Standart Hata

Açılış sahnesi

İç Anadolu'da bir eğitim ve araştırma hastanesi, kasım sonu. Kalp rehabilitasyonu ünitesinde fizyoterapist Mükerrem Hanım, on iki haftalık egzersiz programının altı dakika yürüme testindeki kazancını ölçecek bir çalışma için kaç hasta gerektiğini hesaplamak istiyor. Yüksek lisans öğrencisi Seyfi iki kâğıtla gelmiş. Birincisi ünitenin kendi pilotu: on hastanın başlangıç yürüme mesafeleri, standart sapma 70 metre. İkincisi, benzer bir program üzerine yayımlanmış bir makalenin başlangıç tablosundan bir satır: "altı dakika yürüme mesafesi 412 ± 9 m, n = 81".

Seyfi'nin önerisi kısa: pilotun on hastası az, makalenin seksen biri çok; yayılımı makaleden alalım. Dokuz metrelik bir standart sapmayla hesap yapılırsa çalışmaya birkaç hasta yetecek gibi görünüyor. Mükerrem Hanım makaleyi okumadan önce kâğıdın kenarına bir çarpma yazıyor: 9 × 9 = 81.

Bu derste ne olacak

Merkezi limit teoremi ortalamaların şekline dair konuşmuştu; genişliği tarif eden sayı, standart hata, evrenin standart sapmasını istiyor. O sayı hiçbir çalışmada elde yok. Bu derste önce yalnız üç hastadan oluşan bir evrenin olası bütün örneklemlerini sayacak ve her birinin kendi verisinden kestirdiği standart hatayı gerçek genişlikle karşılaştıracağız. Sonra bu kestirimin ne kadar oynadığını örneklem büyüklüğüne bağlayan bir oran bulacak ve pilot verisiyle yapılan bir planlamaya uygulayacağız. Son bölüm Seyfi'nin satırına ayrıldı: bir tabloda "±" işaretinden sonra gelen sayının ne olduğunu nasıl anlarsın ve yanlış okunduğunda hesaplar ne kadar kayar?

Sıfır noktası

Standart hatanın neyin genişliği olduğunu örneklem dağılımı dersinde görmüştün: salı güzergâhından çekilebilecek on ikilinin ortalamaları 17,3 dakikalık bir yayılım gösteriyordu ve formül, evrenin varyansını bildiği için aynı sayıyı veriyordu. O hesapta defter açıktı. Gerçek bir çalışmada defter kapalıdır; formülün payına evrenin standart sapması yerine örneklemin standart sapması yazılır ve çıkan sayı artık bir özdeşlik değil, bir tahmindir.

t dağılımı dersinde (L02-P02-M02-D06) bu ikinci belirsizliğin varlığını görmüştün. Derya Hanım operatörlerin gerçek yayılımını bilmiyordu ve beş satırdan kestirdiği standart sapma başka bir beşlide başka çıkacaktı; t dağılımının kalın kuyrukları bu oynaklığın bedeliydi. O ders oynaklığın var olduğunu söyledi ve çarpanı büyüttü. Bu ders oynaklığın büyüklüğünü soruyor.

Makalelerde, çıktılarda ve tablolarda "standart hata" diye okuduğun sayı neredeyse her zaman budur. Bu dersteki hesaplar, bu sayının anlattığı genişlikle gerçek genişlik arasındaki mesafeyi ölçmek için kuruldu.

Mekanizma

Üç hastalık bir evren

Mükerrem Hanım tahtaya ünitenin eski kayıtlarından üç hastanın program sonundaki yürüme mesafesi artışını yazıyor: 20, 50 ve 110 metre. Evrenin ortalaması 180 ÷ 3 = 60 metre. Sapmalar −40, −10 ve +50; karelerinin toplamı 1.600 + 100 + 2.500 = 4.200 ve varyans 4.200 ÷ 3 = 1.400. Evrenin standart sapması √1.400 ≈ 37,4 metre. Kurayı iadeli yapalım ve iki hasta çekelim: ortalamanın gerçek standart hatası √(1.400 ÷ 2) = √700 ≈ 26,5 metre. Bu sayı, çekilebilecek bütün ikililerin ortalamalarının merkezden tipik uzaklığıdır ve kimsenin elinde değildir.

Elinde olan, çektiği iki hastanın kaydı. Örneklemde standart sapma hesaplanırken payda gözlem sayısının bir eksiğidir, t dağılımı dersindeki serbestlik derecesi. İkili 20 ve 50 gelirse ortalama 35, sapmalar −15 ve +15, karelerin toplamı 450 ve 450 ÷ 1 = 450; örneklem standart sapması √450 ≈ 21,2 ve kestirilmiş standart hata 21,2 ÷ √2 = 15 metre. İki kişilik bir örneklemde bu hesap, iki değerin farkının yarısına iner.

Dokuz sıranın hepsini sayınca tablo şöyle:

Kestirimlerin ortalaması (2 × 15 + 2 × 30 + 2 × 45) ÷ 9 = 180 ÷ 9 = 20 metre. Gerçek genişlik 26,5; ortalamada kestirim 20 ÷ 26,5 ≈ 0,76'sında kalıyor. Dokuz sıranın üçünde kestirim sıfır çıkıyor, yani örneklem kendi ortalamasını hiç belirsizlik taşımıyormuş gibi bildiriyor. Hiçbir sıra gerçek değere, 26,5'e denk gelmiyor; en yakını 30 ve o da dokuzda iki olasılıkla geliyor.

Karelere bakınca başka bir şey çıkıyor. Kestirimlerin karelerinin ortalaması (2 × 225 + 2 × 900 + 2 × 2.025) ÷ 9 = 6.300 ÷ 9 = 700; bu tam olarak gerçek standart hatanın karesi. Paydadaki bir eksiğin işi buydu: varyansın kestirimini yansız yapıyor. Karekök alma ise bu yansızlığı korumuyor. Büyük kestirimler karekökte küçülürken sıfırlar sıfır kaldığı için ortalama aşağı iniyor.

Kestirimin kendi dalgalanması

İki kişilik örneklem bu oynaklığı en uçta gösteriyor. Ölçümler normal dağılıma yakınsa, örneklem standart sapmasının göreli dalgalanması için bilinen bir yaklaşım var: tipik göreli hata 1 ÷ √(2 × (n − 1)). Kestirilmiş standart hata, örneklem standart sapması sabit bir sayıya, √n'e bölünerek bulunduğundan bu göreli hatayı olduğu gibi devralır.

Seyfi'nin pilotuna uygula. On hastada 2 × 9 = 18 ve 1 ÷ √18 ≈ 0,24. Pilotun 70 metrelik standart sapması yüzde yirmi dört kadar oynayabilen bir sayı; tipik olarak 53 ile 87 metre arasında bir yerde gerçek değer de olabilirdi. Ortalamanın kestirilmiş standart hatası 70 ÷ √10 ≈ 22,1 metre ve bu sayının kendi tipik hatası 22,1 × 0,24 ≈ 5,3 metre. Kırk hastada göreli hata 1 ÷ √78 ≈ 0,11, yüz hastada 1 ÷ √198 ≈ 0,07. Standart hatanın kendisi gibi onun dalgalanması da karekök hızıyla iniyor: kestirimi yarı yarıya keskinleştirmek dört kat hasta istiyor.

Bu oynaklık planlamaya doğrudan geçer, çünkü bir ortalamayı belirli bir kesinlikle ölçmek için gereken hasta sayısı standart sapmanın karesiyle orantılıdır. Gerçek yayılım 70 metreyken pilot şans eseri bir tipik hata aşağıda, 70 − 16,5 ≈ 53,5 metre çıksaydı, plan (53,5 ÷ 70)² ≈ 0,58 ile çarpılırdı. Çalışma gereken hastaların beşte üçüyle başlar ve bitince beklenenden geniş bir aralık bildirir. Mükerrem Hanım bu yüzden pilotun 70'ini tek sayı olarak değil, üst ucunu da gözeterek kullanmayı seçiyor.

"±" işaretinden sonra ne var

Seyfi'nin satırına dön. "412 ± 9 m, n = 81" iki biçimde okunabilir. Dokuz standart sapmaysa seksen bir hastanın yürüme mesafeleri birbirinden tipik olarak yalnız dokuz metre farklıdır. Dokuz standart hataysa, standart sapma geri hesapla bulunur: standart hata standart sapmanın √n'e bölümü olduğundan standart sapma = standart hata × √n, yani 9 × √81 = 9 × 9 = 81 metre. Mükerrem Hanım'ın kenara yazdığı çarpma buydu.

Hangisinin doğru olduğunu tablonun dipnotu söylemeli; söylemiyorsa geri hesap bir akla yatkınlık sınaması verir. Ünitenin kendi on hastası 70 metrelik bir yayılım gösteriyor ve bu kestirimin yukarıdaki oynaklığı hesaba katılsa bile dokuz metre, pilotun tipik aralığının çok altında kalıyor. Seksen bir metre ise o aralığa rahatça oturuyor. Satır büyük olasılıkla standart hata bildiriyor. Satır bir aralık verseydi de aynı yol işlerdi: 64 hastalık bir çalışmada 389 ile 421 arasındaki bir yüzde 95 aralığın yarı genişliği 16 metre, 16 ÷ 1,96 ≈ 8,2 metre standart hata ve standart sapma 8,2 × √64 = 8,2 × 8 ≈ 65 metre. Küçük örneklemde 1,96 yerine t dağılımının çarpanı gerekir.

Yanlış okumanın bedeli bir çarpandır ve n büyüdükçe büyür. Seyfi dokuzu standart sapma diye kullansaydı planlama (9 ÷ 70)² ≈ 0,017 ile çarpılırdı; gereken hasta sayısının altmışta birine yakınıyla bir çalışma başlatılırdı. Etki tahminlerinin birleştirilmesi dersinde (L01-P02-M04-D05) gördüğün standartlaştırılmış ortalama fark da aynı karışıklıktan etkilenir. Makalenin iki kolu arasında 30 metrelik bir fark varsa, gerçek yayılımla 30 ÷ 81 ≈ 0,37 standart sapmalık bir etki çıkar; standart hata yayılım diye paydaya konursa 30 ÷ 9 ≈ 3,3. Etki √81 = 9 kat şişer ve bir meta-analizde bu çalışma ötekilerin üstüne tek başına çıkar.

Klinik gerçeklik

Bir makalenin başlangıç tablosu hastaları tarif etmek için yazılır ve orada beklenen yayılım ölçüsü standart sapmadır, çünkü okur "bu hastalar birbirine ne kadar benziyor?" diye sorar. Sonuç tablosu ise tahminleri bildirir ve orada standart hata ya da güven aralığı yerindedir. İki tablo aynı "±" işaretini kullandığında ve dipnot hangisinin hangisi olduğunu yazmadığında okur iki soruyu karıştırmaya hazırdır. Hata çoğu zaman yazarlarınki değil, satırı başka bir hesaba taşıyan okurunkidir.

Böyle bir satırı kendi hesabına almadan önce üç şeye bak. Dipnotta ya da yöntem bölümünde yayılım ölçüsünün adı geçiyor mu? Geçmiyorsa satırın n'iyle geri hesap yap ve iki sonuçtan hangisinin başka bir kaynağın, kendi ünitenin ya da başka bir çalışmanın bildirdiği yayılımla bağdaştığına bak. Son olarak elindeki kestirimin kaç hastaya dayandığını sor: ölçümler normale yakınsa on hastalık bir pilotun yayılımı yüzde yirmi dört kadar oynar, seksen bir hastalık bir tablonunki çok daha azını.

Mükerrem Hanım'ın hesabı bu okumayla şekilleniyor. Makalenin geri hesaplanan 81 metresi ile pilotun 70 metresi birbirini tutuyor ve plan ikisinin büyüğüyle, 81 metreyle kuruluyor. Seyfi'nin dokuz metreyle bulduğu hasta sayısı, (81 ÷ 9)² = 81 katına çıkıyor; bu kez çarpan onun kendi satırından geliyor.

Kendini sına

1. Üç hastalık evrende 20 ve 110 çekildiğinde kestirilmiş standart hatanın 45 metre çıktığını adım adım göster.
2. Dokuz kestirimin karelerinin ortalaması neden gerçek standart hatanın karesine eşit çıkıyor, ortalamaları neden eşit çıkmıyor?
3. Yirmi hastalık bir pilotta örneklem standart sapmasının tipik göreli hatası kaç olur?
4. Bir tabloda "5,4 ± 0,3, n = 100" yazıyor. Sayı standart hataysa standart sapma kaç olur? Hangi bilgiyle ikisinden birini seçerdin?
5. Standart hatayı standart sapma yerine kullanan bir planlama neden n kat, bir standartlaştırılmış etki neden √n kat kayıyor?
6. 49 hastalık bir çalışmada ortalamanın yüzde 95 aralığı 12 birim genişliğinde. Standart sapmayı kestir.

Bir sonraki derse köprü

Bu derste ortalamanın yanındaki sayıyı, standart hatayı, inceledik ve onun da bir tahmin olduğunu gördük. Mükerrem Hanım'ın elindeki yürüme artışları üç hastalık evrende bile sağa uzanıyordu; böyle bir veride ortası tek sayıyla söylenmek istendiğinde ortalama da ortanca da aday. Sıradaki ders nokta tahminini soruyor: aynı veriden birden fazla tahmin edici kurulabildiğinde, hangisinin tek sayı olarak raporlanacağına yansızlık ile standart hata birlikte nasıl karar verir?