Merkezi Limit Teoremi

Açılış sahnesi

Ege'de bir ilçe ağız ve diş sağlığı merkezi, ekim ortası. Diş hekimi Behiye Hanım, ilçedeki ilkokulların birinci sınıflarında bir çocuğun ağzında ortalama kaç çürük süt dişi bulunduğunu kestirecek bir tarama hazırlıyor; koruyucu uygulama ekibinin hangi okula kaç gün ayıracağı bu sayıya göre belirlenecek. Stajyer diş hekimi Doğukan planın taslağını getirmiş: üç sınıftan onar çocuk, toplam otuz muayene. Sayfanın altına kurşun kalemle bir not düşmüş: "Otuzu geçince ortalama normal dağılır, aralığı çan eğrisiyle kurarız".

Behiye Hanım notu okuyor ve tahtaya dört sayı yazıyor: 0, 0, 0 ve 4. Bunlar muayene ettiği dört çocuğun kaydı değil, taramalarda sık karşılaştığı bir biçimin en küçük modeli: çocukların çoğunda hiç çürük yok, birkaçında birden fazla. "Sınıf bu dört çocuktan ibaret olsaydı," diyor, "kurayla çektiğin çocukların ortalaması çana ne kadar benzerdi? Peki yirmi çocukta bir görülen bir bulgunun oranını otuz muayeneyle ölçseydin?"

Bu derste ne olacak

Doğukan'ın notunda doğru bir sezgi, yanlış bir kesinlikle birlikte duruyor. Bu derste tahtadaki dört çocukluk evrenden bir, iki ve dört çocuk çekildiğinde ortalamanın alabileceği bütün değerleri, olasılıklarıyla birlikte, eksiksiz hesaplayacağız. Şeklin simetriden sapmasını tek bir sayıyla ölçecek ve bu sayının örneklem büyüdükçe hangi hızla küçüldüğünü göreceksin. Aynı hızı nadir bir bulgunun oranına uyguladığımızda otuz muayenenin neden her soruda aynı işi görmediği ortaya çıkacak. Son bölüm teoremin koşullarına ayrıldı: gözlemler birbirine bağlı olduğunda ve kuyruk aşırı kalınlaştığında teoremin sözü ne kadar geçer?

Sıfır noktası

Normal dağılım dersinde (L02-P02-M02-D04) merkezî limit davranışıyla tanışmıştın: çok sayıda küçük ve bağımsız katkının toplamı, katkıların kendi biçimi ne olursa olsun çana yaklaşıyordu. Bir ortalama da n ölçümün toplamının n'e bölümü olduğu için aynı davranış ortalamalara taşınıyordu. O dersin kanıt kartı yaklaşımın hızının katkıların biçimine bağlı olduğunu söylemiş ve hızı ölçmeden bırakmıştı. Bu derste o hızı sayıyla bulacağız.

Teoremin kendisi bir limit cümlesidir. Birbirinden bağımsız ve aynı dağılımdan gelen gözlemlerin varyansı sonluysa, ortalamalarının dağılımı standartlaştırıldığında, örneklem büyüklüğü sınırsızca arttıkça normal dağılıma yaklaşır. Cümlede hiçbir sayı geçmiyor. Teorem bir yön gösteriyor, bir eşik vermiyor; yolun ne kadar uzun olduğunu evrenin biçimi belirliyor.

Örneklem dağılımı dersinde sağa çarpık salı güzergâhından çekilen iki kişilik ortalamalar evrenin uzun kuyruğunu hâlâ taşıyordu. O kuyruktan ne kadarının kaldığını söyleyebilmek için bir ölçüye ihtiyacın var.

Küp almak sapmanın işaretini korur ve büyük sapmaları küçüklerden çok daha fazla büyütür. Uzun bir sağ kuyruk sayıca az ama iri pozitif sapmalar ürettiği için toplamı artıya çeker. Standart sapmanın küpüne bölmek ise sayıyı birimden kurtarır; çürük sayısında da dakikada da aynı ölçekte okunur.

Mekanizma

Dört çocukluk bir evren

Tahtadaki evrenin ortalaması 4 ÷ 4 = 1 çürük. Sapmalar üç çocukta −1, bir çocukta +3. Karelerinin ortalaması (1 + 1 + 1 + 9) ÷ 4 = 3; varyans 3, standart sapma √3 ≈ 1,73. Küplerin ortalaması (−1 − 1 − 1 + 27) ÷ 4 = 6. Çarpıklık katsayısı 6 ÷ 1,73³, yani 6 ÷ 5,20 ≈ 1,15. Tek bir çocuğun çürük sayısı belirgin biçimde sağa çarpık.

Şimdi kurayı iadeli çekelim: her çekilişte dört çocuktan biri eşit şansla gelsin ve aynı çocuk yeniden gelebilsin. Örneklem dağılımı dersinde kâğıtlar bardağa geri atılmıyordu. Burada atılıyor, çünkü teorem birbirinden bağımsız gözlemler hakkında konuşuyor ve kalabalık bir ilçeden çekilen otuz çocuk pratikte böyle davranır.

İki çocuklu kurada 4 × 4 = 16 eşit olasılıklı sıra var. Dokuzunda iki çocuk da sıfırlılardan gelir ve ortalama 0 olur, altısında biri 4 taşır ve ortalama 2 olur, yalnız birinde ikisi de 4 taşır. Ortalamaların ortalaması (6 × 2 + 1 × 4) ÷ 16 = 16 ÷ 16 = 1, evrenle aynı yerde. Merkezden sapmalar −1, +1 ve +3; karelerin ağırlıklı ortalaması (9 + 6 + 9) ÷ 16 = 1,5 ve küplerinki (−9 + 6 + 27) ÷ 16 = 1,5. Çarpıklık 1,5 ÷ (√1,5)³ = 1,5 ÷ 1,84 ≈ 0,82.

Dört çocuklu kurada 4⁴ = 256 sıra var ve ortalama yalnız 0, 1, 2, 3 ya da 4 olabilir. Aynı sayımı yapınca tablonun son satırı çıkıyor:

Dört çocuklu satırda şeklin tepesi 0'dan 1'e kaydı; en olası ortalama artık evrenin kendi ortalaması. Sağ kuyruk yine de duruyor: merkezin en az iki birim üstüne, 3 ya da 4'e çıkma olasılığı 13 ÷ 256 ≈ 0,05, oysa sol tarafta merkezin bir birimden fazla altına inmek mümkün bile değil.

Son sütuna oranla bak. 1,15 ÷ 0,82 ≈ 1,41, bu da √2. 1,15 ÷ 0,58 ≈ 2, bu da √4. Varyans örneklem büyüklüğüne bölünürken çarpıklık onun kareköküne bölünüyor. Binom dağılımı dersindeki karekök kuralını hatırlarsan aynı yavaşlığı görürsün: çarpıklığı yarıya indirmek için örneklemi dört katına çıkarman gerekir. Otuz çocuklu bir ortalamada bu evrenin çarpıklığı 1,15 ÷ √30 = 1,15 ÷ 5,48 ≈ 0,21 olur. Küçük ama sıfır değil; teorem sıfıra ancak limitte varılacağını söylüyordu.

Otuz kuralı nereden işler, nerede kırılır

Doğukan'ın notundaki "otuzu geçince" ifadesi birçok ders kitabında dolaşan bir alışkanlığın yankısı. Evrensel bir eşik değil, kaba bir başparmak kuralı; teoremin cümlesinde otuz sayısı geçmiyor. Tahtadaki evren gibi orta derecede çarpık bir ölçümde otuz, çarpıklığı 0,21'e indirdiği için makul bir başlangıç olabilir. Evren daha çarpıksa aynı sayı başka bir iş görür.

Behiye Hanım'ın ikinci sorusundaki bulguya bak. Yirmi çocukta bir görülen, var ya da yok diye kaydedilen bir bulgu, olasılığı 0,05 olan bir Bernoulli denemesidir ve çarpıklığı (1 − 2 × 0,05) ÷ √(0,05 × 0,95) formülüyle bulunur: 0,90 ÷ 0,218 ≈ 4,13. Tek bir çocukta bu ölçüm, çürük sayısından üç buçuk kat daha çarpık. Otuz muayenelik oranın çarpıklığı 4,13 ÷ 5,48 ≈ 0,75 çıkıyor; bu, tahtadaki evrende iki ile dört çocukluk ortalamanın arasında bir yer.

Aynı 0,21'e inmek için kaç çocuk gerekir? Çarpıklık karekök hızıyla düştüğüne göre örneklemin, iki çarpıklığın oranının karesi kadar büyümesi gerekir. 4,13 ÷ 1,15 ≈ 3,58 ve 3,58² ≈ 12,8; 30 × 12,8 ≈ 384 çocuk. Aynı kural, bir soruda otuz, ötekinde dört yüze yakın muayene istiyor.

Küçük olay sayısı bir sorun daha çıkarıyor. Otuz muayenede beklenen bulgu sayısı 30 × 0,05 = 1,5; hiç bulgu çıkmama olasılığı 0,95³⁰ ≈ 0,21, yani kabaca beş taramadan birinde oran sıfır gelir. Sıfır oranın çevresine çan eğrisiyle aralık kurmaya çalışınca standart hata da sıfır çıkar ve ortaya genişliği olmayan bir aralık çıkar. Oranlarda yaklaşımın gücünü belirleyen payda değil, paydaki olay sayısıdır.

Koşullar bozulunca

Teoremin ilk koşulu bağımsızlık. Doğukan'ın planında otuz çocuk üç sınıftan geliyor ve aynı sınıftaki çocuklar aynı okul çevresini, aynı kantini, bazen aynı aileyi paylaşıyor; çürük sayıları birbirine benzer. Dağılım varsayımı dersinden (L02-P02-M02-D08) tanıdığın tasarım etkisi formülünde m bir sınıftan alınan çocuk sayısı, ρ sınıf içi benzerlik: 1 + (m − 1) × ρ. Sınıf içi benzerliği kurgu olarak 0,15 alalım: 1 + 9 × 0,15 = 2,35 ve etkin örneklem büyüklüğü 30 ÷ 2,35 ≈ 12,8. Kâğıtta otuz yazıyor, taşınan bilgi on üç bağımsız çocuğunki kadar.

Bu yalnız genişliği etkilemiyor. Kümeli bir örneklemde ortalamanın çana yaklaşması asıl olarak küme sayısına bağlıdır, çünkü birbirinden gerçekten bağımsız olan birimler sınıflardır. Üç sınıf, otuz çocuk sayısının vaat ettiği simetriyi taşıyamaz. Behiye Hanım'ın planı bu yüzden değişiyor: altı sınıftan beşer çocuk aynı otuz muayeneyle daha fazla bağımsız birim getirir.

İkinci koşul varyansın sonlu olması. Log-normal dağılım dersinde kalın kuyruğu, uç değerlerin normalin öngördüğünden sık görülmesi olarak tanımlamıştın. Kuyruk o kadar kalınlaşabilir ki varyans hiçbir sayıya oturmaz. Böyle dağılımlar kuramda iyi bilinir; örneğin Cauchy dağılımından çekilen n gözlemin ortalaması tek bir gözlemle aynı dağılımı taşır ve ortalamak hiçbir şeyi daraltmaz. Klinik veride varyans çoğu zaman sonludur, ama tedavi maliyeti ya da hastanede kalış süresi gibi ölçümlerde birkaç uç gözlem toplamın büyük bölümünü taşıyabilir. O zaman teorem kâğıtta geçerli kalır, gereken örneklem ise pratikte ulaşılamayacak kadar büyür.

Klinik gerçeklik

Bir çalışmanın özetinde ortalama ve güven aralığı okuduğunda, o aralığın büyük olasılıkla bu dersteki teoreme yaslanarak kurulduğunu düşün. Hiçbir makale "burada merkezi limit teoremine güvendik" diye yazmaz; varsayım, raporlanan aralığın simetrisine gömülüdür. Kırk hastalık bir çalışmada sonlanım hastanede kalış süresiyse ya da bir tedavinin maliyetiyse, simetrik aralık sağa çarpık bir ortalamanın gerçek belirsizliğini sağ tarafta küçük gösterebilir.

Böyle bir raporu okurken sonlanımın türünden başla. Sonlanım bir süre, sayım ya da maliyet gibi doğası gereği sıfırın üstüne yığılan bir ölçümse çarpıklık beklenir ve örneklemin büyüklüğü bu çarpıklığa göre okunmalıdır. Birimler aynı servisten, aynı aileden ya da aynı kişinin tekrarlanan ölçümlerinden geliyorsa, raporlanan n bağımsız bilginin üst sınırıdır, kendisi değil. Sonlanım nadir bir olayın oranıysa gözünü paydadaki kişi sayısından paydaki olay sayısına çevir. Çarpık veride yazarlar logaritmik dönüşüm ya da dağılım varsaymayan yöntemler seçmişse bunu bir kusur değil, bu soruların ciddiye alındığının işareti olarak oku.

Behiye Hanım'ın taraması bu okumanın küçük bir provasıydı. Çürük sayısı için otuz muayene, sınıf sayısı artırılırsa çana yakın bir ortalama verebilir. Yirmide bir görülen bulgu için ise aynı otuz, çoğu zaman bir iki vakadan ibaret bir sayı getirecek; ekip o bulguyu oranla değil, kaç çocukta görüldüğüyle raporlamaya karar veriyor.

Kendini sına

1. Teoremin cümlesinde hangi koşullar geçiyor, hangi sayı geçmiyor? Doğukan'ın notundaki hangi parça teoremden, hangisi alışkanlıktan geliyor?
2. Tahtadaki evrene beşinci bir çocuk ekle, çürük sayısı 0 olsun. Ortalamayı, varyansı ve çarpıklık katsayısını yeniden hesapla.
3. Dört çocuklu kurada ortalamanın 1 çıkma olasılığı neden 108 ÷ 256? Sıraları sayarak göster.
4. Çarpıklığı 1,15 olan evrende ortalamanın çarpıklığını 0,1'in altına indirmek için en az kaç çocuk gerekir?
5. Olasılığı 0,05 olan bulgu için otuz muayenede hiç vaka çıkmaması neden bir aralık sorunu yaratıyor? Olasılık 0,20 olsaydı beklenen olay sayısı kaç olurdu?
6. Otuz çocuk tek bir sınıftan seçilseydi teoremin n'i ne olurdu? Sınıf sayısı ile çocuk sayısı arasındaki gerilimi kendi cümlelerinle anlat.

Bir sonraki derse köprü

Teorem ortalamaların şeklini çana yaklaştırıyor ama çanın ne kadar geniş olduğunu kendisi söylemiyor. Genişlik, evrenin standart sapmasının örneklem büyüklüğünün kareköküne bölümünden geliyor ve Behiye Hanım'ın elinde evrenin standart sapması yok, yalnız otuz çocuğun kaydı var. Sıradaki ders standart hatayı soruyor: tek bir örneklemden kestirilen standart hata gerçek genişliğe ne kadar yaklaşır, ve standart sapmayla karıştırıldığında bir makalenin tablosu okura ne söylemiş olur?