekilerin yedide biri. Oynak olan bir aylık sütun; aramaları o ay başka birinin yapmış olması bir açıklama olabilir, ama bu veri bunu kanıtlamaz.

Varsayımın sınaması Mauchly testi ve bu tabloda p ≈ 0,13 veriyor. Kovaryansı bu altı hastanınkine eşit bir evrenden 20.000 altı kişilik örneklem çekildiğinde (tohum 20261006) test bozulmayı yalnız 8.074 kez yakaladı, oran ≈ 0,40; yirmi kişide oran 0,99. Normallik sınamalarında aynı sorunu görmüştün: varsayımın önemli olduğu küçük örneklemde zayıf, önemsiz olduğu büyük örneklemde güçlü (L02-P02-M02-D08). Bu yüzden pek çok çözümleyici düzeltmeyi sınamayı beklemeden uyguluyor.

Serbestlik derecesini küçültmek

Samuel Greenhouse ve Seymour Geisser 1959'da Psychometrika'da yayımlanan "On methods in the analysis of profile data" makalesinde bir düzeltme önerdi. Veriden bir ε katsayısı kestiriliyor: fark varyansları eşitse 1, en uç bozulmada 1 ÷ (k − 1). Üç zaman noktasında alt sınır 1 ÷ 2 = 0,5. Nuriye Hanım'ın verisinin kovaryans matrisinden ε ≈ 0,61 çıkıyor.

F değişmiyor; iki serbestlik derecesi ε ile çarpılıyor. Pay 2 × 0,61 ≈ 1,22, payda 10 × 0,61 ≈ 6,1. Serbestlik derecesi küçülen dağılımın kuyruğu kalınlaşıyor ve p ≈ 0,021 çıkıyor, düzeltmesiz 0,0058'in yaklaşık dört katı. En tutucu seçenek ε'u alt sınırına çekmek: serbestlik dereceleri 1 ve 5, yüzde beşlik sınır 6,61 ve p ≈ 0,030. Üç okuma da reddediyor, ama aradaki mesafe küçük örneklemde düzeltmenin ağırlığını gösteriyor.

Zaman farkı hiç olmayan ve kovaryansı bu altı hastanınkine eşit bir normal evrenden 20.000 örneklem çekildi (tohum 20261005). Altı kişilik örneklemlerde düzeltmesiz test 1.600 kez reddetti (0,080), Greenhouse–Geisser 982 kez (0,049). Yirmi kişide düzeltmesiz oran 0,076'da kaldı; sorun örneklem büyüyünce kalkmıyor. Küreselliği tam sağlanan bir evrende düzeltmesiz oran 0,047, düzeltilmiş 0,031 oldu; gereksiz düzeltmenin bedeli bu.

Normalliğe de güvenilmiyorsa sıraya dayalı karşılık, her hastanın üç puanını kendi içinde sıralayan Friedman testi; sonradan iktisatçı olarak tanınacak Milton Friedman onu 1937'de JASA'da yayımladı ve bu tabloda p ≈ 0,019 veriyor.

Kayıp arama

Defterde öteki iki grubun satırları eksik: broşür grubundan bir hasta üçüncü ayda yeniden yatmış, video grubundan birinin numarası değişmiş. Klasik tekrarlı ölçümler çözümlemesi tek ölçümü eksik olan kişinin bütün satırını atar, ve yeniden yatış bilgi puanıyla ilgisiz bir kayıp olmayabilir. Karma modeller (linear mixed models) kişiyi rastgele bir etki olarak alıp elde olan bütün ölçümleri kullanacak, kovaryans yapısını da küresellik dayatmadan seçtirecek; bedeli, eksikliğin nedeni hakkında bir varsayım olacak.

Zaman etkisi neyi söyler

F ≈ 9 ve düzeltilmiş p ≈ 0,021, üç zaman ortalamasının eşit olmadığını söylüyor. Tek bir grup var, kontrol yok; bu yüzden eşleştirilmiş testte Baran'ın tablosuna sorduğun sorular burada da geçerli. Bir haftada en yüksek üç puanı alanlar (18, 17, 16) bir ayda ortalama 13'e, dört puan aşağı indi; en düşük üç puanı alanlar (14, 13, 12) ortalama 11'e, iki puan. İlk aramada şanslı bir gün geçiren, bir sonrakinde olağan düzeyine döner. Hastalar puanlarına göre seçilmediği için ortalamaya dönüş grup ortalamasını kaydırmıyor, ama bireysel düşüşleri okurken ya da sonraki izlemde yalnız düşük puanlıları seçip yeniden eğitirken sahneye girecek.

Ters yönde bir kuvvet de var. Aynı yirmi soru üç kez soruldu ve bir hasta bunu fark etti; üçüncü aydaki puanlar unutmanın yanında soruları tanımanın izini de taşıyor olabilir. Bir aydan üç aya düzlüğün bir kısmı süren unutmayı örten test alışkanlığı olabilir, bir kısmı da ilk aramadan sonra ilaç kutusuna yeniden bakan hastanın gerçek öğrenmesi. Tek gruplu tasarım bunları birbirinden ayıramaz; eşdeğer ama farklı soru setleri ya da bir karşılaştırma grubu ayırabilir.

Zamanın toplam yayılımdaki payı η² = 36 ÷ 146 ≈ 0,25. Bazı yaygın istatistik yazılımlarının varsayılan olarak verdiği kısmi eta kare ise kişi payını paydadan atıyor: 36 ÷ (36 + 20) = 36 ÷ 56 ≈ 0,64. Hangisinin yazıldığı belirtilmezse okur etkiyi iki buçuk kat büyük görebilir.

Klinik gerçeklik

Sevinç notunu yeniden yazıyor: F = 9,0, Greenhouse–Geisser ε ≈ 0,61, düzeltilmiş p ≈ 0,021, η² ≈ 0,25. Altına sınırı yazıyor: kontrol grubu olmadığı için üç puanlık düşüşte unutma ile arayanın değişmesi ayrılamıyor, üçüncü aydaki düzlük de test alışkanlığıyla karışmış olabilir. Nuriye Hanım bir satır ekletiyor: sonbahar grubunda üçüncü ay için soruların sırası ve sayıları değiştirilmiş eşdeğer bir form hazırlanacak.

Aynı kişileri birden çok kez ölçen bir makalede önce kişi payının ayrılıp ayrılmadığına bak. İkiden fazla ölçüm noktası varsa küreselliğin nasıl ele alındığını ara. İzlemde kaybedilenlerin satırları atılmış mı, bütün ölçümleri kullanan bir modelle mi çözümlenmiş? Karşılaştırma grubu yoksa zamanla gelen değişim müdahalenin etkisi diye okunamaz.

Kendini sına

1. 146 = 36 + 90 + 20 ayrışımını tablodan yeniden kur. Hata serbestlik derecesi neden 10?
2. Dördüncü hastanın üç ayda beklenen puanını kişi ve zaman ortalamalarından hesapla; hata terimine katkısı ne?
3. Sevinç'in çözümlemesinde payda neden 7,33, tekrarlı ölçümler çözümlemesinde neden 2?
4. Bir ay ile üç ay sütunlarını eşleştirilmiş t testiyle karşılaştır ve t²'yi iki sütunlu tekrarlı ölçümler F'siyle doğrula.
5. ε = 0,5 alındığında serbestlik dereceleri ne olur? Bu seçim neden en tutucu?
6. Üçüncü aydaki düzlüğün test alışkanlığından gelip gelmediğini ayırmak için bir sonraki izlemi nasıl kurardın?

Bir sonraki derse köprü

Bu modüldeki her test bir tablonun biçimine cevap verdi: iki grup mu, ikiden fazla mı; gruplar bağımsız mı, yoksa aynı kişiler mi yeniden ölçüldü; sonuç sürekli bir puan mı, bir sayım mı; dağılıma ve eşit yayılıma güvenilebilir mi. Sevinç iki kez yanlış testi seçti: mayısta çok grubu ikili t testleriyle, ağustosta aynı kişilerin ölçümlerini bağımsız gruplar gibi. Önüne yeni bir veri tablosu geldiğinde bu soruları hangi sırayla sorarsan doğru teste varırsın, ve her dalda yanlış yöne sapmanın bedeli hangi hata olur?