Ki-Kare Testi

Açılış sahnesi

Kayseri'de bir eğitim ve araştırma hastanesi, iç hastalıkları servisinin hemşire odası, nisanın ikinci haftası. Servis hemşiresi Melih bir aylık pilotun sonuçlarını getirmiş: taburcu olan iki yüz hasta kurayla ikiye ayrılmış, yüzüne ilaçları yazılı bir broşürle anlatılmış, yüzüne öğret-geri al (teach-back) yöntemiyle; hemşire anlatıyor, hasta kendi sözleriyle geri anlatıyor, eksik kalan yer yeniden konuşuluyor. Bir hafta sonra herkes telefonla aranmış ve ilaçlarını nasıl kullandığı sorulmuş. Öğret-geri al grubunda 14 kişide, broşür grubunda 26 kişide en az bir kullanım hatası bulunmuş.

Eğitim hemşiresi Selvinaz Hanım dört sayıyı kâğıda yazıp Melih'e bir soru soruyor: yöntemin hiçbir etkisi olmasaydı bu dört hücreye kaçar kişi düşerdi? Melih ikinci bir soru ekliyor: fark rastlantıyla açıklanabilir mi, ve açıklanamıyorsa hastane yönetimine hangi sayıyı götürmeli? Bir ay önce Düzce'deki bir asistan seminerinde sekiz bel çevresi farkının yalnız işaretleri sayılmıştı; burada sonuç baştan iki kategorili ve karşılaştırılan iki ayrı grup var.

Bu derste ne olacak

Dört gözlü tabloyu kurup her hücrenin beklenen sayısını kenar toplamlarından çıkaracak, gözlenenle arasındaki uzaklığı tek bir istatistikte toplayacak ve bu istatistiğe bir p değeri bağlayacaksın. Aynı tabloyu iki oranın farkı olarak da sınayıp iki yolun aynı yere vardığını sayıyla göreceksin. Ardından süreklilik düzeltmesinin p'yi neden büyüttüğünü, küçük hücrelerde testin neden güvenilmez olduğunu ve üç kategorili bir sonucun serbestlik derecesini nasıl değiştirdiğini hesaplayacaksın. Son bölüm testin söylemediği şeye, farkın büyüklüğüne ayrıldı.

Sıfır noktası

Ki-kare ölçüsünü, beklenen sayıyı ve bu ölçünün hiçbir ilişki yokken aldığı değerlerin dağılımını daha önce kurmuştun (L02-P02-M02-D07). O derste bir aile sağlığı merkezinin tablosunda dört beklenen sayıyı hesaplamış, bir serbestlik dereceli dağılımda yüzde doksan beşlik sınırın yaklaşık 3,84 olduğunu ve bunun 1,96'nın karesi olduğunu görmüştün. O gün eksik kalan şey bir çerçeveydi: sıfır hipotezi, alternatif hipotez, p değeri ve alfa henüz yoktu.

Şimdi o çerçeve elinde. Sıfır hipotezi burada şu: taburculuk yöntemi ile bir hafta sonraki ilaç hatası birbirinden bağımsız, yani iki grupta hata olasılığı aynı. Gözlenen tablonun bu hipotezden ne kadar uzak durduğunu ölçecek, o uzaklığın rastlantıyla ne sıklıkta görüleceğini soracaksın. Her hasta tabloya yalnız bir kez giriyor; pilot süresinde yeniden yatıp ikinci kez taburcu olan biri tekrar sayılmadı, çünkü aynı kişinin iki kaydı iki bağımsız bilgi taşımaz.

Mekanizma

Beklenen hücre, gözlenen hücre

Melih tabloyu kenar toplamlarıyla birlikte yazıyor. Satırlar yöntem, sütunlar sonuç.

Yöntem ile hata bağımsızsa iki yüz kişinin genel hata oranı olan 40 ÷ 200 = 0,20 her iki gruba da uyar. Beklenen sayının kuralı buradan çıkıyor: satır toplamı × sütun toplamı ÷ genel toplam. Öğret-geri al grubunda hata için 100 × 40 ÷ 200 = 20, hata yok için 100 × 160 ÷ 200 = 80; broşür satırı da aynı. Gözlenen 14 beklenen 20'nin altında, gözlenen 26 onun üstünde, ve kenar toplamları sabit olduğu için dört sapma da aynı büyüklükte: 6.

Uzaklığı toplamak için her hücrede gözlenen eksi beklenenin karesi beklenene bölünür ve dört katkı toplanır. Hata hücreleri 36 ÷ 20 = 1,8'er, hata yok hücreleri 36 ÷ 80 = 0,45'er katkı veriyor. Toplam 1,8 + 1,8 + 0,45 + 0,45 = 4,5. Aynı altı kişilik sapma küçük hücrede dört kat ağır basıyor; bunu göreli sapma olarak tanımıştın.

Karl Pearson bu ölçütü 1900'de Philosophical Magazine'de yayımlanan uzun başlıklı makalesinde önerdi. Dört gözlü tabloya o zaman üç serbestlik derecesi vermişti; Ronald Fisher 1922'de Kraliyet İstatistik Derneği'nin dergisinde yayımlanan "On the interpretation of χ² from contingency tables, and the calculation of P" makalesinde kenar toplamlarının veriden kestirildiğini hesaba katıp sayıyı (2 − 1) × (2 − 1) = 1'e indirdi. Tabloda tek bir hücreyi yazdığında ötekiler kenarlardan belirleniyor.

İstatistikten p değerine

Bir serbestlik dereceli ki-kare dağılımında 4,5'in sağında kalan alan ≈ 0,034. Hiçbir ilişki yokken bu kadar ya da daha uzak bir tablo iki yüz kişide yaklaşık otuzda bir görülür. Alfa 0,05 seçildiyse 4,5 kritik değer olan 3,84'ün üstünde ve sıfır hipotezi reddedilir.

Aynı tabloyu iki oranın farkı olarak da kurabilirsin. Oranlar 0,14 ve 0,26, fark 0,12. Sıfır hipotezi altında ortak oran 0,20 ve farkın standart hatası √(0,20 × 0,80 × (1 ÷ 100 + 1 ÷ 100)) = √0,0032 ≈ 0,0566. Test istatistiği 0,12 ÷ 0,0566 ≈ 2,12 ve normal eğrinin iki kuyruğu birlikte yine ≈ 0,034 ediyor. Karesi 2,12 × 2,12 ≈ 4,5, yani hücrelerden topladığın ki-kare.

Süreklilik düzeltmesi

Hücre sayıları tam sayı, ki-kare dağılımı ise sürekli bir eğri. Frank Yates 1934'te bu uyumsuzluğu azaltmak için her sapmanın mutlak değerinden, karesi alınmadan önce, 0,5 çıkarılmasını önerdi. Melih'in tablosunda sapma 6'dan 5,5'e iniyor: 5,5 × 5,5 = 30,25, hata hücreleri 30,25 ÷ 20 ≈ 1,51'er, öteki iki hücre 30,25 ÷ 80 ≈ 0,38'er katkı veriyor. Düzeltilmiş istatistik ≈ 3,78, p ≈ 0,052.

Aynı veri, aynı alfa, iki sonuç: düzeltmesiz 0,034 ile düzeltmeli 0,052 yüzde beşlik çizginin iki yanına düşüyor. Burada bilmen gereken pratik bir ayrıntı var. scipy'nin chi2_contingency işlevi 2×2 tabloda düzeltmeyi varsayılan olarak uyguluyor; R'ın chisq.test işlevi de öyle. Bir yayında "ki-kare testi" yazıp hangisinin kullanıldığını söylemiyorsa, aynı tablodan iki ayrı p çıkabileceğini bil.

Küçük hücreler

Ki-kare dağılımına yaklaşım, beklenen sayılar yeterince büyükken çalışır. Selvinaz Hanım pilotun içinden okuma yazma bilmeyen yirmi iki hastayı ayırıyor: öğret-geri al grubunda onda bir, broşür grubunda on ikide beş kişide hata var. Toplam altı hata. Öğret-geri al grubunda hata hücresinin beklenen sayısı 10 × 6 ÷ 22 ≈ 2,73, broşür grubundaki 12 × 6 ÷ 22 ≈ 3,27. Dört hücrenin ikisi beşin altında.

Yaygın başparmak kuralı William Cochran'ın 1954'te Biometrics'te yayımlanan "Some methods for strengthening the common χ² tests" makalesine dayanır: hiçbir beklenen sayı 1'in altında olmasın ve hücrelerin en fazla beşte biri 5'in altında kalsın. Bu bir kural değil, deneyimden çıkmış bir uyarı eşiği; 4,9 ile 5,1 arasında sihirli bir değişiklik olmaz. Yirmi iki kişilik alt tabloda kural açıkça bozuluyor ve yaklaşıma yaslanan p değerine güvenilemez. Kenar toplamlarını sabit tutup olası bütün tabloları tek tek sayan kesin yöntem, bir sonraki dersin konusu olacak.

Üç kategorili sonuç

Melih hataları telefonda ikiye ayırmıştı: küçük hata (ilacı birkaç saat geç almak gibi) ve önemli hata (bir ilacı hiç almamak ya da iki kez almak). Tablo 2×3 oluyor. Öğret-geri al grubunda 86 hatasız, 10 küçük, 4 önemli; broşür grubunda 74, 14 ve 12.

Beklenen sayılar aynı kuralla: hatasız için 80, küçük hata için 100 × 24 ÷ 200 = 12, önemli hata için 100 × 16 ÷ 200 = 8. Katkılar hatasız hücrelerde 0,45'er, küçük hatada 4 ÷ 12 ≈ 0,33'er, önemli hatada 16 ÷ 8 = 2'şer; toplam ≈ 5,57. Serbestlik derecesi (2 − 1) × (3 − 1) = 2 ve bu dağılımda yüzde beşlik kritik değer ≈ 5,99. p ≈ 0,062.

Hataları ayırmak tabloya bilgi ekledi, farkın çoğunun önemli hatalarda toplandığı görüldü, ama test anlamlılık çizgisinin altına düştü. İki serbestlik dereceli test her türlü düzen için arama yapıyor ve bu genişliğin bedelini daha yüksek bir kritik değerle ödüyor. Hangi tablonun sınanacağı veriye bakmadan önce planda yazılmalı. Sonuçlara bakıp p değeri küçük çıkan kategorilemeyi seçmek, raporda görünmeyen bir karşılaştırma daha yapmak demek ve p-hacking tam olarak bu tür sessiz seçimlerden beslenir.

Testin söylemediği

Ki-kare sapmaların karesini aldığı için yönü siler. Melih'in tablosunda satırları yer değiştirsen, öğret-geri al grubunda 26, broşür grubunda 14 hata olsaydı, istatistik yine 4,5 ve p yine 0,034 olurdu. Büyüklüğü de söylemez: aynı oran farkının kalabalık bir tabloda çok daha büyük bir ki-kare verdiğini ki-kare dağılımı dersinde görmüştün. Test yalnız bağımsızlık hipotezinin veriyle ne kadar uyumsuz olduğunu söyler.

Büyüklük için risk ölçülerine dönmen gerekiyor. Risk farkı 0,26 − 0,14 = 0,12, yani yüz taburculukta on iki hata daha az (L01-P04-M01-D06); ortak olmayan standart hatayla %95 güven aralığı ≈ 0,01 ile 0,23 arası. Tedavi için gereken sayı 1 ÷ 0,12 ≈ 8,3. Göreli risk 0,14 ÷ 0,26 ≈ 0,54 ve güven aralığı ≈ 0,30 ile 0,97 arası (L01-P04-M01-D04). Aralığın bir ucu hatayı üçte ikiden fazla azaltan bir yöntemle, öbür ucu neredeyse etkisiz bir yöntemle uyumlu.

Klinik gerçeklik

Selvinaz Hanım yönetime gidecek notu üç satırda kuruyor. Birincisi etki: broşürde yüz taburculukta 26, öğret-geri alda 14 kullanım hatası, fark 12 (güven aralığı 1 ile 23 arası). İkincisi test: Pearson ki-kare 4,5, bir serbestlik derecesi, p ≈ 0,034; düzeltme uygulansaydı p ≈ 0,052, ve hangisinin kullanıldığı açıkça yazılı. Üçüncüsü sınır: tek servis, bir aylık pilot, hata telefonla ve hastanın kendi anlatımıyla ölçüldü.

Bir yayında sayım tablosu karşılaştırması gördüğünde dört şeye bak. En küçük beklenen sayıyı kendin hesapla ve beşin altındaysa hangi yöntemin kullanıldığını ara. Düzeltme uygulanıp uygulanmadığını sor, çünkü sınırdaki bir sonuç ona bağlı olabilir. Her kişinin tabloya bir kez girip girmediğine bak; aynı hastanın birden çok kaydı ki-kareyi şişirir. Son olarak ki-karenin yanında risk farkı ya da göreli riskin aralığıyla verilip verilmediğine bak; yalnız "χ² = 4,5, p < 0,05" yazan bir satır farkın büyüklüğü hakkında sessizdir.

Kendini sına

1. Melih'in 2×2 tablosunda dört beklenen sayıyı hesapla. Dört sapmanın neden aynı büyüklükte olduğunu açıkla.
2. Hücre katkılarını tek tek bulup χ² = 4,5'e ulaş. Aynı sonucu iki oran z testiyle elde et ve z'nin karesini al.
3. Yates düzeltmesiyle istatistiği yeniden hesapla. Düzeltmenin testi neden tutucu yaptığını kendi cümlenle anlat.
4. Yirmi iki kişilik alt tabloda dört beklenen sayıyı bul. Cochran'ın ölçütüne göre yaklaşım kullanılabilir mi?
5. 2×3 tabloda serbestlik derecesi neden 2? Aynı yön korunduğu halde p değerinin 0,05'in üstüne çıkmasını açıkla.
6. Satırlar yer değiştirince χ² neden değişmiyor? Yönetime yön ve büyüklüğü hangi iki sayıyla götürürdün?

Bir sonraki derse köprü

Yirmi iki kişilik alt tabloda beklenen hücre sayıları üçün altına indi ve sürekli ki-kare eğrisine yaslanan p değeri güvenilirliğini yitirdi. Kenar toplamları, yani on hasta öğret-geri al, on iki hasta broşür ve toplam altı hata sabit tutulursa, bu altı hatanın iki gruba kaç farklı biçimde dağılabileceğini tek tek sayabilir misin? Gözlenen ya da ondan daha uç dağılımların payı, yaklaşım gerektirmeyen bir p değeri verir mi, ve bu sayımın ardındaki dağılım binomdan nasıl ayrılır?