Örneklem Büyüklüğünün Etkisi

Açılış sahnesi

Nisan ortası, gece yarısını biraz geçe. Çukurova'daki doğum hastanesinin ebe odasında gece vardiyasının sorumlu ebesi Nimet Hanım, kalite biriminden Yakup'un bıraktığı yeni veri formunu dolduruyor. Kurul gece ile gündüz arasındaki farka bir çeyrek daha bakmaya karar vermişti ve form o çeyreğin kâğıdı: her doğum için vardiya, doğum saati, ilk emzirme saati. Formun üst köşesinde Yakup'un el yazısıyla bir hedef duruyor: "Farkın yarı genişliği ±4 dk".

Nimet Hanım kayıt defterini açıp son üç ayı sayıyor ve her ay gece vardiyasına otuz beş ile otuz yedi arasında doğum düştüğünü görüyor. Nisan, mayıs ve haziranla 3 × 36 = 108 gece doğumu eder. Sabah devirde Yakup'a sorusunu soruyor: mart ayında otuz altı doğum ±8,5 dakika verdiyse, üç katı doğum ±4'ü getirmez mi? Yakup kalemi alıyor ve cevabın hayır olduğunu, ama nedenini bir sayfada gösterebileceğini söylüyor.

Bu derste ne olacak

Önce hassasiyet hedefini tersine çevirip ±4 dakika için vardiya başına gereken doğum sayısını iki yoldan hesaplayacağız ve üç aylık formun bu hedefe neden yetmediğini göreceğiz. Sonra her ek doğumun aralığa kattığı daralmanın örneklem büyüdükçe nasıl eridiğini sayacağız. Ardından büyüklüğün çözemediği iki şeye bakacağız: kaydın kendisindeki bir kayma ve planın dayandığı standart sapmanın kendi belirsizliği. Son bölümde yüzde yüze yakın oranlara dönüp Wald ile Wilson kurallarının doğum sayısı arttıkça birbirine ne kadar yaklaştığını ölçeceğiz.

Sıfır noktası

Kesinliğin gözlem sayısıyla değil onun karekökü ile arttığını binom dağılımı dersinde (L02-P02-M02-D02) karekök kuralı adıyla görmüştün; evren ve örneklem dersindeki çocuk boyu örneğinde de dört kat emeğin bandı yalnız yarıya indirdiğini hesaplamıştın. Standart hata dersi aynı karekökü ortalamanın genişliğine bağladı. Güven aralığı dersi de genişliğin bir çarpan ile standart hatanın çarpımı olduğunu gösterdi; mart verisinde farkın yarı genişliği, 4,24 dakikalık standart hatanın 1,99 katı olarak 8,46 dakika çıkmıştı.

Bu ders o kuralı yeniden kurmuyor, yönünü çeviriyor. Şimdiye kadar elde bir örneklem vardı ve genişliği ondan hesaplıyordun. Planlamada sıra ters işler: önce ne kadar genişliğe razı olduğunu seçersin, örneklem büyüklüğünü o seçimden geri çıkarırsın.

Mekanizma

Hedeften örnekleme

Yakup'un ilk yolu orana dayanıyor. Hata payı standart hatayla, standart hata da doğum sayısının karekökünün tersiyle küçülüyor; o hâlde istenen daralma oranının karesi kadar doğum gerekir. Mart verisinde 8,46 ÷ 4 ≈ 2,115 kat daralma isteniyor ve bunun karesi 2,115 × 2,115 ≈ 4,47. Her vardiyada 36 × 4,47 ≈ 161 doğum.

İkinci yol formülün kendisi. Tek bir ortalama için hata payı E, planlama standart sapması SD ve çarpan z ise gereken gözlem sayısı n = (z × SD ÷ E)². Gündüz ortalamasını tek başına ±4 dakikaya indirmek için (1,96 × 18 ÷ 4)² = 8,82² ≈ 77,8, yani 78 doğum yeter. Nimet Hanım ise iki ortalamanın farkını soruyor ve farkın varyansı iki grubun varyanslarının toplamı; aynı hedef için her gruba bunun iki katı gerekir: 2 × 77,8 ≈ 155,6, yuvarlanınca 156.

İki yolun 161 ile 156 arasında ayrışmasının nedeni çarpan. Oran yolu otuz altı doğumdaki 1,99'u sabit tuttu, formül ise büyük örneklemin 1,96'sını kullandı. Doğru çarpan ikisinin arasında: her vardiyada 157 doğumda serbestlik derecesi 312 ve t çarpanı yaklaşık 1,97; standart hata 18 × √(2 ÷ 157) ≈ 2,03, hata payı 1,97 × 2,03 ≈ 3,997 dakika. Hedef 157'de tutuyor.

Üç aylık form buraya ulaşmıyor. Her vardiyada 108 doğumla standart hata 18 × √(2 ÷ 108) ≈ 2,45 ve hata payı 1,97 × 2,45 ≈ 4,83 dakika. Mart verisi de eklenirse 144 doğumla 4,18'e iniyor, hâlâ 4'ün üstünde. Gece vardiyasına ayda otuz altı doğum düştüğüne göre hedef 157 ÷ 36 ≈ 4,4 aylık veri istiyor.

Neden ikiye katlamak yetmiyor

Nimet Hanım'ın sezgisi doğrusal: üç kat doğum, üç kat kesinlik. Oysa standart hata örneklemin kendisiyle değil karekökü ile küçülüyor. Doğum sayısı 36'dan 72'ye çıktığında farkın standart hatası 18 × √(2 ÷ 72) = 3 dakikaya iniyor ve hata payı 1,98 × 3 ≈ 5,93 oluyor. Oran 5,93 ÷ 8,46 ≈ 0,70; bu da kabaca 1 ÷ √2 ≈ 0,707. İkiye katlanan emek aralığı yarıya değil, yüzde yetmişine indiriyor.

Aynı hesabı her katlamada tekrarlarsan kazancın nasıl küçüldüğünü görürsün. 36'dan 72'ye geçmek 2,53 dakika kazandırıyor, 72'den 144'e 1,76, 144'ten 288'e 1,23 dakika. Her adım bir öncekinin iki katı doğum istiyor ve bir öncekinin yaklaşık yüzde yetmişi kadar daralma getiriyor.

Tek bir doğumun değerini hesaplayabilirsin. Otuz altıncı doğumdan sonra gelen doğum hata payını yaklaşık 8,46 ÷ (2 × 36) ≈ 0,12 dakika daraltıyor; yüz elli yedinci doğumdan sonra gelen ise 4 ÷ (2 × 157) ≈ 0,013 dakika. Aynı kayıt, aynı ebe emeği, dokuz kat daha az bilgi. Kurul bir gün ±2 dakika isterse hedef yine dört katına çıkar: yaklaşık 624 doğum, yani 624 ÷ 36 ≈ 17,3 aylık gece verisi. O noktada soru istatistikten çıkıp bir karara dönüşür: on yedi ay beklemenin bedeli, dört dakika yerine iki dakikayla bilmenin getirisinden büyük mü?

Büyüklüğün dokunmadığı hata

Diyelim ki gece vardiyasında ilk emzirme saati bazen devir sırasında geriye dönük yazılıyor ve kayıtlar ortalama 3 dakika geç düşüyor. Bu kayma örnekleme hatası değil, her doğumda aynı yöne iten bir sistematik hata; vaka serisi dersinde sistematik ile rastlantısal hatanın ayrımı adıyla tanımıştın. Örnekleme hatası dersinde (L02-P04-M01-D06) ikisini ortalama kare hatada birleştirmiştin ve aynı hesap burada da işliyor.

Mart verisiyle farkın tahmininin tipik uzaklığı √(4,24² + 3²) = √26,98 ≈ 5,19 dakika. Her vardiyada 157 doğumda standart hata 2,03'e iniyor ve hesap √(2,03² + 3²) ≈ 3,62 veriyor. Doğum sayısı sınırsızca büyüse bile tipik uzaklık 3 dakikanın altına inmez; aralık daralırken yanlış yerde toplanır. Bu kaymayı düzelten şey daha çok doğum değil, saatin doğumhanede o anda yazılması.

Aynı derste gördüğün sonlu evren düzeltmesi de burada neredeyse hiçbir şey yapmıyor. Kurulun sorusu yalnız marttaki yetmiş iki doğum hakkında olsaydı, ayın bütün doğumları alındığı için düzeltme standart hatayı sıfıra indirirdi. Soru ise vardiya düzeninin gelecek doğumlarda nasıl işlediği hakkında ve o evren tükenmiyor; çarpan bire yakın kalıyor.

Planın dayandığı sayı

Formüldeki 18 dakika bir kestirim, üstelik otuz altı doğumdan gelmiş. Standart hata dersinde bir standart sapmanın kendi tipik oynamasını 1 ÷ √(2 × (n − 1)) ile bulmuştun: burada 1 ÷ √(2 × 35) = 1 ÷ √70 ≈ 0,12. Gerçek değer kabaca 15,8 ile 20,2 dakika arasında olabilir. Gereken doğum sayısı standart sapmanın karesiyle büyüdüğü için bu küçük görünen oynama plana büyüyerek geçiyor: 20,2 dakikada 156 × (20,2 ÷ 18)² ≈ 196, 15,8 dakikada ≈ 120 doğum.

Yüzde yüze yakın oranlar büyüyünce

Şubatta yirmi doğumun on sekizinde bebek ilk saatte emmişti ve bu oran Wald kuralıyla 0,769–1,031, Wilson kuralıyla 0,699–0,972 aralığını vermişti ve alt sınırlar arasında 0,07'lik bir mesafe vardı. Aynı 0,9 oranı daha çok doğumda gözlenseydi iki kural şöyle konuşurdu; kapsama sütunu, evren oranı 0,9 alınıp olası bütün sonuçlar toplanarak hesaplandı.

Aralıkların genişliği karekök kuralına uyuyor: doğum sayısı on altı katına çıkarken Wald aralığı 0,262'den 0,066'ya, yani dörtte birine iniyor. İki kural arasındaki mesafe ise daha hızlı eriyor. Alt sınırlar arasındaki fark 0,070'ten 0,019'a, oradan 0,005'e düşüyor; on altı kat doğumla kabaca on dörtte birine. Wilson aralığının merkezi 0,5'e doğru z² ÷ n ile orantılı bir miktar kayıyordu ve bu kayma örneklemin kendisiyle küçülüyor, karekökü ile değil.

Belirleyici olan toplam doğum değil, azınlıkta kalan sonucun sayısı. Yirmi doğumda ilk saatte emmeyen bebek beklenen olarak 20 × 0,1 = 2, seksen doğumda 8, üç yüz yirmide 32. Gerçek oran 0,97 olsaydı üç yüz yirmi doğumda emmeyen sayısı 320 × 0,03 = 9,6'ya düşerdi ve Wald kuralının kapsaması aynı büyüklükte 0,911'e geri inerdi; Wilson 0,953'te kalıyor. Doğum sayısı arttıkça fark kapanıyor, ama oran bire yaklaştıkça kapanma daha çok doğum istiyor.

Klinik gerçeklik

Bir çalışmanın ya da kalite raporunun yöntem bölümünde örneklem büyüklüğü gerekçelendirildiğinde üç sayıyı ara: hedeflenen hata payı, planlama standart sapması ve onun nereden geldiği. Standart sapma küçük bir pilottan geliyorsa hesaplanan sayı en az onun belirsizliği kadar oynak. Aralık beklenenden geniş çıktıysa ilk soru gözlem sayısının plana ulaşıp ulaşmadığı, ikincisi gerçek yayılımın planlanandan büyük olup olmadığı.

Büyük bir örneklem gördüğünde de soruyu çevir: dar aralık seçim ve kayıt yolunun temiz olduğunu göstermez. Oranlarda gözlem sayısının yanına azınlıktaki sonucun sayısını koy; binlerce kişilik bir çalışmada yirmi olay, kapsama açısından yirmi olayın söylediği kadarını söyler. İki vardiyanın gerçek bir farkı varsa çalışmanın onu yakalama olasılığı ise ayrı bir hesap; hipotez testi modülünde güç adıyla (L02-P04-M03-D06) gelecek.

Yakup forma iki satır ekliyor. İlki süre: her vardiyada 157 doğum hedefleniyor, ayda otuz altı doğumla bu dört buçuk aya yakın sürer ve standart sapma kestirimin üst ucu olan 20,2 dakikaya çıkarsa hedef 196 doğuma kayar. İkincisi kayıt: ilk emzirme saati doğumhanede o anda yazılacak, devirde geriye dönük doldurulmayacak. Nimet Hanım üç ayın yetmeyeceğini kurula kendisi söylemeye karar veriyor ve yanına tek bir sayı alıyor: 108 doğumda ±4,8 dakika.

Kendini sına

1. Gündüz ortalamasını tek başına ±3 dakikaya indirmek için standart sapma 18 dakikayken kaç doğum gerekir? Aynı hedef iki vardiyanın farkı için olsaydı sayı neden iki katına çıkardı?
2. Mart verisinin hata payı 8,46 dakikaydı. Doğum sayısı dört katına çıkarsa hata payı kabaca kaç olur? Neden 2,1 değil?
3. Otuz altı doğumdan sonra gelen bir doğumla yüz elli yedi doğumdan sonra gelen bir doğumun hata payına katkısını karşılaştır.
4. Kayıtlar gece vardiyasında ortalama 3 dakika geç düşüyorsa, doğum sayısı ne kadar artarsa artsın farkın tipik hatası hangi değerin altına inemez?
5. Planlama standart sapması 18 yerine 22 dakika olsaydı 156 doğumluk plan kaça çıkardı?
6. Seksen doğumda 72 bebek ilk saatte emdiyse Wald ile Wilson aralıkları neden yirmi doğumdakinden çok daha yakın? Gerçek oran 0,97 olsaydı aynı yakınlık için ne gerekirdi?

Bir sonraki derse köprü

Çeyrek sonunda kurulun önüne yine bir aralık gelecek, ama bu kez arkasında bir plan olacak: hedeflenen hata payı, ulaşılan doğum sayısı, kayıt yolu ve kuralın adı. Güven aralığı yorumlama üzerine uygulama dersinde yorum sırası sende. Bir raporun aralık satırını cümleye çevirirken önce hangisini sorarsın: aralığı üreten kuralı mı, genişliği planla karşılaştırmayı mı, yoksa büyüklüğün dokunamadığı seçim ve kayıt yolunu mu?