Güven Aralığı

Açılış sahnesi

Çukurova'da bir kadın doğum ve çocuk hastalıkları hastanesi, mart başı. Doğumhanenin sorumlu ebesi Cemile Hanım, hastanenin kalite birimine şubat ayının bir göstergesini gönderecek: doğumdan sonraki ilk bir saat içinde memeye başlatılan bebeklerin oranı. Ayın son yirmi doğumunda bebeklerin on sekizi ilk saatte emmeye başlamış. Kalite biriminden hemşire Yakup oranın yanına bir aralık istiyor ve hesabı kâğıda dökmüş bile: 18 ÷ 20 = 0,9; standart hata için √(0,9 × 0,1 ÷ 20) ≈ 0,067 ve aralık 0,9 ± 1,96 × 0,067, yani 0,769 ile 1,031 arası.

Cemile Hanım üst sınırda duruyor. Yüzde yüz üç, yirmi bebekten yirmi virgül altısının ilk saatte emdiği anlamına gelirdi. Yakup üst ucu 1'e çekip geçmeyi öneriyor. Cemile Hanım'ın sorusu başka: hiçbir doğumhanede gerçekleşemeyecek bir sayı üreten kural, aralığın asıl işini ne kadar iyi yapıyor?

Bu derste ne olacak

Nokta tahmini dersinde Fehime Hanım, pnömoni formunun not satırına 8 günün yanına 1,75'i de eklemişti; aralık orada açılmaya başlayıp durmuştu. Bu derste o aralığı kuracağız. Önce örneklem dağılımının evren değeri etrafındaki bandını ters çevirerek aralığın nereden çıktığını ve "yüzde 95"in kime ait olduğunu göreceğiz. Sonra on bir hastalık örneklemde çarpanın neden 1,96 değil 2,228 olduğunu ve bu farkın neyi satın aldığını hesaplayacağız. Son bölümde Cemile Hanım'ın yirmi doğumunun olası bütün sonuçlarını sayıp Yakup'un kuralının söz verdiği ile gerçekte yaptığı arasındaki mesafeyi ölçeceğiz.

Sıfır noktası

Güven aralığı sana ilk kez bir okuma aracı olarak gelmişti, sonra güvenilirlik aralığı dersinde (L02-P02-M03-D06) yönteme bağlanan bir tanım kazanmıştı: aynı çalışma çok kez tekrarlansa, üretilen aralıkların belirli bir oranı gerçek değeri kapsardı. Aynı derste kantindeki para için on atışta yedi turadan 0,42 ile 0,98 arasında bir aralık hesaplanmış ve küçük örneklemde bu formülün hedefine tam ulaşmadığı bir yan cümleyle not edilmişti. O yan cümle burada bir sayıya dönüşecek.

Son dört ders aralığın hammaddesini hazırladı. Bir tahmin edicinin olası bütün örneklemlerdeki değerleri örneklem dağılımını kuruyordu; merkezi limit teoremi o dağılımın ortalamalar için normale yaklaştığını, standart hata genişliğini, nokta tahmini de merkeze hangi sayının konacağını söyledi. Aralık bu dördünü tek bir kurala bağlar. Kuralın olasılık taşıyan parçasının adı şu.

Tanımın son cümlesi bu dersin ölçüm aletini veriyor. "Yüzde 95'lik aralık" bir sözdür; kapsama olasılığı, sözün tutulup tutulmadığını evreni bildiğimiz bir modelde sayarak sınar.

Mekanizma

Bandı ters çevirmek

Önce en temiz durumu kur ve göğüs servisindeki pnömoni yatışlarına bir an geri dön: on bir hasta, ortalama 8 gün, standart hata 1,75 gün. Standart hatanın kesin bilindiğini varsay. Örneklem ortalamaları normale yakın dağılıyorsa, olası örneklemlerin yüzde 95'inde örneklem ortalaması evren ortalamasının 1,96 × 1,75 = 3,43 gün yakınına düşer. Bu, merkezinde evren değeri duran bir bandın cümlesidir ve onu ancak evren değerini bilen biri kurabilir.

Aynı cümle tersinden de okunur. "Örneklem ortalaması evren ortalamasından en fazla 3,43 gün uzakta" ile "evren ortalaması örneklem ortalamasından en fazla 3,43 gün uzakta" aynı olayı anlatır, çünkü iki sayı arasındaki mesafe hangisinden ölçülürse ölçülsün değişmez. İlk biçimin yüzde 95'i ikincisine olduğu gibi geçer. Bandı ters çevirince merkeze örneklem ortalaması oturur: 8 − 3,43 = 4,57 ile 8 + 3,43 = 11,43 gün.

Yüzde 95, veri gelmeden önce kurulmuş bir cümleye aitti: hangi örneklem gelirse gelsin kural onu merkeze koyup iki yana 3,43 açacak ve yüz örneklemin yaklaşık doksan beşinde evren ortalaması içeride kalacak. Veri gelip 4,57 ile 11,43 yazıldığında kural bir kez işlemiş olur. Kapsama olasılığı ise kuralın özelliği olarak yerinde kalır.

Çarpan nereden gelir

Fehime Hanım'ın 1,75'i bilinen bir sayı değil, on bir hastanın kendi yayılımından kestirilmiş bir standart hata. Standart hata dersinde bu kestirimin küçük örneklemde epeyce oynadığını görmüştün. Oynayan bir cetvelle 1,96 kullanırsan bant, şans eseri küçük çıkan kestirimlerde fazla daralır ve söz verilen yüzde 95 tutmaz.

Çarpanı veren dağılım, Derya Hanım'ın beş ölçümü için 2,776'yı veren dağılımdı (L02-P02-M02-D06). On bir hastada serbestlik derecesi 11 − 1 = 10 ve bu dağılımın iki kuyruğunda yüzde 2,5'er bırakan değer 2,228. Yarı genişlik 2,228 × 1,75 ≈ 3,90 gün, aralık 8 − 3,90 = 4,10 ile 8 + 3,90 = 11,90 gün. Çarpanların oranı 2,228 ÷ 1,96 ≈ 1,14, yani t çarpanı aralığı yüzde on dört kadar genişletiyor.

Bu genişlemenin ne satın aldığını kapsama olasılığı söylüyor. Veri normale yakınken kestirilmiş standart hatayla 1,96 kullanan bir kural, on bir gözlemde evren ortalamasını olası örneklemlerin yaklaşık yüzde 92,2'sinde kapsar; t çarpanıyla kurulan kural yüzde 95'te durur. Normal dağılımdan çekilen yüz bin on birlik örneklemde bilgisayar aynı iki oranı buldu. "Yüzde 95" ifadesinin kuralda neyi anlattığı buradan okunuyor: çarpan, kapsama olasılığı istenen düzeye eşit olsun diye seçilen sayıdır ve standart hata kestirildiğinde bu sayı 1,96'dan büyüktür.

Bir çekince Fehime Hanım'ın verisine özgü. On bir yatıştan biri 25 gün ve dağılım belirgin biçimde sağa çarpık; t kuralının yüzde 95'i, ortalamaların normale yakın dağıldığı varsayımına dayanıyor. Böyle bir veride gerçek kapsama nominal düzeyden sapabilir ve ne kadar saptığı, evrenin biçimi bilinmeden hesaplanamaz.

Kapsamayı saymak

Cemile Hanım'ın oranında aynı soruyu sayarak sorabilirsin, çünkü yirmi doğumun olası sonuçları sonlu: ilk saatte emen bebek sayısı 0 ile 20 arasındaki yirmi bir değerden biri. Evrendeki gerçek oranın 0,9 olduğu bir model kur. Her sonucun olasılığı binom dağılımından gelir ve her sonuç için Yakup'un kuralı bir aralık üretir. Kapsama olasılığı, 0,9'u içeren aralık üreten sonuçların olasılıklarının toplamıdır.

Toplam 0,0089 + 0,0319 + 0,0898 + 0,1901 + 0,2852 + 0,2702 = 0,8761. Kural yüzde 95 söz veriyor, bu evrende yüzde 87,6 tutuyor. Kaybın büyük kısmı tablonun son satırında: yirmi bebeğin yirmisi ilk saatte emdiğinde gözlenen oran 1, standart hata √(1 × 0 ÷ 20) = 0 ve aralık genişliği olmayan tek bir noktaya çöker. Bu sonuç 0,1216 olasılıkla geliyor ve kural her seferinde hiç belirsizlik yokmuş gibi konuşuyor.

Kusurun kaynağı standart hatanın kendisi. Bir oranın standart hatası gerçek orana bağlıdır ve Wald kuralı onun yerine gözleneni koyar. Standart hata dersinde üç hastalık evrende kestirimin sıfıra çöktüğü örneklemler vardı; burada aynı çöküş olasılığın sekizde birini tutuyor ve en uç sonuçta en kendinden emin cümleyi kuruyor.

Bandı dürüstçe ters çevirmek

Wald kuralının atladığı adım, ilk bölümdeki ters çevirmenin kendisi. Ortalamada bandın genişliği evren değerine bağlı değildi ve merkezi değiştirmek yetiyordu. Oranda genişlik evren değerine bağlı olduğu için soru her aday değer için ayrı sorulur: gerçek oran bu olsaydı, gözlenen 0,9 onun 1,96 standart hata yakınına düşer miydi? Soruya evet cevabı veren adayların kümesi aralıktır. Bu kurulumu Edwin B. Wilson 1927'de Journal of the American Statistical Association'da yayımladı.

Cemile Hanım'ın on sekizi için küme 0,699 ile 0,972 arası. Aday 0,9721 olsaydı √(0,9721 × 0,0279 ÷ 20) ≈ 0,0368'lik bir standart hata taşırdı ve 0,9 ondan (0,9721 − 0,9) ÷ 0,0368 ≈ 1,96 standart hata aşağıda kalırdı. Aday 0,6990 için aynı hesap ≈ 0,1026 verir ve mesafe (0,9 − 0,6990) ÷ 0,1026 ≈ 1,96 olurdu. Aralık kendiliğinden 0 ile 1 arasında kalıyor, merkezi 0,9'dan 0,5'e doğru biraz kaymış duruyor ve yirmide yirmi gözlendiğinde bile 0,839 ile 1 arasında bir genişlik bırakıyor. Aynı yirmi bir sonuç bu kuralla sayıldığında kapsama 0,957 çıkıyor.

Farkı tek bir evrene bağlamamak gerekiyor, çünkü Wald kuralının kapsaması evren değeriyle düzensiz salınır. Yirmi doğumda gerçek oran 0,88 olsaydı Wald 0,916, 0,92 olsaydı 0,808, 0,95 olsaydı 0,639 kapsardı; Wilson kuralı aynı üç evrende 0,974, 0,929 ve 0,925'te kalıyor. Salınımın nedeni sonuçların kesikli olması: gerçek oran biraz kaydığında bir sonucun aralığı onu kapsamayı bırakıyor ve o sonucun bütün olasılığı birden düşüyor. Lawrence Brown, Tony Cai ve Anirban DasGupta 2001'de Statistical Science'ta yayımladıkları çözümlemede bu düzensizliğin büyük örneklemlerde de sürdüğünü gösterdi ve Wald aralığı yerine Wilson aralığı gibi kuralları önerdi.

Klinik gerçeklik

Bir makalede ya da kalite raporunda güven aralığı okuduğunda sınırların yanında kuralı da sor, çünkü kapsama olasılığı sınırlardan okunmaz. Oranlarda bir aralığın 0'ın altına ya da 1'in üstüne taşması ve küçük bir örneklemde sıfır ya da yüzde yüz gözlenen bir oranın genişliksiz aralıkla bildirilmesi Wald kuralının izidir. Ortalamalarda az gözlemli bir çalışmanın çarpanı 1,96 ise aralık t çarpanının vereceğinden dardır ve sözünü tutmaz. Yöntem bölümünde kuralın adı geçmiyorsa gözlenen oran, n ve sınırlarla yapılan kısa bir hesap hangi kuralın kullanıldığını çoğu zaman ortaya çıkarır.

Genişlik de kuralla birlikte okunur: küçük örneklemde dar bir Wald aralığı çoğu zaman kesinliğin değil, kapsamadaki bir açığın görüntüsüdür. İki raporun oranları karşılaştırılırken biri Wald, öteki Wilson kullandıysa genişlikleri aynı sözü taşımaz.

Cemile Hanım ile Yakup kalite birimine gidecek satırı yeniden yazıyor. Oran 18 ÷ 20 = 0,9; yanında Wilson kuralıyla 0,70 ile 0,97 arası ve parantez içinde kuralın adı. Yakup'un ilk hesabı atılmadı, yöntem notuna bir cümle olarak girdi: aynı veriden Wald kuralı 0,77 ile 1,03 veriyor ve bu kural yirmi doğumda, gerçek oran 0,9 dolayındayken, söz verdiğinden yaklaşık yedi puan daha az kapsıyor. Kalite birimi bu göstergeyi her ay yaklaşık yirmi doğumla izleyecekse, o yedi puan her ay tekrarlanan bir fazla güven olurdu.

Kendini sına

1. Pnömoni servisinin on bir yatışı için t çarpanıyla yüzde 95'lik aralığı kur. Çarpan 1,96 olsaydı aralık kaç gün daralırdı?
2. "Örneklem ortalaması evren ortalamasının 3,43 gün yakınında" cümlesinin olasılığı neden "evren ortalaması örneklem ortalamasının 3,43 gün yakınında" cümlesine olduğu gibi geçiyor? Oranlarda bu geçiş neden aynı kolaylıkta olmuyor?
3. Veri normale yakınken on bir gözlemde kestirilmiş standart hatayla 1,96 kullanan kuralın kapsaması yaklaşık kaçtır? Gözlem sayısı arttıkça bu sayı nereye gider?
4. Gerçek oranın 0,9 olduğu evrende yirmi doğumun hangi sonuçları Yakup'un kuralıyla 0,9'u kapsamıyor? Kaybın ne kadarı tek bir sonuçtan geliyor?
5. 17 ÷ 20 için Wald aralığını hesapla. Üst sınırı 1'e kırpmak kapsama olasılığını değiştirir mi?
6. Bir rapor "30 hastanın 30'u, oran yüzde 100 (güven aralığı yüzde 100 – yüzde 100)" diyor. Hangi kural kullanılmış ve bu satır okura neyi söylememiş?

Bir sonraki derse köprü

Cemile Hanım'ın satırı başhekim yardımcısının masasına ulaşıyor ve o satırı şöyle okuyor: "Doğumhanenin gerçek oranı yüzde 95 olasılıkla 0,70 ile 0,97 arasında." Bu derste kapsama olasılığını kurala bağladık; kural yirmi bir olası sonucun her biri için bir aralık üretti ve yüzde 95 o aralıkların toplu başarısının adıydı. Sıradaki ders güven aralığının yanlış yorumlarını ele alacak. Kurala ait bir olasılık, elde kalan tek aralık hakkında hangi cümleye çevrilebilir ve başhekim yardımcısının okuması bu çeviride nerede kayıyor?