Güven Aralığının Yanlış Yorumları

Açılış sahnesi

Nisanın ilk salısı, Çukurova'daki doğum hastanesinin kalite kurulu toplanıyor. Başhekim yardımcısı Nazmi Bey doğumhanenin şubat satırını yüksek sesle okuyor: "İlk saatte emzirme 0,9; gerçek oran yüzde 95 olasılıkla en az 0,70, en çok 0,97". Ardından perdeye mart ayının yeni göstergesi geliyor. Kalite biriminden Yakup bu kez ayın bütün doğumlarını almış ve doğumdan ilk emzirmeye kadar geçen süreyi vardiyaya göre ayırmış: gündüz doğan 36 bebekte ortalama 40 dakika, gece doğan 36 bebekte 49 dakika, iki grupta da standart sapma 18 dakika. Her ortalamanın yanında bir güven aralığı duruyor, gündüz için 33,9 ile 46,1, gece için 42,9 ile 55,1 dakika.

Nazmi Bey iki çubuğa bakıp kararını veriyor: aralıklar üst üste biniyor, demek ki gece vardiyasının bir farkı yok ve gece ekibi için ayrı bir düzenleme gerekmiyor. Toplantıyı kapatırken bir cümle daha ekliyor: nisanın gündüz ortalaması da yüzde 95 olasılıkla bu aralıkta kalacak. Sorumlu ebe Cemile Hanım üç cümleyi de not defterine geçiriyor ve üçünün de sonuna soru işareti düşüyor.

Bu derste ne olacak

Önce şubat satırındaki "yüzde 95 olasılıkla" ifadesinin kuraldan tek aralığa nasıl taşındığını izleyecek ve tek aralık hakkında gerçekten kurulabilen cümleleri hesapla bulacağız. Sonra aralığın sınırlarına, verinin yayılımıyla karıştırılmasına ve iki aralığın örtüşmesine geçeceğiz; mart verisinde farkın kendi aralığını kurunca Nazmi Bey'in kararının sayıyla neden çeliştiği görünecek. Sonda nisan tahminine ve dar bir aralığın isabet sanılmasına geleceğiz.

Sıfır noktası

Sezgisel okuma ile teknik tanım arasındaki fark karşına iki kez çıkmıştı. Kan basıncı programının özetlerinde (L01-P04-M02-D02) kaçıran aralıkların öbürlerinden farklı görünmediğini, kantindeki parada (L02-P02-M03-D06) "gerçek değer yüzde şu olasılıkla burada" cümlesini ancak sonsaldan kesilen güvenilirlik aralığının kurabildiğini görmüştün. Güven aralığı dersi de kapsama olasılığını bir kurala bağladı: Yakup'un yöntemi yirmi doğumun alabileceği bütün sonuçlara tek tek uygulandı ve yüzde 95, bu uygulamaların kaçında evren değerinin yakalandığını anlatıyordu.

Bu ders o tanımları yeniden kurmuyor. Soru artık hangi tanımın doğru olduğu değil: kurala ait bir sayı, masadaki tek aralık için hangi cümleyi taşıyabilir? Nazmi Bey'in üç cümlesi bu dönüşümün üç ayrı bozulması ve her biri bir hesapla sınanabiliyor.

Mekanizma

Kuralın sayısı, aralığın cümlesi

Kapsama olasılığının veri gelmeden sorulan bir soruya ait olduğunu en açık biçimde Wald kuralının yirmide yirmi satırı gösteriyor. Evrendeki oran 0,9 iken o kural olası sonuçların toplamında yüzde 87,6 isabet ediyordu. Bu sayı sonuçlar üzerinden alınmış bir ortalama: on dört ile on dokuz arasında emen bebek gözlenen her sonuçta aralık 0,9'u içeriyor, yirmide yirmi gözlendiğinde ise aralık 1'de tek bir noktaya çöktüğü için 0,9'u kesin olarak dışarıda bırakıyor. Yirmide yirminin gelme olasılığı 0,9 üzeri 20, yaklaşık 0,122; öteki sonuçların payı 1 − 0,122 = 0,878 ve on üç ile altındaki kaçıranlar düşülünce 0,876 kalıyor. Veri geldikten sonra o belirli aralığın isabet edip etmediği artık rastlantıya bağlı bir olay değil, bilinmeyen ama sabit bir durum.

Elindeki aralığı üreten örneklemin hangi alt kümeye düştüğünü görebiliyorsan, kuralın genel yüzdesi o aralığa aktarılamaz. Wilson kuralında bu kadar kaba bir alt küme yok, ama söz Cemile Hanım'ın satırına yine bir olasılık olarak değil, bir güven düzeyi olarak eşlik ediyor: "Bu aralığı, yirmi doğumluk örneklemlerde evren değerini yaklaşık yüzde 95 oranında kapsayan bir kural üretti".

Tek aralık için ikinci bir cümle daha kurulabiliyor ve o cümle hesaba dayanıyor. Wilson aralığı, gözlenen 0,9'u 1,96 standart hatadan daha yakında bırakan adayların kümesiydi. Aday 0,80 olsaydı standart hata √(0,80 × 0,20 ÷ 20) ≈ 0,0894 ve mesafe 0,10 ÷ 0,0894 ≈ 1,12 standart hata olurdu; yirmide on sekiz o evrende sıradan bir sonuç. Aday 0,65'te standart hata 0,1067'ye çıkıyor ve mesafe 0,25 ÷ 0,1067 ≈ 2,34; o evrende iki yönden birinde bu kadar uzak bir sonuç ancak elli örneklemde bir kez görülürdü. Aralık böylece bir uyum cümlesine çevriliyor: 0,70–0,97 aralığındaki oranlar bu ayın yirmi doğumuyla uyumlu, dışındakiler belirgin biçimde daha az uyumlu.

Nazmi Bey'in cümlesi ise olasılığı oranın kendisine veriyor ve böyle bir cümle bir önsel ister. Her oranı baştan eşit olası sayan düz bir önselle doğumhanenin oranının 0,70–0,97'de olma sonsal olasılığı 0,954 çıkıyor ve sayı burada sözle neredeyse çakışıyor. Kurul geçen yılın oranının 0,6 dolayında seyrettiğini bilip bu bilgiye yirmi doğum kadar ağırlık verseydi, aynı aralığa düşen olasılık 0,73'e inerdi. Aralık aynı kaldı, olasılık değişti. Nazmi Bey'in yüzde 95'i aralığın kendi malı değil, kurulun masaya koyduğu bilgiye bağlı.

Sınırın iki yanı

Aralığın uçları keskin çizilir, ama arkalarındaki uyum keskin değişmez. Aday 0,70 için mesafe 0,20 ÷ 0,1025 ≈ 1,95 standart hata, aday 0,69 için 0,21 ÷ 0,1034 ≈ 2,03. İlki aralığın içinde, ikincisi dışında kalıyor; oysa veri iki adayla neredeyse aynı ölçüde uyuşuyor. Sınır, 1,96 çarpanını seçen kişinin çizdiği bir çizgi.

Çizgi çarpanla birlikte yer değiştirir. Aynı yirmi doğumdan yüzde 99'luk Wilson aralığı 0,62 ile 0,98 arasında çıkıyor ve biraz önce dışarıda kalan 0,69 artık içeride. Veride hiçbir şey değişmedi. Değişen, kurulun ne sıklıkta yanılmayı göze aldığı.

Verinin yüzde 95'i değil

Mart slaytında karışıklık başka bir kılıkta duruyor: gündüzün 33,9–46,1'lik aralığını "gündüz doğan bebeklerin yüzde 95'i 34 ile 46 dakika arasında emmeye başlıyor" diye okumak, standart hata dersinde ayrılan iki sayıyı yeniden karıştırmak demek. Aralık ortalamanın belirsizliğini taşıyor: standart hata 18 ÷ √36 = 3 dakika, otuz altı doğumda t çarpanı 2,03 ve yarı genişlik 2,03 × 3 ≈ 6,1 dakika. Tek tek bebeklerin yayılımı ise 18 dakikalık standart sapmada duruyor. Dağılım normal olsaydı bebeklerin ortadaki yüzde 95'i kabaca 40 ± 1,96 × 18, yani 5 ile 75 dakika arasına yayılırdı.

Süre sağa çarpık olduğu için bu bant yaklaşık, ama büyüklük sırası açık: bebeklerin yayılımı aralığın kabaca √36, yani altı katı. Emzirme oranında aynı okumanın karşılığı bile yok, çünkü her bebek ya ilk saatte emmiş ya emmemiş ve değeri 0,8 olan tek bir bebek bulunmuyor.

İki aralık örtüşünce

Nazmi Bey'in vardiya kararı aslında iki ortalamanın farkı hakkında ve o farkın kendi aralığı kurulabilir. Fark 49 − 40 = 9 dakika. İki grup bağımsız olduğu için farkın standart hatası iki standart hatanın karelerinin toplamının karekökü: √(3² + 3²) = √18 ≈ 4,24 dakika. Serbestlik derecesi 70 iken t çarpanı yaklaşık 1,99, yarı genişlik 1,99 × 4,24 ≈ 8,46 ve farkın aralığı 0,54 ile 17,46 dakika arası. Aralık sıfırı dışarıda bırakıyor; iki ayrı çubuk üst üste binerken aynı veri, gece doğan bebeklerin daha geç emmeye başladığıyla uyumlu.

Çelişki, iki yarı genişliğin nasıl toplandığından doğuyor. İki ayrı aralığın birbirinden kopması için ortalamalar arasındaki mesafenin iki yarı genişliğin toplamını, eşit standart hatalarda 2 × 1,96 = 3,92 standart hatayı geçmesi gerekir. Farkın aralığında ise standart hatalar kareleriyle toplanıyor ve aralık, normal yaklaşımla fark 1,96 × 1,414 ≈ 2,77 standart hatayı aşınca sıfırı dışarıda bırakıyor. Mart verisinde fark 9 ÷ 3 = 3 standart hata: 2,77'nin üstünde, 3,92'nin altında. Bu bölgedeki her farkta yan yana iki çubuk üst üste biner ve yanlış izlenim bırakır.

Ters yönde okuma işliyor ama fazla temkinli kalıyor. İki aralık hiç örtüşmüyorsa, eşit standart hatalarda fark 3,92'yi, dolayısıyla 2,77'yi de aşmıştır; örtüşmeme güçlü bir işaret, örtüşme ise tek başına hiçbir şeyin işareti değil. Hata çubukları dersinde çubuğun türünü sormuştun; tür doğru seçilmiş olsa bile iki grubu karşılaştırmanın aracı iki çubuk değil, farkın kendi aralığı.

Nisan ortalaması nereye düşer

Nazmi Bey'in son cümlesi aralığı bir öngörü gibi kullanıyor ve onu sınamak için iki ayın ortalamaları arasındaki farka bakman gerekiyor. Evren ortalaması değişmese ve nisan da otuz altı doğumla ölçülse, iki ortalama arasındaki farkın standart hatası yine √(3² + 3²) ≈ 4,24 dakika olur. Mart aralığının yarı genişliği normal yaklaşımla 1,96 × 3 = 5,88 ve nisan ortalamasının bu kadar yakına düşmesi için farkın 5,88 ÷ 4,24 ≈ 1,39 standart hatanın içinde kalması gerekir. Standart normal dağılımda ±1,39 arasında kalan pay yaklaşık 0,834.

Mart ortalaması evren değerine tam oturmuşsa nisanın aralığa düşme olasılığı 0,95; bir standart hata uzakta durmuşsa 0,83; iki standart hata uzakta durmuşsa 0,48. Mart ortalamasının nerede durduğunu bilmediğimiz için 0,834 bu olasılıkların ortalaması ve tek bir mart aralığı için verilmiş bir söz değil. Nisanın tek bir ortalamasını öngörmek istiyorsan başvuracağın araç bir öngörü aralığı; yarı genişliği güven aralığınınkinin √2 katıdır.

Dar aralık, isabetli aralık değil

Şubat satırının arkasında hiçbir aralık formülünün görmediği bir soru daha var. Yakup ayın son yirmi doğumunu almıştı ve bu, kurayla değil takvimin sırasıyla seçilmiş bir örneklem; son haftada bir emzirme danışmanı nöbet tuttuysa yirmi doğum ayı değil o haftayı anlatır. Aralığın genişliği yalnız örnekleme hatasını taşıyor ve örneklemi büyütmek aralığı daraltırken seçim yolunun yanlılığına dokunmuyor. Örnekleme modülünde (L02-P04-M01) kolayda seçilen örneklemlerin birbirine yakın ama yanlış yerde toplanan tahminler ürettiğini görmüştün; dar bir aralık "tahmin kesin" der, "tahmin doğru" demez.

Klinik gerçeklik

Bir raporda güven aralığını cümleye çevirirken önce olasılığın kime ait olduğunu sor: kurala aitse cümle yöntemin kapsaması üzerine ya da veriyle uyumlu değerler üzerine kurulur, parametreye aitse bir önsel yazılmış olmalı. İki grup karşılaştırılıyorsa farkın aralığını ara; verilmemişse çubukların örtüşmesinden hüküm çıkarmak yerine onu standart hatalardan kendin kurabilirsin. Sayı bir sonraki ölçümü öngörmek için kullanılıyorsa gereken araç öngörü aralığı.

Kurulun tutanağında şubat satırı şöyle yazılıyor: ilk saatte emzirme 18 ÷ 20 = 0,9, Wilson yöntemiyle yüzde 95 güven aralığı 0,70–0,97; bu oranlar ayın son yirmi doğumuyla uyumlu ve örneklem kurayla seçilmedi. Mart satırı tek bir farka iniyor: gece doğan bebeklerde ilk emzirme ortalama 9 dakika daha geç, fark için yüzde 95 güven aralığı 0,5 ile 17,5 dakika. Aralığın alt ucu yarım dakikaya kadar indiği için kurul gece düzenlemesini rafa kaldırmıyor, bir çeyrek daha veri toplamaya karar veriyor.

Kendini sına

1. Wald kuralının genel kapsaması 0,876 iken yirmide yirmi gözlendiğinde koşullu kapsama kaçtır? Bu fark, kuralın yüzdesini tek aralığa taşımak hakkında ne söylüyor?
2. Aday oran 0,75 için yirmide on sekizin kaç standart hata uzakta kaldığını hesapla. 0,75 Wilson aralığının içinde mi?
3. Düz önselle 0,954 çıkan sonsal olasılık, geçen yılın bilgisi eklenince neden 0,73'e iniyor? Hangi cümle önselsiz kurulamaz?
4. Mart verisinde farkın standart hatasını ve yüzde 95'lik aralığını hesapla. İki çubuk örtüşürken bu aralık neden sıfırı dışarıda bırakıyor?
5. Eşit standart hatalı iki grupta fark 2,5 standart hata olsaydı iki çubuk örtüşür müydü, farkın aralığı sıfırı içerir miydi?
6. Nisan ortalamasının mart aralığına düşme olasılığı neden 0,95 değil? 0,834 hangi varsayımlara dayanıyor?
7. Yakup şubatta son yirmi doğum yerine ayın bütün doğumlarını alsaydı aralık daralırdı. Hangi sorun olduğu gibi kalırdı?

Bir sonraki derse köprü

Kurulun bir çeyrek bekleme kararının arkasında sayısal bir soru duruyor: mart verisinde farkın aralığı yaklaşık ±8,5 dakikalık bir yarı genişlik taşıyor. Örneklem büyüklüğünün etkisini işleyecek derste bu yarı genişliği ±4 dakikaya indirmek için her vardiyada kaç doğum gerektiğini hesaplayacağız. Doğum sayısını ikiye katlamak aralığı neden yarıya indirmiyor ve yirmide on sekiz gibi yüzde yüze yakın bir oranda Wald ile Wilson kuralları arasındaki fark doğum sayısı arttıkça nereye gidiyor?