Mann–Whitney U Testi

Açılış sahnesi

Sakarya'da aile hekimlerinin şubat bölge toplantısı, ilçe sağlık müdürlüğünün konferans salonu, öğleden sonraki ilk oturum. Baran perdeye yürüyüş pilotunun slaytını yansıtmış: kurayla sekize sekiz ayrılmış prediyabetli on altı kişi, on iki haftada bel çevresindeki incelme, iki grup arasında 2,4 cm fark, Welch testinde p ≈ 0,068. Slaytın altında her kişi bir nokta. Yürüyüş grubunun noktaları geniş bir şeride dağılmış, en üstteki 8,1 cm'de öbürlerinden kopuk duruyor.

Ön sıradan başka bir ilçenin aile hekimi Naciye Hanım söz alıyor; otuz yıla yakın poliklinik deneyimi, sekiz kişilik bir grupta tek kişinin ne kadar ağırlık taşıdığını ona öğretmiş. "O en üstteki hanım ya da bey olmasa ortalama nereye düşerdi," diye soruyor, "ve bu farkı santimetreleri hiç kullanmadan, yalnız kimin kimden fazla inceldiğine bakarak sınayabilir miyiz?" Baran'ın slaytında bunun cevabı yok ve oturum başkanı ona on beş dakika veriyor.

Bu derste ne olacak

On altı değişimi tek dizide sıralayıp sıra toplamlarından U istatistiğini çıkaracak, sonra U'nun aslında her çiftte kimin daha çok inceldiğini saydığını göreceksin. Tam p değerini sayarak bulacak, t testiyle karşılaştıracak ve tek bir değeri uçlaştırıp iki testin tepkisine bakacaksın. Son bölüm testin sık sık yanlış adlandırılan sorusuna ayrıldı: ortancaları mı karşılaştırıyor, başka bir şeyi mi?

Sıfır noktası

Ortancayı tanımlarken gözlemlerin ne kadar büyük olduğunu değil, dizideki yerlerini kullanmıştın (L02-P03-M02-D02). En büyük değeri iki katına çıkarsan ortanca kıpırdamıyordu, çünkü o değerin yeri değişmiyordu. Bu dersin bütün fikri o gözlemin bir teste dönüştürülmüş hali.

Sıralı ölçeği de tanıyorsun: hafif, orta ve ağır ağrı gibi, sırası belli ama aralıkları eşit olmayan kategoriler (L02-P03-M01-D02). Bel çevresinin aralıkları eşit, yine de onu yalnız sıralı bir ölçek gibi kullanmayı seçebilirsin. O seçim bir bilgiyi bırakıp bir dayanıklılık satın alır.

t testinin paydası verideki yayılımdan kurulur, payı ise ortalamadan; ikisi de tek bir uç değere hassastır. Sekiz kişilik bir grupta tek kişinin olağandışı incelmesi payı ve paydayı birlikte oynatır, ve bu derste o hassasiyet ölçülecek.

Mekanizma

On altı değeri tek dizide sıralamak

Naciye Hanım'ın isteği üzerine Baran bireysel değerleri açıyor. Yürüyüş grubunda incelmeler 8,1; 6,0; 4,5; 3,4; 2,1; 1,2; 0,3 ve −0,8 cm; olağan izlemde 3,0; 1,9; 1,3; 0,9; 0,4; −0,1; −0,5 ve −1,3 cm. Eksi işaret belin genişlediğini söylüyor. Ortalamalar 3,1 ile 0,7 cm; standart sapmada yürüyüş grubu 3,0 cm, olağan izlem bunun yarısına yakın; özet tabloyla aynı.

Grupları unutup on altı değeri küçükten büyüğe diziyor, her birine yerini numara olarak veriyorsun. Belini 1,3 cm genişletmiş kişi 1. sırayı, 8,1 cm incelen 16. sırayı alıyor; altına her sıranın grubunu yazıyorsun (Y yürüyüş, O olağan izlem).

Yürüyüş grubunun sıraları 2, 5, 8, 11, 13, 14, 15 ve 16; toplamları 84. Olağan izlemin sıraları 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10 ve 12; toplamları 52. İki toplamın birleşimi her zaman aynı sayıyı verir, çünkü 1'den 16'ya kadar bütün sıralar dağıtıldı: 84 + 52 = 136 ve 16 × 17 ÷ 2 = 136. Fark olmasaydı her grubun beklenen payı bunun yarısı, 68 olurdu.

Henry Mann ve Donald Whitney sıra toplamını grubun alabileceği en küçük değerden arındırdı; sekiz kişide bu taban 1 + 2 + … + 8 = 36 ve U onun üstünde kalan kısım. Yürüyüş grubu için U = 84 − 8 × 9 ÷ 2 = 48, olağan izlem için 52 − 36 = 16. İki U'nun toplamı 48 + 16 = 64, yani 8 × 8.

U neyi sayıyor

48'in elle tutulur bir okuması var. Yürüyüş grubundan her kişiyi olağan izlemdeki sekiz kişiyle tek tek karşılaştır ve kaçından daha çok inceldiğini say. 8,1; 6,0; 4,5 ve 3,4 cm incelenler sekiz kişinin hepsini geçiyor, 2,1 cm incelen yedisini, 1,2 cm incelen beşini, 0,3 cm incelen üçünü, belini 0,8 cm genişleten ise yalnız birini. Toplam 8 + 8 + 8 + 8 + 7 + 5 + 3 + 1 = 48. U, altmış dört olası çiftin kaçında yürüyüş grubundaki kişinin öne geçtiğini sayıyor.

Bu sayıyı çift sayısına bölmek, sonucu santimetreden bağımsız bir dile çeviriyor: 48 ÷ 64 = 0,75. Yürüyüş grubundan rastgele bir kişi ile olağan izlemden rastgele bir kişi seçersen, birincinin daha çok incelmiş olma olasılığı bu veride 0,75. Gruplar arasında hiç fark olmasaydı bu oran 0,5 çevresinde kalırdı; bire yaklaştıkça iki dağılım birbirinden ayrılıyor.

Tam p değeri: sayarak bulmak

Sıfır hipotezi doğruysa, yani iki grubun değerleri aynı evrenden geliyorsa, on altı sıranın hangi sekizinin yürüyüş grubuna düştüğü tamamen rastlantıdır. On altı sıradan sekizini seçmenin 12.870 yolu var ve hepsi eşit olasılıklı. Bu yolların 675'inde yürüyüş grubunun U'su 48 ya da daha büyük çıkıyor: 675 ÷ 12.870 ≈ 0,052. İki yönlü sınamada karşı uç da sayılır ve p ≈ 0,105.

Bu p doğrudan saymaktan geliyor. Büyük gruplarda U'nun normal eğriye yaklaşmasından yararlanılır: ortalaması 8 × 8 ÷ 2 = 32, standart sapması √(8 × 8 × 17 ÷ 12) ≈ 9,52, ve (48 − 32) ÷ 9,52 ≈ 1,68, yani p ≈ 0,09.

Aynı veride Welch testi p ≈ 0,068, Mann–Whitney p ≈ 0,105 verdi. İkisi de yüzde beşlik çizginin üstünde, ikisi de aynı yönde. Sıra testinin biraz daha çekingen çıkmasının nedeni aşağıda, mesafenin bedeli konuşulurken netleşecek.

Tek değer uçlaşınca

Naciye Hanım'ın sorusu artık sınanabilir. En çok incelen kişinin değeri 8,1 değil 20,0 cm olsaydı? Olağandışı güçlü bir yanıt da olabilir, yanlış girilmiş bir kayıt da. Yürüyüş grubunun ortalaması 4,59 cm'ye, fark 3,89 cm'ye çıkıyor.

Beklenenin tersine t düşüyor. Grubun standart sapması 3,0'dan 6,61 cm'ye fırlıyor, farkın standart hatası √(43,72 ÷ 8 + 1,90 ÷ 8) ≈ 2,39 oluyor ve istatistik 3,89 ÷ 2,39 ≈ 1,63'e iniyor. Welch testinin p değeri 0,068'den yaklaşık 0,14'e çıkıyor. Yürüyüşün lehine tek bir uç değer p'yi iki katına çıkardı, çünkü paydaya eklediği gürültü paya eklediği farktan hızlı büyüdü.

Sıra dizisinde hiçbir şey değişmiyor: 20,0 cm yine 16. sırada, sıra toplamı 84, U 48, olasılık üstünlüğü 0,75, p ≈ 0,105. Değer sıradaki yerini değiştirmedikçe yüz santimetrelik bir yazım hatası da sonucu etkilemez.

Mesafeyi atmanın bedeli

Sıralar mesafeyi unutur ve bu iki yönlü keser. 2,1 ile 3,0 cm arasındaki açıklık da, 8,1 ile 20,0 arasındaki on bir santimetreyi aşan açıklık da dizide tek basamak. Yürüyüş birkaç kişide çok büyük bir etki yarattıysa sıra testi o büyüklüğü görmez. Ortalamanın zaafı, veri normal ve temizken onun gücüdür.

Bedelin ilk ölçüsü etkinlik. Veri normal dağılıyorsa, t testinin yüz kişiyle ulaştığı güç için sıra testi yaklaşık 100 ÷ 0,955 ≈ 105 kişi ister. En kötü durumda bu sayı 100 ÷ 0,864 ≈ 116'ya çıkar. Kalın kuyruklu verilerde kefe öbür yana döner.

İkinci bedel küçük gruplarda sertleşiyor, çünkü sayımdan gelen p değerinin alabileceği değerler sınırlı. Üçer kişilik iki grupta altı sıradan üçünü seçmenin yalnız 20 yolu var ve iki yönlü en küçük p değeri 2 ÷ 20 = 0,10; gruplar birbirinden ne kadar ayrılırsa ayrılsın test yüzde beşlik çizgiyi geçemez. Sekizer kişide bu taban 2 ÷ 12.870 ≈ 0,00016'ya iniyor ve artık sorun olmaktan çıkıyor.

Test hangi soruyu soruyor

Salondan biri sonucun "ortancalar arasında anlamlı fark yok" diye yazılıp yazılamayacağını soruyor. Mann ve Whitney 1947'de Annals of Mathematical Statistics'te yayımladıkları makaleye "On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other" adını vermişti. Başlık sorunun kendisini söylüyor ve o soru ortancalar hakkında değil.

Ortancalar aynıyken bu olasılık 0,5'ten uzak olabilir. İki grubun incelmelerinin ortancası 2 cm olsun. A grubunda kişilerin yarısı 1,5 ile 2 cm arasında, yarısı 2 ile 10 cm arasında dağılmış; B grubunda yarısı −3 ile 2 cm arasında, yarısı 2 ile 2,5 cm arasında. A'nın alt yarısı B'nin alt yarısını 0,95 olasılıkla geçer, B'nin üst yarısını hiç geçemez; A'nın üst yarısı B'nin alt yarısını her zaman, üst yarısını 0,97 olasılıkla geçer. Ortalamaları (0,95 + 0 + 1 + 0,97) ÷ 4 ≈ 0,73. Kırkar kişilik gruplarla kurulan bir benzetimde (tohum 20260930) test 2.000 denemenin 1.899'unda anlamlı çıktı; ortancalar özdeş olduğu halde.

Klinik gerçeklik

Baran slaytına ikinci bir satır ekliyor: Mann–Whitney testiyle olasılık üstünlüğü 0,75, p ≈ 0,105. Altına düz bir cümle yazıyor. Yürüyüş grubundan biri olağan izlemden biriyle karşılaştırıldığında dört çiftin üçünde daha çok incelmiş, ama sekizer kişiyle bu oran rastlantıdan ayrılacak kadar kesin değil.

Bir makalede Mann–Whitney sonucu okurken önce hangi özetin verildiğine bak. Yalnız iki ortanca ve bir p değeri varsa cümle büyük olasılıkla ortanca farkını iddia ediyor; bu iddia ancak dağılımlar benzer biçimdeyse taşınır ve çeyrekler arası aralıklar bunu kabaca sınar. Olasılık üstünlüğü verilmişse testin sorusuyla cevabı aynı dili konuşuyor.

Ağrı şiddeti ya da memnuniyet gibi sıralı ölçeklerde sıra testi çoğu zaman doğal seçimdir, çünkü aralıkların eşitliği zaten bilinmiyor. Beş basamaklı ölçekte eşitler paylaştıkları sıraların ortalamasını alır ve U'nun yayılımı buna göre düzeltilir. Baran'ın ondalıklı santimetrelerinde hiç eşitlik yoktu.

Kendini sına

1. On altı değeri sırala, yürüyüş grubunun sıra toplamını bul ve U'yu hesapla. Olağan izlemin U'su neden 16 ve iki U'nun toplamı neden 64?
2. U'yu çift sayarak yeniden bul: yürüyüş grubundaki her kişi olağan izlemden kaç kişiyi geçiyor? 48 ÷ 64 = 0,75 sonucunu bir hastaya anlatır gibi yaz.
3. En çok incelen kişinin değeri 20,0 cm olduğunda t istatistiği neden düştü, U neden aynı kaldı?
4. Üçer kişilik iki grupta Mann–Whitney testi yüzde beş düzeyinde neden hiç anlamlı çıkamaz? Dörder kişide en küçük iki yönlü p değerini bul.
5. İki grubun ortancası aynıyken testin anlamlı çıkabildiği bir durumu kendi sayılarınla kur.
6. Bir makale "ortancalar arasında anlamlı fark bulundu (Mann–Whitney p = 0,02)" diyor. Kabul etmeden önce hangi bilgiyi ararsın?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste her değer öbür gruptaki bütün değerlerle yarıştı. Önce–sonra verisinde ise her kişinin tek bir fark puanı var ve o fark hem yön hem büyüklük taşıyor. Eşleştirilmiş sekiz farkı sıralamak istediğinde işareti nereye koyarsın; büyüklüğe göre sıralayıp işareti sonra mı geri verirsin, ve sıfır çıkan ya da mutlak değerce eşit olan farklar o sıralamada ne olur? Frank Wilcoxon 1945'te Biometrics Bulletin'de yayımladığı "Individual comparisons by ranking methods" makalesinde sıra toplamının yanında eşleştirilmiş karşılaştırmalar için de bir yol önermişti.