t Testi

Açılış sahnesi

Sakarya'da bir aile sağlığı merkezi, ekimin ilk pazartesisi, öğle arası. Aile hekimi Muazzez Hanım bahar sonunda küçük bir pilot başlatmıştı: prediyabet tanısı almış on altı kişi kurayla ikiye ayrıldı, sekizi on iki hafta boyunca haftada üç sabah merkezin önünden kalkan bir yürüyüş grubuna katıldı, öteki sekizi olağan izlemde kaldı. Sonuç ölçüsü bel çevresindeki değişimdi. Uzmanlık eğitiminin aile hekimliği rotasyonundaki Baran tabloyu bitirmiş, ekranı Muazzez Hanım'a çeviriyor.

Yürüyüş grubunda bel çevresi ortalama 3,1 cm, olağan izlemde 0,7 cm incelmiş; fark 2,4 cm. Standart sapmalar 3,0 ve 1,4 cm. Baran farkı standart hatasına bölüp 2,05 bulmuş, standart normal tablosundan p ≈ 0,040 okumuş ve bölge toplantısına götürülecek özetin başlığını bile yazmış: "Yürüyüş grubu bel çevresini anlamlı biçimde azalttı". Muazzez Hanım tabloda yalnız grup büyüklüğüne bakıyor ve "Her grupta sekiz kişi var, bu 2,05'i hangi dağılımdan okuduğunu bir daha düşünelim" diyor.

Bu derste ne olacak

Baran'ın 2,05'ini bu kez iki grubun birleştirilmiş standart sapmasıyla kuracak, serbestlik derecesini sayacak ve kararın nasıl değiştiğini göreceksin. Sonra aynı sayıyı geçen dersteki yüz kadınlık adet ağrısı çalışmasına uygulayacak, iki örneklem büyüklüğünde t ile z'nin ne kadar ayrıştığını ölçeceksin. Ardından grupların yayılımı birbirinden farklıyken birleştirmenin neden yanıltabildiğini ve Welch'in önerdiği yolun bunu nasıl onardığını hesaplayacaksın. Son bölümde testin üç varsayımını, en ağır bedeli ödetenden başlayarak tartacaksın.

Sıfır noktası

Bu sorunun yarısını t dağılımı dersinde çözmüştün. Yayılım da aynı veriden kestirildiğinde ortalamanın dağılımı normalden kalın kuyruklu oluyordu, ve serbestlik derecesi yayılım tahmininin ne kadar bilgiye dayandığını söylüyordu (L02-P02-M02-D06). Orada tek bir grubun ortalaması için bir aralık kurmuştun. Burada iki grup var ve soru bir aralık değil, bir karar.

Hipotez testi modülünde kararın iskeletini de kurmuştun. Sıfır hipotezi iki grubun evren ortalamalarının eşit olduğunu söylüyor, test istatistiği gözlenen farkın gürültüye oranını ölçüyor, alfa ise yanlış alarma ne kadar izin verdiğini sabitliyor. Eksik olan tek parça, gürültünün kendisinin de gürültülü ölçülmüş olması. İki grupta toplam on altı kişiyle yayılım tahmini oynak ve Baran'ın standart normal tablosu bu oynaklığı hiç görmüyor.

Mekanizma

Paydayı iki gruptan kurmak

İki grubun evrenlerde aynı yayılıma sahip olduğunu varsayarsan, iki örneklem standart sapması aynı büyüklüğün iki ayrı tahminidir ve onları birleştirmek daha kararlı bir tahmin verir. Her grubun varyansı kendi serbestlik derecesiyle ağırlanır. Baran'ın sayılarıyla: 7 × 9 + 7 × 1,96 = 76,72, bunu toplam serbestlik derecesine bölünce 76,72 ÷ 14 = 5,48. Karekökü 2,34 cm; bu, iki gruptaki kişilerin ortak yayılımının tahmini.

Farkın standart hatası bu ortak yayılımı iki grubun büyüklüğüne göre küçültür: 2,34 × √(1 ÷ 8 + 1 ÷ 8) = 2,34 × 0,5 ≈ 1,17. İstatistik Baran'ınkiyle aynı, 2,4 ÷ 1,17 ≈ 2,05. Değişen şey sayının okunduğu dağılım. Her grup kendi ortalamasını kestirirken bir serbestlik derecesi harcadı, bu yüzden 8 + 8 − 2 = 14 serbestlik derecesi kaldı.

On dört serbestlik derecesinde iki kuyruklu yüzde beşlik ret çizgisi 2,145'e kayıyor. Baran'ın 2,05'i bu çizginin altında kalıyor ve p ≈ 0,060; veri hiç değişmeden hüküm eşiğin öbür yanına geçti. Fark için kurulan yüzde 95 aralığı da aynı yere işaret ediyor: 2,4 ± 2,145 × 1,17, yani yaklaşık −0,1 ile 4,9 cm arası; sıfır içeride. Standart normal çarpanıyla kurulsaydı 0,1 ile 4,7 arası çıkacak ve sıfırı dışarıda bırakacaktı.

Samsun'daki 2,05 ile Sakarya'daki 2,05

Geçen dersin eczanesinde Berk de 2,05 bulmuştu: yüz kadın, elli elli iki grup, fark 0,9 puan, standart hata 0,44. O çalışmayı t testiyle yeniden sına. Serbestlik derecesi 50 + 50 − 2 = 98, kritik değer 1,984, p ≈ 0,043. Berk'in standart normalden okuduğu 0,041 ile arasında önemsiz bir fark var.

Kuyruğun kalınlığını kritik değerin 1,96'ya oranıyla ölçebilirsin. Doksan sekiz serbestlik derecesinde 1,984 ÷ 1,96 ≈ 1,01, on dörtte 2,145 ÷ 1,96 ≈ 1,09. Yüz kişilik çalışmada standart sapmanın kendi oynaklığı eşiği yüzde bir itiyor, on altı kişilik pilotta yüzde dokuz. İstatistiği eşiğe yakın duran bir çalışmada o yüzde dokuz kararın kendisi. Berk'in kestirmesi yüz kişide zararsızdı; Baran'ın aynı kestirmesi sekiz kişilik gruplarda bir anlamlılık başlığı üretti.

Aradaki yol da düzgün. Grup başına on altı kişide, yani otuz serbestlik derecesinde kritik değer 2,042, altmışta 2,000. Standart sapma tahmini ölçüm biriktikçe kararlılaşır, t dağılımının kuyrukları incelir ve z ile t arasındaki boşluk kapanır. Bu yüzden büyük çalışmaların z ile yazılmış p değerleri çoğu zaman sorun çıkarmaz; küçük çalışmalarda t zorunluluk.

Kalın kuyruğun güç tarafında da bir bedeli var. Alfa 0,05'te sabit kalıyor, ama ret çizgisi dışarı kaydığı için aynı gerçek fark eşiği daha zor geçiyor. Güç hesabında t ile yapılan hesabın normal yaklaşımdan bir iki kişi fazla istemesinin nedeni bu; sekizer kişilik bir pilotta o fark kişi sayısıyla değil, kaybedilen güçle ölçülüyor.

Yayılımlar eşit değilse

Muazzez Hanım'ın ikinci sorusu standart sapmalar hakkında. Yürüyüş grubunda 3,0, olağan izlemde 1,4 cm: varyans oranı 9 ÷ 1,96 ≈ 4,6. Bu şaşırtıcı değil, çünkü bir müdahale herkesi aynı ölçüde etkilemez; bazı katılımcılar belirgin inceldi, bazıları hiç değişmedi. Birleştirilmiş varyans ise iki grubun aynı yayılıma sahip olduğunu varsayıyor.

Bernard Lewis Welch 1947'de Biometrika'da yayımlanan "The generalization of 'Student's' problem when several different population variances are involved" makalesinde bu varsayımı kaldıran yolu verdi. Her grubun varyansı kendi büyüklüğüne bölünür ve ayrı ayrı toplanır: 9 ÷ 8 = 1,125 ile 1,96 ÷ 8 = 0,245, toplam 1,37, karekökü yine 1,17. Gruplar eşit büyüklükteyken iki yolun standart hatası aynı çıkar. Değişen serbestlik derecesi, çünkü yayılımın büyük kısmını sekiz kişilik tek bir grup taşıyor ve on dört serbestlik dereceli bir tahmin kadar kararlı değil.

Welch–Satterthwaite yaklaşımı bunu şöyle sayar: (1,125 + 0,245)² ÷ (1,125² ÷ 7 + 0,245² ÷ 7) ≈ 1,877 ÷ 0,189 ≈ 9,9. Kritik değer 2,23'e çıkıyor, p ≈ 0,068. Gruplar eşit olmasaydı fark büyürdü. Yürüyüş grubunda aynı ortalama ve yayılımla altı kişi kalsaydı birleştirilmiş standart hata 1,19 ve istatistik 2,01 olurdu; Welch'in standart hatası √(9 ÷ 6 + 1,96 ÷ 8) = √1,745 ≈ 1,32, istatistiği 1,82, serbestlik derecesi 6,6, p ≈ 0,11. Birleştirme, küçük ve gürültülü grubun belirsizliğini büyük ve sakin grubun varyansıyla sulandırmıştı.

Sapmanın yönünü benzetim gösteriyor. Sıfır hipotezi doğruyken, standart sapması 3,0 olan altı kişilik bir grubu 1,4 olan on iki kişilik bir grupla yüz bin kez karşılaştıran bir benzetim kuruldu (tohum 20260929). Birleştirilmiş test 12.412 kez anlamlı çıktı, yani 0,124; Welch 5.352 kez, yani 0,054. Büyük varyansı kalabalık grup taşıdığında tablo tersine döndü: birleştirilmiş test 0,019, Welch 0,048. Birinci durumda yanlış alarm alfanın iki katını aşıyor, ikincisinde test gereksiz yere çekingen kalıp güç kaybediyor.

Üç varsayım, üç ağırlık

t dağılımını 1908'de Biometrika'da "The probable error of a mean" başlığıyla ve "Student" takma adıyla yayımlayan William Sealy Gosset, dağılımı normal bir evrenden çekilmiş bağımsız gözlemler için türetmişti. Bugünkü iki örneklem testi de üç varsayım taşıyor ve hiçbiri aynı ağırlıkta değil. Eşit varyans varsayımını Welch zaten ortadan kaldırıyor. Yaklaşık normallik varsayımı, gruplar orta büyüklükte ve birbirine yakınsa ılımlı sapmalara dayanıklı; sekiz kişilik gruplarda ise sınanamıyor, ve belirgin çarpıklıkta sıralara dayanan testler ayrıca tartışılır.

Bağımsızlık en ağır olanı, çünkü ne Welch ne de büyük örneklem onu onarır. Muazzez Hanım'ın yürüyüş grubunda dört çift eş birlikte katılmış olsaydı, aynı sofradan beslenen iki kişinin bel çevresi değişimi birbirine benzeyecekti. Çift içi benzerlik 0,5 ise tasarım etkisi 1 + (2 − 1) × 0,5 = 1,5 olur ve standart hata √1,5 ≈ 1,22 katına çıkar: 1,17 × 1,22 ≈ 1,43. Sekiz kişi gibi görünen grup, bilgi bakımından beş altı kişiye yakın.

Klinik gerçeklik

Muazzez Hanım özetin başlığını siliyor ve yerine bir pilot cümlesi yazdırıyor. Welch testiyle fark 2,4 cm, güven aralığı kabaca −0,2 ile 5,0 cm arası, p ≈ 0,068. Bu, yürüyüşün işe yaramadığı anlamına gelmiyor; sekiz kişilik gruplarla ikinci türden bir hatanın payı zaten yüksekti. Aralığın üst ucu anlamlı bir incelmeyle, alt ucu hiç değişmemekle uyumlu, ve bölge toplantısına götürülecek dürüst soru daha büyük bir denemenin kaç kişiyle kurulacağı.

Baran'a bir de okuma listesi veriyor. Bir makalede iki ortalamanın karşılaştırıldığını gördüğünde önce hangi t testinin kullanıldığına bak; yalnız "t testi" yazıyorsa hangisi olduğunu bilemezsin, çünkü yazılımların varsayılanı ayrışıyor: kimi birleştirilmiş olanı, kimi Welch'i hesaplar. O durumda iki grubun standart sapmasını ve büyüklüğünü birlikte oku. Serbestlik derecesi bildirilmişse onu grup büyüklükleriyle karşılaştır: tam sayı olmayan bir değer Welch'e, n₁ + n₂ − 2 birleştirmeye işaret eder. Son olarak ölçümlerin gerçekten bağımsız kişilerden gelip gelmediğini sor; aynı ailenin, aynı servisin ya da aynı hastanın tekrarlanan ölçümleri ayrı kişiler gibi sayılmışsa p değeri olduğundan küçüktür.

Kendini sına

1. Baran'ın sayılarıyla birleştirilmiş varyansı, farkın standart hatasını ve t istatistiğini hesapla. Serbestlik derecesi neden 16 değil 14?
2. Aynı 2,05 yüz kişilik adet ağrısı çalışmasında p ≈ 0,043, sekizer kişilik pilotta p ≈ 0,060 verdi. Farkı kritik değerlerin 1,96'ya oranıyla açıkla.
3. Gruplar eşit büyüklükteyken Welch'in standart hatası neden birleştirilmiş olanla aynı çıkıyor, serbestlik derecesi ise neden küçülüyor?
4. Yürüyüş grubu altı kişiye inseydi iki test neden ayrışırdı? Benzetimdeki 0,124 ile 0,019'u yorumla.
5. Üç varsayımı ağırlıklarına göre sırala. Bağımsızlık bozulduğunda Welch testi neden yardım etmiyor?
6. Dört çift eşle ve çift içi benzerlik 0,3 iken tasarım etkisini ve düzeltilmiş standart hatayı hesapla.

Bir sonraki derse köprü

Bu derste iki grup birbirinden bağımsızdı ve paydaya iki grubun ayrı ayrı yayılımı girdi. Muazzez Hanım bir sonraki pilotu kontrol grubu olmadan kurmayı düşünüyor: aynı sekiz kişinin bel çevresini başlangıçta ve on ikinci haftada ölçmek. Bel çevresi kişiden kişiye onlarca santimetre değişirken, aynı kişinin iki ölçümünü iki bağımsız grup gibi karşılaştırmak o kişiler arası yayılımı paydaya taşır mı, ve her kişinin kendi farkına bakmak bu yayılımı nasıl dışarıda bırakır?