Wilcoxon Testi

Açılış sahnesi

Düzce'de bir üniversite hastanesinin aile hekimliği anabilim dalı, martın ilk perşembesi, asistan seminerinin olduğu küçük oda. Şükriye Hanım şubattaki Sakarya bölge toplantısından dönerken sunum dosyasını da yanında getirmişti; son sayfasında, toplantıda hiç açılmayan bir ek tablo duruyor. Kontrol grubu olmayan ikinci pilot: bel çevresi en geniş sekiz gönüllü, on iki haftalık sabah yürüyüşü, her kişi için bir önce ve bir sonra ölçümü. Sekiz farkın yedisi eksi, biri artı, ortalaması −2 cm; altında eşleştirilmiş t testiyle p ≈ 0,012.

Birinci yıl asistanı Egemen tabloyu tahtaya yazıyor ve sıra testlerini yeni okuduğu için hevesli: "Bunu bir de sıralarla sınayalım." Şükriye Hanım farklara bakıp iki şey gösteriyor. Sekizden üçünün farkı mutlak değerce bir santimetre, ikişer kişininki iki ve dört santimetre; sıralarken bunlar kime hangi numarayı alacak? Tek artı işaretli kişi de sıralamada nereye gidecek? Seminer saatinin kalanı bu iki soruya ayrılıyor.

Bu derste ne olacak

Sekiz farkın işaretini bir kenara koyup yalnız büyüklüklerini sıralayacak, eşit büyüklüklere ortalama sıra verecek, sonra işaretleri geri getirip iki toplam kuracaksın. Kesin p değerini işaret düzenlemelerini tek tek sayarak çıkaracak ve bir yazılımın "kesin" diye verdiği sayının bağlar varken neden kesin olmadığını göreceksin. Aynı sekiz farkı eşleştirilmiş t testi ve işaret testiyle de sınayıp üç p değerini yan yana koyacaksın. Son bölüm sıfır çıkan farklara ve testin gizli varsayımına, farkların simetrisine ayrıldı.

Sıfır noktası

Geçen derste on altı incelmeyi grup ayırmadan tek bir dizide sıralamış, U'yu sıra toplamından çıkarmıştın. Orada her kişi karşı gruptaki sekiz kişinin her biriyle karşılaştırılıyordu. Bu kez grup tek ve her kişinin elinde tek bir fark var; yarışacak ikinci bir grup yok. Sıralanacak şey farkın kendisi değil, büyüklüğü olacak.

Fark puanını eşleştirilmiş t testini kurarken tanımıştın: aynı kişinin sonraki ölçümünden önceki ölçümü çıkarmak. Farkın iki bileşeni var. İşaret yönü söylüyor, belin daraldığını ya da genişlediğini; mutlak değer ise ne kadar değiştiğini. Bu derste o iki bileşen önce ayrılacak, sonra yeniden birleşecek.

Binom dağılımını da biliyorsun: sonucu iki seçenekli bağımsız denemelerde başarı sayısının dağılımı (L02-P02-M02-D02). Yazı turada sekiz atıştan kaçının yazı geldiğini sayan dağılım, bu dersin en basit testinin ta kendisi.

Mekanizma

İşareti ayır, büyüklüğü sırala

Egemen farkların işaretini silip yalnız mutlak değerlerini bırakıyor ve onları küçükten büyüğe diziyor. Dizide üç tane 1, iki tane 2, bir tane 3 ve iki tane 4 var. Üç tane 1 aynı basamağı paylaşıyor ve hangisinin 1., hangisinin 3. olacağına karar verecek bir bilgi yok.

Çözüm, bağlı değerlerin kaplayacağı sıraların ortalamasını hepsine birden vermek. Üç tane 1, 1., 2. ve 3. sıraları kaplıyor: (1 + 2 + 3) ÷ 3 = 2, üçü de 2 alıyor. İki tane 2, 4. ve 5. sıraları kaplıyor: (4 + 5) ÷ 2 = 4,5. Tek başına kalan 3, 6. sırada. İki tane 4, 7. ve 8. sıraları paylaşıyor ve (7 + 8) ÷ 2 = 7,5 alıyor. Bu ortalama sıra (midrank) kuralı sıra toplamını değiştirmez; bağlar olmasa da olsa da sekiz sıranın toplamı 36.

Şimdi işaretleri geri veriyorsun. Artı işaretli tek fark, tablodaki +1, sırasını yanına alıyor: W+ = 2. Eksi işaretli yedi farkın sıraları 2 + 2 + 4,5 + 4,5 + 6 + 7,5 + 7,5 = 34 ediyor, W− = 34. Kontrol: 2 + 34 = 36 ve 8 × 9 ÷ 2 = 36. Değişim olmasaydı her fark eşit olasılıkla artı ya da eksi olurdu ve iki toplamın her biri 18 çevresinde kalırdı; burada artı taraf yalnız 2 topladı.

Tam p değeri ve "kesin" etiketi

Sıfır hipotezi altında her farkın işareti yazı tura gibi: sekiz farkın işaretleri 2⁸ = 256 eşit olasılıklı biçimde dağılabilir. Egemen'in sıra değerleri sabit kalıyor (2, 2, 2, 4,5, 4,5, 6, 7,5, 7,5), yalnız hangilerinin artı olduğu değişiyor. W+ en fazla 2 olan düzenlemeler şunlar: hiçbiri artı değil ve üç tane 2'den yalnız biri artı. Toplam dört düzenleme: 4 ÷ 256 ≈ 0,0156. W− için aynı uçtaki dört düzenleme de eklenince iki yönlü p = 8 ÷ 256 ≈ 0,031.

Egemen aynı veriyi scipy'nin wilcoxon işlevine veriyor ve "exact" seçeneğiyle p ≈ 0,023 alıyor. Fark bağlardan geliyor. Bu sürümdeki "kesin" hesap, sıraların 1'den 8'e tam sayılar olduğunu varsayan tabloyu kullanıyor; o tabloda W+ ≤ 2 olan yalnız üç düzenleme var ve 2 × 3 ÷ 256 ≈ 0,023 çıkıyor. Bağlı sıralarla koşullu hesabı ise ayrı bir yöntem, permütasyon seçeneği yapıyor ve 0,031'i veriyor. Bağ varken kesin p, eldeki gerçek sıra değerleri üzerinden sayılmalı.

Büyük örneklemde W+ normal eğriye yaklaşır. Ortalaması 36 ÷ 2 = 18, varyansı bağsız durumda n(n + 1)(2n + 1) ÷ 24 = 8 × 9 × 17 ÷ 24 = 51. Her bağ kümesi varyansı biraz küçültür: t kişilik bir bağ için (t³ − t) ÷ 48 kadar. Burada (24 + 6 + 6) ÷ 48 = 0,75 düşüyor, varyans 50,25 ve standart sapma ≈ 7,09. İstatistik (2 − 18) ÷ 7,09 ≈ −2,26, iki yönlü p ≈ 0,024. Sekiz farkla bu yaklaşım kaba kalır; scipy de uyarı veriyor.

Aynı sekiz fark, üç test

Eşleştirilmiş t testi farkların ortalamasını standart hatasına bölmüştü ve p ≈ 0,012 bulmuştu. İşaretli sıra testi farkların büyüklüğünü sıraya indirdi ve p ≈ 0,031 buldu. Üçüncü bir yol büyüklüğü tamamen atıp yalnız işareti sayar.

Sekiz farkın yedisi eksi, biri artı. Binom dağılımıyla en fazla bir artı görme olasılığı, hiç artı olmaması (1 yol) ile tam bir artı olması (8 yol) toplamı: 9 ÷ 256 ≈ 0,035. İki yönlü p = 18 ÷ 256 ≈ 0,070. Yüzde beşlik çizginin üstünde kaldı.

Üç sayı bir merdiven gibi diziliyor: 0,012, 0,031, 0,070. Her basamakta testin kullandığı bilgi azalıyor. t testi −4 ile −1'in arasındaki üç santimetreyi tam değeriyle kullanıyor; sıra testi yalnız −4'ün −1'den büyük olduğunu biliyor; işaret testi ikisini de aynı "eksi" sayıyor. Karşılığında her basamak daha az varsayıma yaslanıyor. Hangi basamakta durulacağı verinin p değerine bakılarak değil, analiz planında seçilir; üç testi deneyip en küçüğünü bildirmek geçen modülde adı konmuş p-hacking'in ta kendisi.

Sıfır çıkan farklar

Egemen bir soru daha soruyor: dokuzuncu bir gönüllü olsaydı ve beli on iki haftada hiç değişmeseydi? Farkı 0; ne artı ne eksi. İki yerleşik yol var.

Wilcoxon'un adıyla anılan ilk yol sıfırı atar ve testi kalan sekiz farkla yapar; sonuç yukarıdakinin aynısı, çünkü sıfır yön hakkında bilgi taşımıyor. Ama "değişmeyen" bir kişi, değişim olmadığı hipotezinin lehine bir gözlem, ve onu atmak testi sessizce bu hipotezin aleyhine kaydırabilir.

John Pratt 1959'da Journal of the American Statistical Association'da yayımlanan "Remarks on zeros and ties in the Wilcoxon signed rank procedures" makalesinde ikinci yolu önerdi. Sıfır da mutlak değerlerle birlikte sıralanır ve en küçük sırayı, 1'i alır; sonra toplamlara katılmaz. Bu kez üç tane 1'in sıraları (2 + 3 + 4) ÷ 3 = 3, iki tane 2'ninki 5,5, 3'ünki 7, iki tane 4'ünki 8,5 oluyor. W+ = 3, W− = 41, toplam 44; dokuz sıranın 45'lik toplamından sıfırın 1'i düşüldü. Sıfır, öbür farkların sıralarını ittirerek hesaba girmiş oldu. Burada iki yöntem aynı yargıya varıyor ama sıfırların çok olduğu ölçeklerde (sıralı ağrı puanı gibi) ayrışabilirler; hangisinin kullanıldığı yöntem bölümünde yazılmalı.

Simetri: testin söylemediği varsayım

İşaret testi farkların ortancası hakkında konuşur ve bunun için hiçbir biçim varsayımına ihtiyaç duymaz. İşaretli sıra testi ise büyüklükleri de kullandığı için bir koşul koyar: sıfır hipotezi altında farklar sıfır çevresinde simetrik dağılmalı. Simetri varsa ortalama, ortanca ve testin asıl hedefi olan merkez aynı noktadır.

Sekiz fark için ikili ortalama sayısı 8 × 9 ÷ 2 = 36; bir farkın kendisiyle ortalaması da dahil. En küçüğü −4, en büyüğü +1, ortancaları −2 cm. Farkların kendi ortancası da −2, ortalaması da −2. Bu veride üç merkez çakışıyor ve hangi testin hangi soruyu sorduğu pratikte fark etmiyor.

Çarpık bir dağılımda çakışmazlar (çarpıklığı L02-P04-M02-D02'de sayıya çevirmiştin). Ortancası tam sıfır ama sağa çarpık bir fark dağılımı kurulabilir: çoğu kişide küçük bir genişleme, birkaç kişide büyük bir incelme. Böyle bir evrenden yirmişer farklık 10.000 örneklem çekilen bir benzetimde (tohum 20261001) ortanca sıfır olduğu halde işaretli sıra testi 994 kez, yani ≈ %9,9 oranında anlamlı çıktı; işaret testi 426 kez, ≈ %4,3. Sözde medyan o evrende sıfır değil, yaklaşık 0,15; testin tepki verdiği kayma bu, ve sonuç ortanca üzerine bir cümleye çevrilseydi yanlış olurdu.

Klinik gerçeklik

Şükriye Hanım tahtaya üç satır yazıyor. Eşleştirilmiş t: ortalama değişim −2 cm, p ≈ 0,012. İşaretli sıra: W+ = 2, bağlı sıralarla kesin p ≈ 0,031, sözde medyan −2 cm. İşaret testi: sekiz kişiden yedisinde daralma, p ≈ 0,070. Altına bir cümle ekliyor: hiçbiri bu tasarımda değişimin yürüyüşten geldiğini söyleyemez, çünkü karşılaştırma grubu yok.

Önce–sonra ölçümlerini çözümleyen bir yayında "Wilcoxon testi" yazıyorsa üç şeye bak. Önce hangi Wilcoxon: bağımsız iki grubun sıra toplamı mı, eşleştirilmiş farkların işaretli sırası mı; adlar karışıyor. Sonra sıfır farkların nasıl işlendiği ve bağ varken p'nin nasıl hesaplandığı. Son olarak farkların dağılımı: birkaç büyük değişim ve çok sayıda küçük ters değişim varsa sonuç ortanca hakkında değil. Beş basamaklı ağrı ölçeği gibi sıralı puanlarda bağ ve sıfır bol olur; bu soruların hepsi orada gerçek sonuç doğurur.

Kendini sına

1. Sekiz farkın mutlak değerlerini sırala, bağlara ortalama sıra ver ve W+ ile W−'yi bul. Toplamlarının neden 36 olması gerektiğini açıkla.
2. 256 işaret düzenlemesinden W+ ≤ 2 olan dördünü tek tek yaz. Bağ olmasaydı neden yalnız üç düzenleme olurdu?
3. İşaret testini binom dağılımıyla kur: sekiz farkın yedisi eksi. İki yönlü p neden 18 ÷ 256?
4. Aynı veride üç testin p değeri 0,012, 0,031 ve 0,070. Her basamakta hangi bilgi atıldı ve karşılığında hangi varsayım bırakıldı?
5. Dokuzuncu kişinin farkı 0. Wilcoxon'un yolu ve Pratt'ın yoluyla W+'yi ayrı ayrı hesapla.
6. Ortancası sıfır ama işaretli sıra testinin anlamlı çıkabileceği bir fark dağılımını kendi sayılarınla tarif et.

Bir sonraki derse köprü

İşaret testinde bel çevresi santimetre olmaktan çıkıp iki kategoriye düştü: daraldı ya da genişledi, ve sayım binom dağılımıyla sınandı. Sonuç baştan böyle iki ya da daha çok kategoriden oluşuyorsa ve iki grup karşılaştırılıyorsa ne olur; örneğin yürüyüş grubunda kaç kişinin bel çevresinin hedef değerin altına indiğini olağan izlemdekilerle karşılaştırmak istersen? Gruplar arasında hiç fark yokken her hücrede kaç kişi görmeyi beklerdin, ve gözlenen sayıların o beklentiden uzaklığı tek bir istatistikte nasıl toplanır?