Örneklem Dağılımı

Açılış sahnesi

Güneydoğu Anadolu'da bir ilçe devlet hastanesi, mart başı. Evde sağlık biriminin sorumlu hemşiresi Remziye Hanım, ilin bütün evde bakım hastalarında bir ziyaretin ortalama kaç dakika sürdüğünü ölçecek bir çalışmaya hazırlanıyor; araç ve ekip sayısı bu sayıya göre dağıtılacak. Çalışmadan önce yeni hemşire Berivan'la küçük bir prova yapıyor. Salı güzergâhındaki yatağa bağımlı beş hastanın son ayki ziyaret süreleri birimin defterinde yazılı: 20, 30, 40, 60 ve 100 dakika. En uzun ziyaret, her hafta yara pansumanı ve sonda değişimi yapılan hastaya ait.

Berivan bu defteri görmedi. Remziye Hanım bir bardağa beş hastanın adını yazıp attırdı, Berivan iki kâğıt çekti ve o iki ziyarete ekiple birlikte gidip süreyi tuttu: 30 ve 100 dakika. Perşembe sabahı masaya bir sayı bırakıyor: ortalama 65 dakika. Remziye Hanım defterin kapağını açmadan tahtaya dönüyor ve on satırlık bir liste yazmaya başlıyor.

Bu derste ne olacak

Berivan'ın 65'i tek bir kuradan çıktı; bardaktan başka iki kâğıt çıksaydı başka bir sayı olacaktı. Bu derste, beş hastalık küçük bir evrende çekilebilecek bütün ikilileri tek tek yazıp her birinin ortalamasını hesaplayacağız. Ortaya çıkan on sayı bir tahminin kendi dağılımını oluşturuyor. Önce bu şeklin merkezine bakacağız, sonra genişliğini ölçüp standart hatanın bu genişlikten başka bir şey olmadığını göreceksin. Son bölümde kurasız seçilmiş bir örneklemin şeklini çizecek ve dar ama yanlış yerde duran bir şeklin neye benzediğini hesaplayacağız.

Sıfır noktası

Bu kavramla ilk kez t dağılımı dersinde (L02-P02-M02-D06) karşılaşmıştın. Derya Hanım'ın beş kavrama gücü ölçümünden hesaplanan ortalamanın, başka beş operatörle başka çıkacağını görmüş ve bu dalgalanmaya örnekleme dağılımı adını vermiştin: verinin değil, tahminin dağılımı. Bu modülde aynı şeyi örneklem dağılımı adıyla anacağız; iki ad da aynı nesneyi gösteriyor. O derste dağılım bir olasılık aracı olarak kurulmuştu ve biçimi bir tablodan geliyordu. Burada onu kâğıt üzerinde, olası her örneklemi sayarak inşa edeceğiz.

Bunun için önce bir ayrımı netleştirmek gerekiyor. Berivan iki ziyaretin süresini topladı ve ikiye böldü; aynı işlemi bardaktan çıkabilecek herhangi bir ikiliye uygulayabilirdi. İşlemin kendisi ile işlemin bu salı verdiği sonuç iki ayrı şey.

Bu ayrım dersin geri kalanını taşıyor. Berivan'ın 65'i hakkında soru sorabileceğin tek şey, onu üreten kuralın nasıl davrandığı. Kural her kurada aynı; değişen, kuranın getirdiği iki hasta.

Mekanizma

On ikili, bir şekil

Beş hastadan iki hasta seçmenin on yolu var. Tahtadaki liste şöyle:

Kura her ikiliye eşit şans verdiği için bu on sayının her biri onda bir olasılıkla çıkar. Şeklin merkezini bulmak için hepsini topla: 25 + 30 + 40 + 60 + 35 + 45 + 65 + 50 + 70 + 80 = 500, ve 500 ÷ 10 = 50. Defterdeki beş sürenin ortalaması da 250 ÷ 5 = 50. Tahmin edicinin on kuranın tamamındaki ortalaması, evrenin kendi ortalamasıyla aynı yere düşüyor.

Bernoulli dağılımı dersinde (L02-P02-M02-D01) beklenen değeri bir denemenin uzun vadede verdiği ortalama olarak tanımlamıştın. Buradaki 50, Berivan'ın kuralının beklenen değeri: bardak defalarca çekilse çıkacak ortalamaların uzun vadeli ortası. Aynı sayımı rastgele örnekleme dersinde beş üreticilik aşı defteri üzerinde yapmış ve on ikilinin ortalamasının evren oranı 0,4'e oturduğunu görmüştün. Orada on tahminden yalnız ortalamalarını almıştın; bu derste aynı on sayının dizilişini bir bütün olarak, bir şekil olarak okuyacağız.

Şeklin bir özelliği daha göze çarpıyor. On ortalamanın beşi 50'nin altında, dördü üstünde, biri tam üstünde; ama üstteki dördü daha uzağa, 80'e kadar uzanıyor. Evrendeki 100 dakikalık ziyaret, içine girdiği her ikiliyi yukarı çekiyor ve şekil bu uzun kuyruğu evrenden miras alıyor. İki kişilik bir örneklemde tahminin dağılımı, verinin dağılımının biçimini hâlâ taşıyor.

Şeklin genişliği

Şimdi on ortalamanın 50 çevresinde ne kadar yayıldığına bakalım. Her birinin 50'den farkını al: −25, −20, −10, +10, −15, −5, +15, 0, +20 ve +30. Karelerinin toplamı 3.000; ona bölünce 3.000 ÷ 10 = 300 ve karekökü yaklaşık 17,3 dakika. Bu, şeklin standart sapması: Berivan'ın kuralının ürettiği tahminlerin, kendi merkezlerinden tipik uzaklığı.

Aynı sayıya formülle de ulaşabilirsin. Beş sürenin 50'den sapmalarının kareleri 900, 400, 100, 100 ve 2.500; toplamları 4.000 ve beşe bölünce evrenin varyansı 800. Standart hata formülü bunu örneklem büyüklüğüne böler: 800 ÷ 2 = 400, karekökü 20. Örneklem beş hastanın ikisini kapsadığı için örnekleme hatası dersinde kurduğun sonlu evren düzeltmesi de devreye giriyor: √(3 ÷ 4) ≈ 0,866 ve 20 × 0,866 ≈ 17,3. Tahtada tek tek sayılan şeklin genişliği ile formülün verdiği standart hata aynı sayı. Standart hatayı o güne kadar bir ortalamanın belirsizliği diye okudun; burada neyin genişliği olduğunu görüyorsun.

Berivan'ın 65'i bu şeklin neresinde duruyor? Merkezden 15 dakika yukarıda, yani 15 ÷ 17,3 ≈ 0,87 standart hata ötede. On ikiliden üçü, 65, 70 ve 80, en az bu kadar yukarıda kalıyor; 3 ÷ 10 = 0,3. Sıradan bir kura sonucu, ne şanslı ne şanssız. Remziye Hanım bunu yalnız defteri açık olduğu için söyleyebiliyor. Berivan'ın elinde yalnız 30 ile 100 var ve şeklin neresine düştüğünü kendi sayısından çıkaramaz; bilebileceği şey, bu kuralın tahminlerinin tipik olarak 17 dakika kadar saçıldığı.

Örneklemi üç hastaya çıkarınca tahtaya yine on satır yazılır, çünkü beşten üç seçmenin de on yolu var. Bu kez ortalamalar 30 ile 66,7 arasında kalıyor ve formül 800 ÷ 3 ≈ 266,7 ile başlıyor; düzeltme çarpanının karesi 2 ÷ 4 = 0,5, çarpım 133,3 ve karekökü yaklaşık 11,5. İki kişilik kurada on ortalamanın dördü evren değerine on dakika ya da daha yakın düşüyordu, üç kişilik kurada altısı düşüyor. Şeklin merkezi yerinde kaldı, genişliği daraldı.

Kaymış bir şekil

Şimdi Berivan'ın bardağı kullanmadığını düşün. Ekip sabah vardiyasında çalışıyor ve 60 ile 100 dakikalık ziyaretler hep öğleden sonraya kalıyor; Berivan ikiliyi sabah gidilen üç hastadan seçmiş olsun. Olası ikililer üçe iner: ortalamaları 25, 30 ve 35. Merkez 90 ÷ 3 = 30, yani evren değerinin 20 dakika altında. Yayılım ise küçük: sapmalar −5, 0 ve +5, karelerinin ortalaması 50 ÷ 3 ≈ 16,7 ve karekökü yaklaşık 4,1.

Bu şekil öncekinden dört kat dar ve bu darlık aldatıcı. Tahminler birbirine çok yakın çıkıyor, ama hepsi yanlış yerde toplanıyor. Örnekleme hatası dersinde kurduğun ortalama kare hata burada bir geometri kazanıyor: standart hata şeklin genişliği, yanlılık şeklin merkezinin evren değerinden uzaklığı. Toplam hata √(4,1² + 20²) ≈ 20,4 dakika; sabah vardiyasına bağlı kural, evrenin 50'sini bardağa bağlı kuralın 17,3 dakikasından daha geniş bir farkla ıskalıyor. Üstelik Berivan kendi verisinden yalnız 4,1'i kestirebilir; 20'lik kaymanın izi örneklemde görünmez.

Eray'ın ilk planını hatırlarsan aynı resim orada da vardı. Ağırlıklar ve tasarım etkisiyle şeklin genişliği 0,029 civarındaydı, ama hastane listesiyle kurulan çerçeve şeklin merkezini ilin gerçek oranından 0,06 kadar uzağa taşıyordu. Nisanda sahadan dönecek oran bu şeklin ortasına da kenarına da düşebilirdi; düştüğü yer ne olursa olsun, şeklin kendisi yanlış noktanın çevresinde kurulmuştu.

Klinik gerçeklik

Bir çalışmanın özetinde "ortalama 12, standart hata 2" okuduğunda, yazarlar sana hiçbir zaman görmedikleri bir şekli tarif ediyor. Çalışma bir kez yapıldı ve şeklin içinden tek bir çekiliş getirdi. Standart hata, aynı tasarım defalarca tekrarlansa çıkacak tahminlerin ne kadar saçılacağını söylüyor; tahminin bu saçılmanın neresine düştüğünü söylemiyor.

Bu okuma iki pratik sonuç veriyor. Birincisi, aynı soruyu soran iki iyi tasarlanmış çalışma bir standart hata kadar farklı sonuç bulduğunda bu bir çelişki sayılmaz; aynı şeklin iki ayrı noktası olabilirler. İkincisi, standart hatanın küçük olması tek başına güven vermez. Katılımcılar ulaşılabilirliğe göre seçildiyse şekil dar, merkezi kaymış olabilir ve rapordaki sayı yalnız darlığı gösterir. Bir hastanın durumunu değerlendirirken bir çalışmanın bulgusuna dayanıyorsan, önce şeklin genişliğini, sonra katılımcıların nasıl seçildiğini oku; birincisi kesinliği, ikincisi şeklin doğru yerde durup durmadığını anlatır.

Remziye Hanım'ın provası bu yüzden işe yaradı. İl genelindeki çalışmada defter olmayacak ve tek bir örneklem dönecek. Prova, o tek sayının yanına hangi soruları yazması gerektiğini gösterdi: hastalar bardakla mı seçildi, kaç kişiyle şekil ne kadar daralıyor, ve uzun ziyaretler vardiya yüzünden dışarıda kalıyor mu?

Kendini sına

1. Berivan'ın örneklemi ile Berivan'ın kuralı arasındaki farkı kendi cümlelerinle anlat. Örneklem dağılımı hangisine aittir?
2. Beş süreden 100'ü 60 yapsaydın, iki kişilik kuralarda on ortalamanın ortalaması kaç olurdu? Evren ortalamasıyla karşılaştır.
3. Tahtadaki on ortalamanın standart sapmasını ve formülün verdiği standart hatayı yeniden hesapla. Sonlu evren düzeltmesini unutursan formül kaç verir?
4. Berivan 20 ve 30'u çekseydi tahmini merkezden kaç standart hata uzakta olurdu?
5. Sabah yolunun standart hatası küçük olduğu hâlde toplam hatası neden daha büyük?
6. Bir makale çok dar bir güven aralığı bildiriyor ama katılımcıları tek bir polikliniğin gönüllülerinden topluyor. Şeklin hangi özelliği hakkında bilgin var, hangisi hakkında yok?

Bir sonraki derse köprü

Salı güzergâhında iki kişilik kuraların şekli, 100 dakikalık ziyaretin çektiği uzun kuyruğu hâlâ taşıyordu. İl genelindeki çalışmada Remziye Hanım yüzlerce hastanın içinden onlarca ziyaret seçecek ve sürelerin kendisi yine sağa çarpık olacak. Sıradaki ders merkezi limit teoremini soruyor: örneklem büyüdükçe ortalamaların şekli neden evrenin biçimini bırakıp çan eğrisine yaklaşır, ve bu yaklaşım hangi koşullarda ne kadar kişiyle güvenilir hâle gelir?