Fisher Kesin Testi

Açılış sahnesi

Kayseri, nisanın üçüncü haftası; öğle devrinden sonra boşalan servis odasında iki hemşire kalmış. Selvinaz Hanım masaya yirmi iki boş ilaç etiketi diziyor ve altısının köşesine kırmızı kalemle bir çarpı atıyor. Etiketler pilotun okuma yazma bilmeyen hastaları; çarpılı altısı bir hafta sonraki telefonda ilaç kullanım hatası bulunanlar. Melih geçen hafta bu alt tabloya ki-kare uygulamayı denemiş, beklenen sayıların üçün altına indiğini görüp yönetime gidecek nottan o satırı çıkarmıştı: öğret-geri alla taburcu olan on kişiden biri, broşürle gidenlerin on ikisinden beşi hata yapmıştı.

Selvinaz Hanım etiketleri karıştırıp Melih'e uzatıyor ve ondan on tanesini sola, on ikisini sağa dağıtmasını istiyor. İlk dağıtımda solda iki çarpı çıkıyor, ikincide üç, üçüncüde bir. Melih'in sorusu kendiliğinden geliyor: yöntemin hiçbir etkisi yoksa soldaki yığının bir ya da daha az çarpı taşıması ne kadar sık olur? Selvinaz Hanım'a göre desteyi karıştırmaya gerek yok: bütün dağıtımlar kâğıt üzerinde sayılabilir.

Bu derste ne olacak

Kenar toplamlarını sabit tutarak yirmi iki kişilik tablonun alabileceği bütün biçimleri sayacak, her birine bir olasılık bağlayacak ve gözlenen tablonun bu listede nerede durduğunu göreceksin. Sonra tek yönlü ile iki yönlü p'yi kuracak, sayımın ardındaki dağılımı binomdan ayıracak, ki-kare yaklaşımıyla karşılaştıracak ve kesikli yapının anlamlılık düzeyine ne yaptığını hesaplayacaksın. Son bölüm "sabit kenar" varsayımını tartışıyor.

Sıfır noktası

Binom dağılımında başarı sayısının olasılığını kurarken bir sayıya yaslanmıştın: on kişiden üç kişi seçmenin 120 yolu var (L02-P02-M02-D02). Bu derste aynı sayıma bir kısaltma veriyoruz. n nesneden k tanesini sırasız seçmenin yol sayısı C(n, k) diye yazılır; C(10, 3) = 120, C(10, 1) = 10, C(10, 0) = 1. Mann–Whitney testinde p değerini böyle bir sayım oranı olarak bulmuştun; burada aynı fikir bir tablonun hücrelerine uygulanıyor.

Ki-kare testinden bildiğin tablo da elinde. Okuryazar olmayan hastaların tablosu şöyleydi:

Mekanizma

Kenarları sabitlemek

Etiket oyunu testin sıfır hipotezini somutlaştırıyor. Yöntem hatayı etkilemiyorsa altı hasta hangi gruba düşseler de hata yapacaklardı ve çarpıların kaçının sola düştüğü yalnız kuranın işi. Satır toplamları (10 ve 12) ile sütun toplamları (6 ve 16) sabit tutulduğunda tabloda tek bir serbest sayı kalıyor: öğret-geri al grubundaki hata sayısı, kısaca k. k bilinince öteki üç hücre kenarlardan çıkıyor; k = 1 ise broşür grubunda 6 − 1 = 5 hata, öğret-geri alda 10 − 1 = 9 hatasız hasta var.

k sıfırdan altıya kadar yedi değer alabilir ve her değerin olasılığı üç sayımdan çıkıyor. Masada on sol, on iki sağ yer var ve kura altı çarpıyı bu yirmi iki yerin herhangi altısına eşit olasılıkla düşürüyor. Altı yer seçmenin bütün yolları C(22, 6) = 74.613. Tam k çarpının sola düşmesi için soldaki on yerden k tanesini, sağdaki on iki yerden kalan 6 − k tanesini seçmek gerekiyor. Gözlenen tablo için C(10, 1) × C(12, 5) = 10 × 792 = 7.920 yol var ve olasılığı 7.920 ÷ 74.613 ≈ 0,106.

Yedi tablo

Melih yedi satırı tek tek yazıyor. Her satırda k öğret-geri al grubundaki, 6 − k broşür grubundaki hata sayısı.

Yol sayılarının toplamı 74.613 ediyor, yani liste eksiksiz. En olası tablo k = 3; bu, önceki dersteki 2,73'lük beklenen sayıya en yakın tam sayı. Gözlenen k = 1 dağılımın sol yamacında duruyor.

Tek yönlü ve iki yönlü p

Planda öğret-geri alın hatayı azalttığı yönünde tek yönlü bir alternatif yazılmış olsaydı, p değeri gözlenen tablonun ve ondan daha uç olan tabloların olasılık toplamı olurdu: (924 + 7.920) ÷ 74.613 = 8.844 ÷ 74.613 ≈ 0,119. Yönlü ve yönsüz alternatif hipotezi ayırmayı anlamlılık testlerinin başında görmüştün (L02-P04-M03-D01); tek yönlü p değerinin ancak yön veriye bakmadan önce yazıldıysa meşru olduğunu da.

İki yönlü p için "karşı uç" tanımlanmalı ve dağılım simetrik olmadığı için bu iş yarım p'yi ikiye katlamakla bitmiyor. scipy'nin, R'ın ve çoğu yazılımın kullandığı tanım şu: olasılığı gözlenen tablonun olasılığına eşit ya da ondan küçük olan bütün tabloların olasılıkları toplanır. Gözlenen tablonun olasılığı 0,1061. Listede bundan küçük olanlar k = 0 (0,0124), k = 5 (0,0405) ve k = 6 (0,0028); k = 4'ün olasılığı 0,1858 ile daha büyük ve dışarıda kalıyor. İki yönlü p = (924 + 7.920 + 3.024 + 210) ÷ 74.613 = 12.078 ÷ 74.613 ≈ 0,162. scipy.stats.fisher_exact aynı tabloya 0,1619 veriyor.

Binomdan farkı

Binomla bakılsaydı genel hata oranı 6 ÷ 22 ≈ 0,273 alınır ve öğret-geri al grubundaki on kişinin her biri bu olasılıkla, birbirinden bağımsız olarak hata yapıyor sayılırdı. Binomda on kişinin hiç hata yapmama olasılığı 0,727¹⁰ ≈ 0,041. Hipergeometrik tabloda aynı durumun olasılığı 924 ÷ 74.613 ≈ 0,012, üç kat küçük.

Fark çekilişin geri koymadan yapılmasından geliyor. Binomda her kişi aynı zar atışını yapıyor ve öteki dokuzunun sonucu onu etkilemiyor. Etiket oyununda ise çarpı sayısı altıda sabit; sola bir temiz etiket gittikçe sağda kalan destede çarpıların payı büyüyor ve her çekiliş bir öncekine bağlı. Bu bağımlılık yayılımı daraltıyor. Binomun varyansı 10 × 0,273 × 0,727 ≈ 1,98; hipergeometriğinki bunun (22 − 10) ÷ (22 − 1) = 12 ÷ 21 ≈ 0,571 katı, yani 1,98 × 0,571 ≈ 1,13. Çekilen grup topluluğun küçük bir parçası olsaydı bu çarpan bire yaklaşır, iki dağılım birbirine karışırdı; on kişi yirmi iki kişinin neredeyse yarısı.

Yaklaşımla karşılaştırma

Aynı tabloya düzeltmesiz Pearson ki-kare uygulandığında istatistik ≈ 2,76 ve p ≈ 0,097 çıkıyor. Süreklilik düzeltmesi uygulandığında p ≈ 0,238. Kesin değer 0,162 ikisinin arasında; yani küçük hücrelerde düzeltmesiz yaklaşım kanıtı olduğundan güçlü, düzeltmeli yaklaşım olduğundan zayıf gösterdi.

Düzeltmeli değerin neye yaklaştığı ilginç. Tek yönlü kesin p'nin iki katı 2 × 0,1185 ≈ 0,237 ve Yates düzeltmesinin verdiği 0,238 ile neredeyse aynı. Düzeltmenin yaptığı iş tam da bu: sürekli eğriden, kesikli sayımın bir kuyruğunu ikiye katlayan değere yakın bir sonuç çıkarmak. İki yüz kişilik ana tabloda üç değer de birleşiyor: iki yönlü kesin p 0,051, tek yönlü kesin p'nin iki katı 0,051, Yates düzeltmeli ki-kare 0,052.

Kesikliliğin bedeli

Yedi olası tablo olduğu için iki yönlü p de yalnız yedi değer alabiliyor; k = 0'dan 6'ya sırasıyla 0,015, 0,162, 0,646, 1, 0,348, 0,056 ve 0,003. Bunlardan yalnız ikisi 0,05'in altında: k = 0 ve k = 6. Yöntem gerçekten etkisizse testin sıfır hipotezini reddetme olasılığı bu iki tablonun olasılık toplamı, (924 + 210) ÷ 74.613 = 1.134 ÷ 74.613 ≈ 0,015.

Alfa yüzde beş seçilse de bu tabloda test gerçekte yüzde birbuçukluk bir düzeyde çalışıyor. k = 5'in p'si 0,056 ile çizgiye çok yakın ama arada ulaşılabilecek bir değer yok. Wilcoxon dersinde yirmi farklık işaret testinin ulaşabildiği en yakın düzeyin 0,041'de kaldığını görmüştün; kenarları sabit tutan kesin sayım aynı basamaklı yapıyı daha sert yaşıyor, çünkü yirmi iki kişide basamak sayısı yalnız yedi.

Sabit kenar ne demek

Ronald Fisher bu sayımı 1935'te yayımlanan The Design of Experiments kitabında çay tadan bir hanım örneğiyle anlatır. Sekiz fincanın dördüne önce süt, dördüne önce çay konur; hanım hangi dördünün sütle başladığını söyleyecektir ve dört fincan seçeceğini baştan bilir. C(8, 4) = 70 olası seçim var ve hiçbir ayırt etme yeteneği yoksa dördünü birden doğru bilme olasılığı 1 ÷ 70 ≈ 0,014. Burada iki kenar da tasarımla sabit.

Kayseri'deki pilotta durum farklı. Okuma yazma bilmeyen hastaların 10'a 12 bölünmesi kuranın sonucu, altı hata sayısı ise telefonda ortaya çıktı; hiçbiri önceden sabitlenmemişti. Fisher'ın gerekçesi, sütun toplamının grup farkı hakkında neredeyse bilgi taşımadığı ve analizin gözlenen toplamlara koşullandırılabileceğiydi. Eleştirenler ise yalnız satır toplamlarını sabit tutan, hata olasılığını bilinmeyen bir değer sayıp bütün olası değerleri tarayan koşulsuz testleri öneriyor. George Barnard 1945'te Nature'da böyle bir test önerdi. Yirmi iki kişilik tabloda scipy'nin barnard_exact işlevi iki yönlü ≈ 0,118 veriyor, Fisher'ın 0,162'sinden küçük. Koşulsuz testler daha az tutucu; bedeli ağır hesap ve sonucun seçilen istatistiğe bağlı olması.

Klinik gerçeklik

Melih nottan çıkardığı satırı yeni bir cümleyle geri koyuyor. Okuryazar olmayan hastalarda hata öğret-geri alda 1/10, broşürde 5/12; Fisher kesin testi iki yönlü p ≈ 0,16, odds oranının aralığı 1'i rahatça içeriyor. Notun son cümlesi bir sayı değil bir öneri: bu grupta soruyu yanıtlamak için daha çok hasta gerekiyor ve sonraki pilotta okuma yazma durumuna göre ayrı kura çekilmeli.

Bir yayında küçük bir 2×2 tablo gördüğünde beklenen sayılar beşin altındayken yalnız "ki-kare" yazıyorsa sonucu kendin yeniden hesapla. İki yönlü p'nin hangi tanımla kurulduğuna bak, çünkü ikiye katlama ile olasılık ölçütü farklı sonuç verebilir. Anlamlı çıkmayan küçük bir tabloyu "fark yok" diye okuyan cümleye de dikkat et; o tablo belki hiçbir koşulda yüzde beşin altına inemeyecek kadar küçüktür.

Kendini sına

1. C(22, 6) = 74.613 neyi sayıyor? k = 2 için yol sayısını ve olasılığı hesapla.
2. Tek yönlü p değerini tablodan topla. Hangi koşulda tek yönlü p raporlanabilir?
3. İki yönlü p'ye k = 4 neden girmiyor, k = 5 neden giriyor? Sonucu 12.078 ÷ 74.613 ile doğrula.
4. Öğret-geri al grubunda hiç hata olmama olasılığını binomla ve hipergeometrik dağılımla bul. Farkın kaynağını açıkla.
5. Yüzde beşlik alfa bu tabloda neden ≈ %1,5'e iniyor? Güç için ne demek?
6. Çay tadan hanım deneyinde iki kenar neden tasarımla sabit, Kayseri pilotunda neden değil?

Bir sonraki derse köprü

Buraya kadar hep iki grup karşılaştırıldı. Bir pilot üç taburculuk yöntemini, broşürü, öğret-geri alı ve kısa bir videoyu, hastanın bir hafta sonra doldurduğu ilaç bilgisi puanıyla karşılaştırsaydı ne olurdu? Üç çiftin her birine ayrı bir t testi uygulamak aile boyu hata oranını büyütür; üç grubun ortalamaları arasındaki yayılımı grupların kendi içindeki yayılımla tek bir oranda karşılaştırmak mümkün mü, ve bu oran sıfır hipotezi altında hangi dağılıma uyar?