Nokta Tahmini

Açılış sahnesi

Göller Bölgesi'nde bir il devlet hastanesi, ocak ortası. Göğüs hastalıkları servisinin sorumlu uzmanı Fehime Hanım, il sağlık müdürlüğünün gönderdiği kış planlama formunu dolduruyor. Formun bir hücresi toplum kaynaklı pnömoniyle yatan hastalar için yalnız bir değer bekliyor: "ortalama yatış süresi (gün)". Aralık ayında servise yatan on bir hastanın yatış günlerini asistan hekim Emirhan bilgisayarda sıralamış: 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9 ve 25. Yirmi beş günlük satır, akciğer zarında sıvı toplanan ve iki kez girişim gereken bir hastaya ait.

Emirhan'ın önerisi hazır: hücreye 6 yazalım. Ona göre 25 bir aykırı değer, ortalamayı bozuyor, ortanca ise ona aldırmıyor. Fehime Hanım ekrana bakıp önce toplamı yazdırıyor, sonra formun başlığını yüksek sesle okuyor: "Kış planlama". Hücre bir tanımlayıcı değil, yatak sayısına çevrilecek bir girdi.

Bu derste ne olacak

Standart hata dersi, ortalamanın yanındaki sayının kendisinin de oynadığını gösterdi. Bu ders bir adım geri çekilip ortadaki sayıya bakıyor. Ortalama da ortanca da aynı on bir satırdan hesaplanabiliyorsa forma hangisi girer ve bu seçimi hangi ölçüt yapar? Önce adayların aslında aynı şeyi tahmin edip etmediğine bakacağız, çünkü çarpık bir veride ortalama ile ortanca iki ayrı sorunun cevabıdır. Sonra dört hastalık küçük bir modelde olası bütün kuraları sayıp iki tahmin edicinin merkezini ve genişliğini yan yana koyacağız. Son bölümde iki ölçütü tek terazide tartıp yanlı bir tahmin edicinin ne zaman kazandığını, ne zaman kaybettiğini hesaplayacağız.

Sıfır noktası

Nokta tahmini ile aralık tahmini arasındaki ayrımı bilimsel okuryazarlık düzeyinde (L01-P04-M03-D01) görmüştün: tek sayı kullanışlıdır ama belirsizliği taşımaz, aralık ikisini birlikte taşır. O ders tek sayıyı hazır buldu. Burada onu üreten kurala dönüyoruz. Örneklem dağılımı dersinde bir örneklemi sayıya çeviren kurala tahmin edici, olası bütün örneklemler üzerinden merkezi evren değerine denk düşen kurala yansız tahmin edici demiştik. Örnekleme hatası dersinde de bir kuralın evren değerinden tipik uzaklığını ortalama kare hatayla ölçmüş ve onu iki parçaya, şeklin genişliğinden gelen kısım ile merkezin kaymasından gelen kısma ayırmıştın.

Ortanca, merkezi eğilim ölçüleri arasında (L02-P03-M02-D02) gözlemlerin büyüklüğünü değil, dizideki yerini kullanan ölçü olarak tanımlanmıştı. Bu yüzden 25 günlük hastanın 250 gün kalması ortancayı hiç değiştirmez, ortalamayı ise büyük ölçüde değiştirir. Bu dayanıklılık gerçek bir özelliktir. Ama dayanıklılık bir tahmin edicinin evren değerine ne kadar yakın düştüğü sorusunun cevabı değildir. O soru için bir kelimeye daha ihtiyacın var.

Tanımdaki "aynı evren değeri" koşulu kolayca atlanır. İki kural farklı şeyleri tahmin ediyorsa önce hangisinin istenen şeyi tahmin ettiği sorulur; verimlilik ancak ondan sonra söz alır.

Mekanizma

Önce hedef

Fehime Hanım'ın ekranındaki toplam 88 gün, ortalama 88 ÷ 11 = 8 gün. Ortanca, altıncı sıradaki hasta, 6 gün. Form bu sayıyı hasta başına yatak-gün olarak kullanacak: gelecek aralıkta yine on bir hasta yatarsa servis 11 × 8 = 88 yatak-gün ayırır. Aynı hesap 6 ile yapılırsa 11 × 6 = 66 yatak-gün çıkar. Aradaki 22 yatak-gün, 22 ÷ 88 = 0,25 ile planın dörtte biri kadar bir açıktır. Gözlem sayısıyla çarpıldığında toplamı geri veren tek merkez ölçüsünün ortalama olduğunu betimsel istatistikte görmüştün; o açığı tam olarak 25 günlük hasta gibi hastalar doldurur.

Aynı özellik tahmin diline çevrildiğinde bir hedef tanımına dönüşüyor: toplam gerektiren her soruda tahmin edilen evren değeri, gelecek kışın bütün hastalarının ortalamasıdır, elindeki on bir hastanınki değil. Formda başka bir soru olsaydı, örneğin "yatan bir hastaya kaç gün kalacağını söylerken hangi sayıyı verirsin?" diye sorulsaydı, hedef tipik hasta, yani evrenin ortancası olurdu. Simetrik bir veride iki soru aynı sayıya düşer. Sağa çarpık bir veride iki ayrı evren değeri vardır ve örneklemin ortancası, ortalamanın yerine konduğunda sistematik olarak aşağıda kalan bir tahmin edicidir.

Dört hastanın bütün kuraları

Hedefi ayırınca bile ortancanın nasıl davrandığını görmek istiyorsan kuraları saymak gerekir. Emirhan'ın listesinin en küçük modelini kur: dört hasta, yatış günleri 5, 6, 7 ve 22. Evrenin ortalaması 40 ÷ 4 = 10, ortancası iki orta değerin arası, 6,5. Kurayı iadeli yapıp üç hasta çekelim; 4 × 4 × 4 = 64 eşit olasılıklı sıra var. Ortalama bu 64 sırada yansızdır ve merkezi 10'da durur. Evrenin varyansı sapmaların kareleriyle (25 + 16 + 9 + 144) ÷ 4 = 48,5, standart hatası √(48,5 ÷ 3) ≈ 4,02 gün.

Üç hastalık bir örneklemin ortancası ortadaki değerdir ve üç çekilişin en az ikisi aynı taraftan gelince o tarafa kayar. Sayım şunu veriyor: ortanca 64 sıranın 10'unda 5, 22'sinde 6, 22'sinde 7 ve 10'unda 22 çıkıyor. Beklenen değer (10 × 5 + 22 × 6 + 22 × 7 + 10 × 22) ÷ 64 = 556 ÷ 64 ≈ 8,69 gün. Bu sayı ne evrenin ortalamasına, 10'a, ne de ortancasına, 6,5'e denk geliyor. Küçük örneklemde ortanca, kendi adını taşıyan evren değeri için de yansız değil.

Genişliğe bakınca tablo ters yönde de dönmüyor. Ortanca değerlerinin karelerinin ortalaması 6.960 ÷ 64 = 108,75, varyansı 108,75 − 8,69² ≈ 33,3 ve standart hatası yaklaşık 5,77 gün. Ortalamanınki 4,02'ydi. On sıranın birinde 22 ortanca olarak geliyor, çünkü üç çekilişten ikisinin uzun kalan hastaya düşmesi yetiyor. Bu küçük modelde ortanca hem merkezden kaymış hem daha geniş; ortalama iki ölçütte de önde.

İki aday aynı merkezi hedeflediğinde

Verimlilik en temiz biçimde iki adayın aynı sayıyı tahmin ettiği yerde görünür. Ölçümler normal dağılıma uyuyorsa ortalama ile ortanca aynı merkezin etrafında toplanır ve geriye yalnız genişlik kalır. Büyük örneklemlerde ortancanın varyansı ortalamanınkinin yaklaşık π ÷ 2 ≈ 1,57 katıdır. Bu kesin bir özdeşlik değil, örneklem büyüdükçe yaklaşılan bir orandır; bilgisayarda normal veriden çekilen yirmi beş kişilik örneklemlerde oran 1,54, yüz bir kişiliklerde 1,56 çıkıyor.

Sayıya dök. Yatış günlerinin standart sapması 2 gün olan simetrik bir veride yüz hastalık ortalamanın standart hatası 2 ÷ √100 = 0,2 gün. Ortancanınki yaklaşık 0,2 × √1,57 ≈ 0,25 gün. Göreli verimlilik 2 ÷ π ≈ 0,64: yüz hastanın ortancası, altmış dört hastanın ortalaması kadar bilgi taşır. Aynı kesinliği ortancayla almak isteyen, 100 × 1,57 ≈ 157 hasta toplamak zorunda kalır. Normal veride ortancayı seçmenin bedeli, fazladan elli yedi hastalık veri toplamaktır.

Bu sıralama evrenin biçimine bağlıdır. Kuyrukları normalden kalın simetrik dağılımlarda ortanca daha verimli hâle gelebilir; oranı ancak evrenin biçimi hakkında bir varsayımla hesaplayabilirsin. Tek bir örneklem bu varsayımı nadiren sınar, ve bir aday verimli diye seçilirken hangi biçimin varsayıldığı raporda yazılmalıdır.

Yanlılık ile genişliği aynı terazide tartmak

Hedef ortalamayken ortanca yanlıdır; bu onu hemen eler mi? Fehime Hanım geçen yılın yirmi pnömoni yatışını model evren olarak kullanıyor: 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 12 ve 38 gün. Ortalama 164 ÷ 20 = 8,2, ortanca 6, standart sapma yaklaşık 7,11. Bu evrenden on bir hastalık iadeli kuralar çekilirse ortalamanın standart hatası 7,11 ÷ √11 ≈ 2,14 gün ve ortalama kare hatası 2,14² ≈ 4,58 olur.

Ortancanın dağılımını elle saymak için sıra sayısı fazla; bilgisayarda dört yüz bin kura çekildiğinde on bir kişilik ortanca 8,2'nin ortalamada 1,82 gün altında kalıyor, genişliği ise yalnız 0,79 gün. Ortalama kare hata iki terimden kurulur: 0,79² + 1,82² ≈ 0,62 + 3,31 = 3,93. Yanlı olan aday, bu örneklem büyüklüğünde yatak-gün hedefine ortalamada daha yakın düşüyor.

Örneklemi kırk bir hastaya çıkar. Ortalamanın standart hatası 7,11 ÷ √41 ≈ 1,11, karesi 1,23. Ortancanın genişliği 0,45'e iniyor ama yanlılığı 1,94 gün ile yerinde duruyor ve toplam 0,45² + 1,94² ≈ 0,20 + 3,76 = 3,96 çıkıyor. Sıralama tersine döndü. Standart hata karekök hızıyla küçülür, yanlılık ise örneklem büyüdükçe küçülmez; aşağı eğilim, uzun kalan hastaların evrende var olmasından gelir.

Klinik gerçeklik

Bir nokta tahmini üç kararın ürünüdür ve raporda çoğu zaman yalnız sonucu görünür. İlk karar hedeftir: toplam mı soruluyor, tipik birey mi? İkincisi kuraldır: aynı hedefi tahmin eden adaylar arasında hangisi, hangi örneklem büyüklüğünde, hangi varsayımla daha az hata yapıyor? Üçüncüsü, çoğu zaman atlanan, tek sayının ne kadar oynadığıdır. Fehime Hanım'ın on bir hastasında örneklem standart sapması √(338 ÷ 10) ≈ 5,81, ortalamanın kestirilmiş standart hatası 5,81 ÷ √11 ≈ 1,75 gün. Hücreye yazılacak 8, yeniden çekilebilecek başka bir aralık ayında tipik olarak iki güne yakın oynayabilen bir sayı.

Form tek hücre istediğinde bu oynaklık kâğıttan düşer ve müdürlükte formu okuyan kişi 8'i ölçülmüş bir sabit gibi yatak sayısına çevirir. Bir makalede "medyan yatış süresi 6 gün" okuduğunda da aynı üç soruyu sor. Yazarlar tipik hastayı mı anlatmak istedi, yoksa uzun kalanların yükünü mü sakladı? Yanında örneklem büyüklüğü ve bir yayılım ölçüsü var mı? Ortalama da verilmiş mi? İkisi arasındaki fark, verinin ne kadar çarpık olduğunu kendi başına söyler.

Fehime Hanım'ın kararı bu okumayla şekilleniyor. Model evrende on bir hastada terazi ortancadan yana hafifçe eğilmişti, 3,93'e karşı 4,58. Ama ortancanın hatası hep aynı yöne, yatak açığına doğru işliyor ve büyüklüğü servisin gerçek evreni bilinmeden hesaplanamıyor; ortalamanın hatası iki yöne dağılıyor ve form kış boyunca biriken aylarla yenilendikçe küçülüyor. Hücreye 8 yazıyor, not satırına örneklem büyüklüğünü, standart hatayı ve ortancayı ekliyor. Emirhan'ın 6'sı atılmadı: yatan bir hastaya ve yakınlarına kaç gün kalacağı söylenirken hedef tipik hasta ve o sorunun sayısı 6.

Kendini sına

1. On bir hastanın toplamını ve ortalamasını hesapla. Ortanca kullanılsaydı yatak-gün planı hangi oranda eksik kalırdı?
2. Dört hastalık modelde üç kişilik ortanca 64 sıranın kaçında 22 çıkıyor? Bunu "en az ikisi uzun kalan hasta" olasılığından bul.
3. Aynı modelde ortalamanın standart hatası neden 4,02 gün? Ortancanın beklenen değeri neden 6,5 değil?
4. Normal dağılan bir veride ortancayla ortalamanın iki yüz hastada ulaştığı kesinliğe ulaşmak için yaklaşık kaç hasta gerekir? Oranın hangi koşulda geçerli olduğunu belirt.
5. Yirmi hastalık model evrende kırk bir hastalık örneklemde ortanca neden kaybediyor, oysa genişliği daha dar?
6. Bir tablo "ortalama 12, medyan 7 gün, n = 30" veriyor. Hangi soruya hangi sayıyla cevap verirdin? Tabloda eksik olan bilgi ne?

Bir sonraki derse köprü

Fehime Hanım not satırına 8'in yanında 1,75 günlük standart hatayı yazdı; nokta tahmini ile belirsizliği artık kâğıtta yan yana. Okur için bir eksik kalıyor: bu ikisinden, gerçek ortalamanın bulunabileceği değerlerin sınırlarını söyleyen bir aralık nasıl kurulur? On bir hastalık bir örneklemde merkezden kaç standart hata uzağa gidilmeli, çarpan nereden gelir ve "yüzde 95" ifadesi kuralın hangi özelliğini anlatır?