Temsil Edilebilirlik

Açılış sahnesi

Kuzeydoğu Anadolu'da bir ilçe, ekimin son haftası; evlerde sobalar kuruluyor, bacalar ilk kez tütüyor. Kaymakamlık kış gelmeden karbonmonoksit dedektörü dağıtmak istiyor ve kaç tane alınacağı tek bir sayıya bağlı: ilçedeki yetişkinlerin kaçta kaçının evinde çalışan bir dedektör var? Halk sağlığı hemşiresi Gülbahar Hanım bu sayıyı stajyeri Ercüment'ten istemiş. Ercüment pazar günü çarşıya inmiş, elinde nüfus kayıtlarından çıkardığı bir tablo ve altı boş kutu: üç yaş grubu, iki cinsiyet.

Pazartesi sabahı formları masaya koyarken Ercüment'in sesinde bir gurur var. Her kutuyu ilçedeki payı kadar doldurmuş, kutusu dolan gruptan kimseyi artık durdurmamış; 200 kişinin yaş ve cinsiyet dağılımı ilçeninkini birebir tutuyor. Bunların 54'ü evinde dedektör olduğunu söylemiş ve 54 ÷ 200 = 0,27. "Örneklem ilçenin küçük bir kopyası, abla," diyor Ercüment. Gülbahar Hanım formların son sütununa bakıyor, oturulan yere: 200 kişinin 170'i ilçe merkezinde yaşıyor.

Bu derste ne olacak

Ercüment'in "kopya" sözü, bir örneklemi temsil edici saymanın iki ayrı gerekçesinden birine dayanıyor: örneklemin bakılan özelliklerde evrene benzemesi. Öteki gerekçe, örneklemin evrenden hangi yolla çekildiği. Bu derste ilk gerekçenin adını koyup Ercüment'in 0,27'sinin nereye kaydığını hesaplayacağız. Sonra aynı ilçede kurayla çekilmiş, bileşimi ilçeye pek benzemeyen bir örneklemin neden daha güvenilir bir sayı verdiğini göreceksin. En sonda "temsil edici" sıfatının tek başına eksik olduğunu, her zaman bir tamlayıcı beklediğini göstereceğiz: neyi, hangi evren için?

Sıfır noktası

Kota örneklemesi bu modülde tanıdığın iki yöntemin melezi gibi duruyor. Tabakalı örneklemede çerçeveyi gruplara bölmüş ve her grubun payı kadar kişiyi grubun içinden kurayla çekmiştin; bileşim tasarımla sabitlenmiş, grup içindeki seçim şansa bırakılmıştı. Kotada ilk adım aynen duruyor, ikinci adımda kura çıkıyor ve yerine kolayda örnekleme giriyor. Ercüment'in 65 yaş üstü kadınlar kutusuna kimin gireceğini, o pazar günü çarşıda kimin yürüdüğü belirledi.

Kolayda örnekleme dersinde, kuyruk yaşça ve cinsiyetçe ilçeye uysa da evden çıkabilenlerle çıkamayanların karışımında ondan ayrışabileceğini görmüştün. Kota bu gözlemi bir adım öteye taşıyor. Orada benzerlik sonradan bakılan bir kontroldü, burada tasarımın kendisi; ve tasarım bakılan değişkenleri kusursuz tutturduğu hâlde soru aynı kalıyor: bakılmayanlar ne durumda?

Mekanizma

Kotanın tutmadığı sütun

Görünmeyen tabloyu kuralım. İlçede 8.000 yetişkin var ve 4.400'ü merkezde yaşıyor, yani merkezin payı 4.400 ÷ 8.000 = 0,55. Dedektör merkezde daha yaygın, çünkü satan nalburlar da bilgilendirme afişleri de orada; kurguda merkezdeki oran 0,30, köylerde 0,10. İlçenin gerçek oranı iki grubun ağırlıklı ortalaması. Merkezin katkısı 0,55 × 0,30 = 0,165, köylerinki kalan payın onda biri, yani 0,045; ikisi birlikte 0,21 ediyor.

Ercüment'in 200 kişisinde merkezin payı 170 ÷ 200 = 0,85. Pazar günü çarşıda yürüyenlerin çoğu merkezde oturanlar, köyden inenler azınlıkta; kota bu farkı görmedi, çünkü tablosunda yerleşim yeri diye bir sütun yoktu. Her iki grubun oranı ilçedekiyle aynı çıktıysa örneklemde 170 × 0,30 = 51 ve 30 × 0,10 = 3 dedektör sahibi olur, toplam 54. Açılıştaki 0,27 tam olarak buradan geliyor. Fark 0,27 − 0,21 = 0,06, yani altı puan.

Bu altı puanı kolayda örnekleme dersindeki iki çarpanla da kurabilirsin. Örneklemdeki merkez payının evrendekinden fazlası 0,85 − 0,55 = 0,30, iki grubun dedektör oranları arasındaki fark 0,30 − 0,10 = 0,20 ve çarpımları 0,30 × 0,20 = 0,06. Kotanın yaptığı iş, kotalanan değişkenlerde birinci çarpanı sıfıra indirmek. Yaş ve cinsiyet için bunu kusursuz başardı; yerleşim için hiç denemedi.

Kararın bedeli sayıya çevrilebilir. Ercüment'in oranıyla dedektörü olmayan yetişkin sayısı 8.000 × 0,73 = 5.840, gerçek oranla 8.000 × 0,79 = 6.320. Eksik sayılan 480 kişi, örneklemde az yer bulan köylerin payından doğuyor; kurguda odun ve kömür sobasıyla en uzun kışı geçirecek evler de çoğunlukla orada. Sapma rastgele bir yöne değil, dedektöre en çok ihtiyacı olanların aleyhine işliyor.

Kutuyu bir sütun genişletmek

Ercüment'in ilk tepkisi kotaya yerleşim yerini eklemek: 110 merkez, 90 köy. Görünen sapma böylece kapanır, ama altından başka bir sütun çıkar. Köyden pazar günü çarşıya inenler köylülerin rastgele bir dilimi değil; merkezle daha sık teması olan, nalburun önünden daha sık geçen kişiler. Kurguda onların dedektör oranı 0,16 olsun. Yeni kotayla örneklemde 110 × 0,30 = 33 ve 90 × 0,16 = 14,4 dedektör sahibi beklenir, oran 47,4 ÷ 200 ≈ 0,237.

Sapma 0,06'dan 0,027'ye indi ve yine sıfır değil. Hesap aynı iki çarpanla yürüyor: köylülerin payı 0,45, çarşıya inen köylü ile köylülerin tamamı arasındaki fark 0,16 − 0,10 = 0,06; ikisinin çarpımı 0,027. Kotaya eklenebilecek her değişken bir sonrakini dışarıda bırakıyor: çarşıya inme sıklığı, evde kimin kaldığı, aracı olup olmadığı. Liste bitmiyor, çünkü seçimi yapan mekanizma, yani o pazar kimin çarşıda yürüdüğü, yerinde duruyor.

Örneklemi büyütmek de bu sütunu kapatmaz. 200 kişide oranın standart hatası √(0,27 × 0,73 ÷ 200) ≈ 0,031, 800 kişide √(0,27 × 0,73 ÷ 800) ≈ 0,016. Örnekleme hatası dersindeki ortalama kare hatayla toplam hata 200 kişide √(0,031² + 0,06²) ≈ 0,068, 800 kişide ≈ 0,062. Görüşme sayısı dört katına çıktığı hâlde toplam, altı puanın altına inemiyor.

Kuranın bileşim borcu

Şimdi Gülbahar Hanım'ın elindeki aile hekimliği kayıtlarından 200 yetişkini kurayla çektiğini düşün. Kuranın merkez payını tam 0,55'e oturtacağının bir garantisi yok; bu payın kuradan kuraya dalgalanması √(0,55 × 0,45 ÷ 200) ≈ 0,035. Diyelim ki kura 118 merkezli getirdi ve pay 118 ÷ 200 = 0,59 oldu. Bileşimce bu örneklem ilçeye Ercüment'in yaş–cinsiyet tablosu kadar benzemiyor; muhtemelen yaş kutularından biri de birkaç kişi eksik kalmıştır.

Grup içi oranlar evrendekine denk düştüyse bu kura 118 × 0,30 + 82 × 0,10 = 35,4 + 8,2 = 43,6 dedektör sahibi getirir ve 43,6 ÷ 200 = 0,218. Gerçek değere uzaklığı 0,008. Asıl fark bu küçük sayıda değil, sayının arkasındaki güvencede. Bu örneklemin sapması şanstan geldi; kura tekrar tekrar çekilseydi sapmalar ortalamada birbirini götürürdü ve tipik büyüklükleri baştan bellidir: √(0,21 × 0,79 ÷ 200) ≈ 0,029. Kota ise bakılan kutularda kusursuz, bakılmayanlarda ölçüsüz.

Bu, bileşimi evrene benzetmenin kötü bir fikir olduğu anlamına gelmiyor. Kuranın içine yerleştirildiğinde tam tabakalı örneklemenin yaptığı işi görür: grup payları tasarımla sabitlenir, grup içindeki seçim yine bilinen bir şansla yapılır. Kura sonradan da düzeltilebilir. Her kişinin yerleşimi bilindiği için merkez ve köy oranları ilçedeki paylarıyla yeniden ağırlıklandırılabilir ve kayan bileşime rağmen 0,21 geri gelir. Bileşim eşlemenin gücü, arkasında bir kura bulunduğunda ortaya çıkıyor.

Bu tartışmanın bir tarihi var. Jerzy Neyman 1934'te Kraliyet İstatistik Derneği dergisinde yayımlanan temsil yöntemi makalesinde, birimleri kurayla seçmeyi, örneklemi evrenin bilinen ortalamalarına uyacak biçimde amaçlı olarak seçmeye karşı savundu. Tartışmanın özü bugün de Ercüment ile Gülbahar Hanım'ın masasında duran soru.

Neyi, hangi evren için

Ercüment'in 200 kişisini çöpe atmadan önce bir soru daha sorulmalı: bu örneklem neyi temsil ediyor? Kaymakamlığın evreni ilçedeki bütün yetişkinlerdi ve o evren için 0,27 altı puan kaymış. Soru "pazar günü çarşıya inen yetişkinlerin kaçta kaçının evinde dedektör var?" olsaydı evren başka olurdu ve kurguda o evrende merkezin payı zaten 0,85 civarında. Aynı 200 kişi bu dar evren için çok daha yakın bir tahmin verir; kura yine yok, ama kayan sütun ortadan kalktı. Çarşıda bir tanıtım standı kurmayı düşünen biri için doğru soru tam da budur.

Evreni verinin değil sorunun belirlediğini modülün ilk dersinde görmüştün; burada aynı fikrin öteki yüzü var. Temsil, bir örneklemin cebinde taşıdığı bir özellik değil, örneklem, evren ve soru arasındaki bir ilişki. Değişken de bu ilişkiye girer. Ercüment'in örneklemi dedektör sahipliği için kötü, çünkü sahiplik yerleşimle bağlantılı. Yerleşimle ilgisi olmayan bir özellik için aynı örneklem daha az kayabilir, ama hangi özelliğin yerleşimle ilgisiz olduğu yine örneklemin içinden okunamaz.

Bu ayrım sana tanıdık iki kavramla konuşuyor. Tekrarlanabilirlik dersinde (L01-P01-M01-D05) genellenebilirliği bulgunun başka gruplarda da geçerli olması diye tanımlamıştın. Pragmatik ve açıklayıcı deneme dersinde (L01-P02-M03-D08) dar seçilmiş bir grubun iç geçerliliği bozmadığını, sınırladığı şeyin dış geçerlilik olduğunu görmüştün. Temsil edilebilirlik bu iki sorunun örnekleme dilindeki karşılığı: bir tahminin taşınabileceği evren, onu üreten seçim yolunun kapsadığı evrenle sınırlı.

Klinik gerçeklik

"Temsil edici" kelimesi gündelik dilde bir benzerlik yargısı gibi çalışıyor ve burada bir tuzak var. Temel oran ihmali dersinde (L01-P03-M03-D04) temsililik sezgisini, "ne kadar olası?" sorusunun yerine "ne kadar tipik görünüyor?" sorusunun geçmesi olarak tanımlamıştın. Ercüment'in "kopya" sözü aynı değiş tokuşun örnekleme sürümü: "bu tahmin ne kadar güvenilir?" sorusunun yerine "bu örneklem ilçeye ne kadar benziyor?" sorusu geçti. Benzerlik göze görünür, seçim yolu ise bir yöntem cümlesinin içinde saklı durur.

Bir makalenin tablolarında katılımcıların yaş, cinsiyet ve bölge dağılımının nüfus kayıtlarıyla yan yana verildiğini sık görürsün. Bu tablo yararlı bir kontrol, ama iki soruyu cevapsız bırakır. İlki seçimin nasıl yapıldığı: tablo bir kuranın sonucunu mu gösteriyor, yoksa kotalarla ya da sonradan ağırlıklandırmayla tutturulmuş bir bileşimi mi? İkincisi, seçimi etkilemiş olabilecek ve tabloda bulunmayan bir özelliğin ölçülen sonuçla bağlantısı. Katılımcıları çevrim içi bir panelden ya da bir sağlık kuruluşunun başvurucularından gelen bir anket, yaş ve cinsiyette nüfusa kusursuz uyup internete erişim ya da sağlık hizmetine ulaşma bakımından nüfustan belirgin biçimde ayrılabilir.

Kota örneklemesinin meşru kullanımları da var. Kura için bir çerçevenin bulunmadığı, sayının hızla gerektiği ve kabaca bir yön vermesinin yettiği durumlarda kota, düzensiz bir kolayda örnekleme göre bakılan özelliklerde daha dengeli bir bileşim sağlar. Dürüst bir rapor ise bu seçimi açıkça adlandırır ve sonucu, seçim yolunun gerçekten ulaştığı evrene göre söyler. Gülbahar Hanım'ın kaymakamlığa gönderdiği not bu yüzden iki satırdan ibaret. Çarşıdaki kota sayısı 0,27 ve yalnız pazar günü çarşıya inenleri anlatıyor; köyleri de kapsayan bir kura taramasının sonucu gelene kadar dağıtım planı köylere ağırlık vermeli.

Kendini sına

1. Kota örneklemesi ile tabakalı örneklemenin ortak adımı hangisi, ayrıldıkları adım hangisi?
2. Ercüment'in örnekleminde merkez payı 0,70 olsaydı, grup oranları aynı kalırken tahmin ve sapma kaç çıkardı? İki çarpanla da hesapla.
3. Kotaya yerleşim eklendiğinde sapma neden sıfıra inmedi? Hangi yeni fark devreye girdi?
4. Örneklem 800'e büyüyünce standart hata yarıya indi. Toplam hata neden altı puanın altına düşmedi?
5. Merkez payı 0,59'a kaymış bir kura örneklemi, bileşimi tutturmuş kota örnekleminden neden daha güvenilir bir tahmin verir?
6. Ercüment'in 200 kişisi hangi evren için daha iyi bir tahmin verir? Kaymakamlığın sorusu için neden yetmez?
7. Temsililik sezgisi ile temsil edilebilirlik arasındaki farkı Ercüment'in "kopya" sözü üzerinden anlat.

Bir sonraki derse köprü

Bu derste bir örneklemin temsil gücünü, toplandıktan sonra, sonuçları ilçenin görünmeyen tablosuyla karşılaştırarak ölçtün. Sıradaki derste bu işi veri toplanmadan önce, yalnız kâğıt üstündeki bir plana bakarak yapacaksın. Bir örnekleme planında evren nasıl tanımlanmış, çerçeve kimi dışarıda bırakıyor, seçim yolu her birimin seçilme olasılığını önceden hesaplanabilir kılıyor mu, bileşim kontrolleri hangi boşluğu örtmeye çalışıyor? Bu soruların cevabını planın hangi satırında arayacağın, bir sonraki dersin ödevi.