Eşleştirilmiş t Testi

Açılış sahnesi

Sakarya'daki aile sağlığı merkezi, ocağın son perşembesi, akşam poliklinik kapandıktan sonra. Muazzez Hanım ekimde ikinci pilotu başlatmıştı, bu kez kurasız ve karşılaştırma grubu olmadan: tarama listesinde bel çevresi en geniş ölçülen prediyabetli sekiz gönüllü on iki hafta boyunca aynı sabah yürüyüşüne katıldı. Baran her gönüllüyü ilk sabah ve on ikinci haftanın son günü aynı mezurayla kendisi ölçtü. Şimdi iki sütunluk tabloyu yazdırmış, masaya bırakıyor.

Başlangıç sütununun ortalaması 105 cm, bitiş sütununun 103 cm. Baran geçen dersteki alışkanlıkla iki sütunu iki grup gibi karşılaştırmış: t yaklaşık 0,48, p yaklaşık 0,64. Kâğıdın altına "yürüyüşün bel çevresine etkisi saptanmadı" diye not düşmüş. Muazzez Hanım satırları tek tek okuyor ve sekiz kişiden yedisinin inceldiğini görüyor. "Aynı kişiyi iki kez ölçtün," diyor, "ama bunu tabloya hiç söylemedin."

Bu derste ne olacak

Önce Baran'ın iki sütunlu karşılaştırmasının paydasına neyin girdiğini açacaksın. Sonra her kişinin kendi farkını alıp aynı sekiz satırdan eşleştirilmiş testi kuracak, iki istatistiğin neden yedi kat ayrıştığını ilişki katsayısı üzerinden göstereceksin. Ardından eşleştirmenin her zaman kazandırmadığı durumu tartacaksın. Dersin ikinci yarısı testin cevapladığı soruyla cevaplamadığı soruyu ayırmaya ayrıldı: anlamlı bir değişimin yürüyüşten geldiğini bu tasarım neden söyleyemez?

Sıfır noktası

Geçen derste iki bağımsız grubu karşılaştırmıştın. Paydaya her grubun kendi yayılımı giriyordu ve o yayılım, gruptaki kişilerin birbirinden ne kadar farklı olduğunu ölçüyordu. Bu kez grup tek, ölçüm iki. Her satırda aynı insanın iki bel çevresi duruyor.

Kişinin iki ölçümü arasındaki bağı daha önce korelasyon (birliktelik) adıyla tanımıştın: iki değişkenin birlikte değişmesi, yönü ve gücüyle (L01-P03-M01-D01). Burada o bağı ilişki katsayısı r ile sayıya çevireceksin. Başlangıçta beli geniş olan kişinin beli on iki hafta sonra da geniş; r bire ne kadar yakınsa iki ölçüm birbirine o kadar sıkı bağlı.

Tasarımın kendisini de tanıyorsun. Aynı grubun müdahaleden önce ve sonra ölçülmesine öncesi–sonrası karşılaştırması demiştik, ve karşılaştırma grubu olmadığı için doğal seyir, ortalamaya dönüş ve beklenti etkisi değişimin içinden ayrılamıyordu (L01-P02-M03-D01). Bu ders o tasarımın verisini doğru çözümlemeyi öğretiyor; tasarımın kusurunu onarmıyor. İkisini karıştırmamak dersin asıl işi.

Mekanizma

İki sütunun paydası

Baran'ın tablosu şöyle: başlangıçta 92, 97, 101, 104, 106, 110, 113 ve 117 cm; on iki hafta sonra aynı sırayla 91, 93, 99, 105, 102, 108, 112 ve 114 cm. İki sütunun standart sapması 8,32 ve 8,38 cm. Bu sekiz santimetre yürüyüşle ilgili değil, 92 santimetrelik biriyle 117 santimetrelik birinin aynı listede olmasıyla ilgili.

Bağımsız grup testi bu yayılımı paydaya koyar. Farkın standart hatası √(69,14 ÷ 8 + 70,29 ÷ 8) = √17,43 ≈ 4,17 cm ve istatistik 2 ÷ 4,17 ≈ 0,48. İki santimetrelik ortalama değişim, kişiler arasındaki yirmi beş santimetrelik açıklığın gürültüsüne gömülüyor. Hesabın aritmetiği doğru; yanlış olan varsayım. Test, başlangıç sütunundaki sekiz kişiyle bitiş sütunundaki sekiz kişinin birbirinden habersiz iki ayrı örneklem olduğunu varsayıyor, oysa her satır aynı gövde.

Her kişinin kendi farkı

Muazzez Hanım üçüncü bir sütun açtırıyor: bitiş eksi başlangıç. Değerler −1, −4, −2, +1, −4, −2, −1 ve −3 cm; ortalama −2 cm. Kişiler arası yayılım bu sütunda artık yok, çünkü 117 santimetrelik kişi kendi 117'siyle, 92'lik kişi kendi 92'siyle karşılaştırıldı. Geriye kalan, değişimin kişiden kişiye ne kadar oynadığı.

Fark sütununun ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı 20. Serbestlik derecesi 8 − 1 = 7, çünkü tek bir ortalama kestirildi; varyans 20 ÷ 7 ≈ 2,86, standart sapma 1,69 cm. Standart hata 1,69 ÷ √8 = 1,69 ÷ 2,83 ≈ 0,598 cm. İstatistik 2 ÷ 0,598 ≈ 3,35; yedi serbestlik derecesinde iki kuyruklu ret çizgisi 2,365 ve p ≈ 0,012. Değişim için yüzde 95 aralığı −2 ± 2,365 × 0,598, yani −3,41 ile −0,59 cm arası. Aynı sekiz satır, bağımsız okumada p ≈ 0,64, eşleştirilmiş okumada p ≈ 0,012 verdi.

İlişki katsayısı paydayı nasıl küçültür

İki standart hata arasındaki oran 4,17 ÷ 0,598 ≈ 7,0. Bu yedi katın kaynağı, iki farkın varyansını veren cebirde. İki ölçümün farkının varyansı Var(fark) = σ₁² + σ₂² − 2rσ₁σ₂ ile yazılır. Baran'ın verisinde başlangıç ile bitiş arasındaki ilişki katsayısı r ≈ 0,98, ve kesin değeriyle r × 8,32 × 8,38 ≈ 68,286. Formül üç ondalıkla 69,143 + 70,286 − 2 × 68,286 = 2,857 veriyor; fark sütunundan doğrudan bulduğun varyansın aynısı.

Formülün ortasındaki çıkarma terimi bütün kazancı taşıyor. Kişiler arası yayılım iki ölçümde ortak olduğu için r'yi büyütüyor, ve r büyüdükçe o ortak pay farkın varyansından düşüyor. r sıfır olsaydı çıkarılacak bir şey kalmazdı: fark varyansı 69,14 + 70,29 = 139,43, standart hata √139,43 ÷ √8 ≈ 4,17, yani tam olarak Baran'ın bağımsız hesabı. Bağımsız test, iki ölçüm arasındaki ilişkiyi sıfır saymanın ta kendisi.

Eşleştirmenin bedeli

Kazanç bedava değil. Sekiz kişiden on altı ölçüm aldın, ama eşleştirilmiş test sekiz fark görüyor ve yedi serbestlik derecesiyle çalışıyor; bağımsız testte bu sayı on dörttü. Ret çizgisi 2,145'ten 2,365'e çıkıyor, oran 2,365 ÷ 2,145 ≈ 1,10. r yüksekken bu yüzde onluk kayıp yedi katlık standart hata kazancının yanında önemsiz kalıyor. r sıfıra yakınsa kazanç yok ve yalnız kayıp kalıyor.

Eşleştirilmiş testin varsayımı da buna göre değişiyor. Normallik artık iki sütundan değil, fark sütunundan isteniyor, ve bağımsızlık kişiler arasında aranıyor, kişinin kendi iki ölçümü arasında değil. Aynı mantık çapraz (crossover) tasarımın çözümlemesinde de çalışır: her katılımcı iki kolu sırayla alıp kendi kontrolü olduğunda, iki kol arasındaki fark kişi içinden hesaplanır (L01-P02-M03-D06). Oradaki eşleştirmenin bir karşılaştırma koluna dayandığını, Muazzez Hanım'ın pilotunda ise böyle bir kol olmadığını aklında tut.

Testin cevapladığı soru

Eşleştirilmiş test yalnız şunu söylüyor: bu sekiz kişinin bel çevresindeki ortalama değişim, rastlantısal oynamayla kolayca açıklanamayacak kadar sıfırdan uzak. Değişimin yürüyüşten geldiğini söylemiyor. Aynı iki santimetreyi üretebilecek başka yolları Muazzez Hanım tek tek sayıyor ve her birini Baran'ın kendi tablosuna bağlıyor.

İlki seçim. Gönüllüler tarama listesinde bel çevresi en geniş ölçülenlerden alındı, ve bel çevresi ölçümü mezuranın yüksekliğine, nefese, son öğüne göre oynar. Tek bir yüksek ölçümle seçilen kişilerin bir kısmı o gün olağanından geniş ölçülmüştü; ikinci ölçüm hiçbir şey yapılmasa da onların olağan düzeyine doğru kayar. Kaymanın büyüklüğü cebirle kestirilebilir: iki ölçüm arasındaki ilişki katsayısı ρ, seçilenlerin evren ortalamasından uzaklığı da D ise beklenen geri kayma (1 − ρ) × D. Yalnız cebiri görmek için seçilmiş sayılarla, ρ 0,8 ve uzaklık 10 birimken (1 − 0,8) × 10 = 2 birim; tedavisiz bir iyileşme.

Zaman da kendi payını taşıyor. Pilot ekimden ocağa uzandı; hava soğudu, yılbaşı sofraları geldi, gün kısaldı. Mevsimin bel çevresini hangi yöne ittiği bu tablodan bilinemez, ve bilinemediği için değişimin ne kadarının yürüyüşe ait olduğu da bilinemez. Kontrol grubu olsaydı aynı kışı o da yaşayacaktı ve fark mevsimi dışarıda bırakacaktı.

Üçüncüsü ölçümün kendisi. Baran on iki hafta boyunca aynı mezurayı kullandı ve kimin yürüdüğünü biliyordu; ikinci ölçümde mezurayı biraz daha sıkı çekmesi için kötü niyet gerekmez, beklenti yeter. Katılımcılar da ilk ölçümden sonra nefeslerini tutmayı, ölçüm sabahı hafif kahvaltı etmeyi öğrenmiş olabilir. Bunlara bir de düzenli ilgi görmenin yarattığı değişim ekleniyor: haftada üç sabah bir gruba katılan biri beslenmesini de değiştirebilir, ki bu yürüyüşün değil, gruba katılmanın etkisidir.

Klinik gerçeklik

Muazzez Hanım Baran'ın notunu iki cümleyle değiştiriyor. Birincisi: "Sekiz gönüllüde on iki haftada bel çevresi ortalama 2 cm azaldı, yüzde 95 aralık 0,6 ile 3,4 cm arası azalma." İkincisi: "Kontrol grubu olmadığı için bu değişimin ne kadarının yürüyüşe, ne kadarının seçime, mevsime ve ölçüm koşullarına ait olduğu ayrılamıyor." İlk cümle eşleştirilmiş testin hakkı, ikincisi tasarımın sınırı; ikisi birlikte dürüst bir pilot özeti.

Bir sonraki adımın tasarımı da buradan çıkıyor, ve ilginç biçimde geçen dersin pilotu zaten bunu yapmıştı. Orada her katılımcının değişimi alınmış, sonra iki grubun değişimleri bağımsız grup testiyle karşılaştırılmıştı. Eşleştirme kişi içindeki gürültüyü, eş zamanlı kontrol grubu ise mevsimi ve ortalamaya dönüşü dışarıda bırakıyor. Gönüllüleri bir ölçümle seçip başlangıç değerini ayrı bir günde alınan ikinci ölçümden kaydetmek, seçimden gelen kaymayı da küçültüyor. Ölçümü yürüyüş grubunu bilmeyen başka bir çalışanın yapması, mezuranın gerginliğini beklentiden ayırıyor.

Bir makalede önce–sonra verisi gördüğünde de sorular benzer. Yalnız iki ortalama ve iki standart sapma verilmişse eşleştirilmiş testi yeniden kuramazsın, çünkü ilişki katsayısı ya da farkların standart sapması eksik. "Anlamlı iyileşme" cümlesi karşılaştırma grubu olmadan geliyorsa, o cümle değişimin varlığını bildiriyor, nedenini bildirmiyor.

Kendini sına

1. Baran'ın sekiz satırından fark puanlarını çıkar; ortalamalarını, standart sapmalarını ve standart hatalarını bul, sonra istatistiği kur. Serbestlik derecesi neden 14 değil 7?
2. Var(fark) = σ₁² + σ₂² − 2rσ₁σ₂ formülünde r = 0 koyduğunda neden bağımsız grup testinin standart hatasını buluyorsun?
3. Başlangıç ve bitiş arasındaki ilişki katsayısı 0,98 değil 0,2 olsaydı eşleştirilmiş test yine avantajlı olur muydu? Serbestlik derecesi kaybını hesaba kat.
4. Eşleştirilmiş test p ≈ 0,012 verdi. Bu sayı hangi soruyu cevaplıyor, hangisini cevaplamıyor?
5. Gönüllülerin bel çevresi en geniş olanlardan seçilmesi değişimi hangi yönde etkiler? (1 − ρ) × D ifadesiyle ρ 0,9 ve uzaklık 10 birim için beklenen kaymayı hesapla.
6. Muazzez Hanım'ın bir sonraki pilotu için eşleştirmeyi ve kontrol grubunu birlikte kullanan bir çözümleme planı yaz.

Bir sonraki derse köprü

Bu dersteki her iki test de ortalamaya dayanıyordu, ve ortalama tek bir uç değere karşı hassastır. Geçen dersin iki grubuna geri dön: yürüyüş grubunda değişimlerin yayılımı olağan izlemdekinin iki katından fazlaydı, yani birkaç kişi belirgin incelmiş, bazıları hiç değişmemişti. Aynı on altı değişimi büyüklüklerine göre sıraya dizip yalnız her grubun sıralarının nereye yığıldığına baksan, ortalamanın uç değere olan hassasiyetinden kurtulur musun, ve sayıların arasındaki mesafeyi atmanın bedeli ne olur?