Küme Örnekleme

Açılış sahnesi

Orta Anadolu'da bozkır bir ilçenin sağlık müdürlüğü, ekim başı, kışlık erzakın alındığı haftalar. Beslenme biriminden diyetisyen Neşe Hanım'ın masasında ilçenin 120 köyünü gösteren bir harita ve bir kutu hızlı test kiti duruyor. Kitte tuza bir damla sıvı damlatılıyor ve renk değişirse tuz iyotlu sayılıyor. Sorusu tek bir sayı: ilçedeki hanelerin kaçta kaçı mutfakta iyotlu tuz kullanıyor? İyot eksikliği tiroid bezinin büyümesine, guatra yol açabildiği için bu sayı kış boyunca yapılacak bilgilendirmenin yönünü belirleyecek.

Önceki haftalarda öğrenilen yol burada tıkanıyor. Kura çekmek için bir hane listesi gerekir, oysa müdürlüğün elinde güncel bir hane listesi yok; yalnız köylerin listesi ve muhtarların telefonları var. Köylerde yaklaşık yirmi beşer hane oturuyor, yani ilçede aşağı yukarı 3.000 hane. Saha ekibinden Kerim, 200 haneyi ilçenin dört bir yanından seçmenin iki yüz ayrı adres ve belki yüz ayrı köy yolu demek olduğunu hatırlatıyor. Önerisi basit: "Köylerden sekizini kurayla çekelim, gittiğimiz köyde her kapıyı çalalım."

Bu derste ne olacak

Kerim'in önerisi yol ve zaman kazandırıyor, ama bir bedeli var ve bu dersin konusu o bedelin ölçüsü. Önce köyleri seçim birimi yapmanın adını koyacak ve bir hanenin seçilme olasılığını hesaplayacağız. Sonra dört köylük küçük bir haritada, aynı grupları bir kez tabaka bir kez küme olarak kullanıp sonuçların nasıl ters döndüğünü göreceksin. Ardından ilçeye dönüp 200 hanenin kaç bağımsız haneye denk geldiğini bulacak ve anket dönünce gerçek dalgalanmayı köy sonuçlarından hesaplayacağız. En sonda bedeli azaltmanın yolunu konuşacağız.

Sıfır noktası

Neşe Hanım'ın çerçevesi köylerin listesi ve kura 120 köyden 8'ini çekiyor. Her köyün seçilme olasılığı 8 ÷ 120 ≈ 0,067, yani on beşte bir. Seçilen köyde her kapı çalındığı için bir hanenin seçilme olasılığı, köyünün seçilme olasılığıyla aynı: yine on beşte bir. İlçenin 3.000 hanesinden kurayla 200 hane çekilseydi bu olasılık 200 ÷ 3.000 ≈ 0,067 olurdu. Köyler eşit büyüklükte olduğu sürece küme örneklemesi de her haneye aynı şansı veriyor ve ağırlık hesabı gerektirmiyor.

Adın bir karışıklığa yol açmaması için bir ayrım daha gerekiyor. Veri analizinde karşına çıkabilecek kümeleme analizi, veri toplandıktan sonra birbirine benzeyen gözlemleri bir algoritmayla gruplara ayırır. Buradaki küme ise veriden önce var olan, haritada ya da listede duran bir gruptur ve araştırmacı onu bulmaz, hazır kullanır. Dağılım varsayımı dersinde (L02-P02-M02-D08) gruplar hâlinde toplanmış veride tasarım etkisini ve etkin örneklem büyüklüğünü hesaplamıştın. O derste kümelenme verinin başına gelen bir durumdu; burada araştırmacının kendi seçtiği bir tasarım.

Mekanizma

Aynı dört köy, iki ayrı kullanım

Küçük bir harita kur: dört köy, her birinde iki hane, toplam sekiz hane. Dört hane iyotlu tuz kullanıyor, dördü kullanmıyor ve gerçek oran 0,5. Tuz alışkanlığı köyün bakkalına sıkı sıkıya bağlı olsun: birinci ve ikinci köydeki dört hanenin hepsinde iyotlu tuz çıkıyor, üçüncü ve dördüncü köydekilerin hiçbirinde çıkmıyor. Köyler kendi içinde tamamen benzer, birbirinden ise tamamen farklı.

Önce bu köyleri tabaka olarak kullan ve her köyden birer hane çek. Birinci ve ikinci köyden kim gelirse iyotlu tuz kullanıyor, üçüncü ve dördüncüden kim gelirse kullanmıyor. Her olası örneklemde tahmin 2 ÷ 4 = 0,5 çıkıyor ve dağılma sıfır. Önceki dersteki kıyı ile yayla defterinin aynı sonucu vermesinin sebebi buydu: tabakalar kendi içinde benzer olduğunda şansın karışıma karışacağı bir yer kalmıyordu.

Şimdi aynı köyleri küme olarak kullan ve dört köyden ikisini bütün haneleriyle seç. Dört köyden iki köy altı biçimde seçilebilir. İlk iki köy birlikte çıkarsa tahmin 1, son iki köy birlikte çıkarsa 0, kalan dört eşleşmenin her birinde 0,5. Ortalama yine tam 0,5, yani kura hedefi kaydırmıyor. Ama tahminlerin 0,5 çevresindeki dağılması (0,25 + 0,25 + 0) ÷ 6 ≈ 0,083. Aynı sekiz haneden dört haneyi doğrudan kurayla çekseydin olası yetmiş örneklemin dağılması yaklaşık 0,036 olurdu. Küme tasarımı, aynı sayıda haneyle dalgalanmayı 0,083 ÷ 0,036 ≈ 2,3 katına çıkarıyor.

Harita tersine de işler. Her köyde bir hane iyotlu tuz kullansaydı ve öteki kullanmasaydı, seçilen her köy kendi içinde ilçenin küçük bir kopyası olurdu. Hangi iki köy çıkarsa çıksın tahmin 0,5 olur ve dağılma yine sıfıra inerdi. Tabakada aranan şey içeride benzerlik, dışarıda farklılıktı; kümede aranan bunun tam tersi. İyi bir küme evreni içinde taşır, kötü bir küme ise evrenin tek bir köşesini dört kez tekrar eder.

İlçede bedel ne kadar

Dağılım varsayımı dersindeki formül bu bedeli tek bir çarpana bağlıyordu: küme büyüklüğü m ve küme içi benzerliği ölçen grup içi korelasyon ρ ise tasarım etkisi 1 + (m − 1) × ρ. Neşe Hanım planlamada köy içi benzerliği 0,2 varsayıyor, çünkü aynı köyün haneleri aynı bakkaldan, aynı kamyonetten tuz alıyor ve turşuluk kaya tuzu alışkanlığı komşudan komşuya geçiyor. Her köyde 25 hane olduğu için tasarım etkisi 1 + 24 × 0,2 = 5,8. Bu, sekiz köyden gelen oranın dağılmasının, 200 haneyi tek tek kurayla seçmiş bir taramanınkinin yaklaşık altı katı olduğu anlamına geliyor.

Aynı bilgiyi hane sayısıyla okumak daha çarpıcı. Etkin örneklem büyüklüğü 200 ÷ 5,8 ≈ 34, yani sekiz köyün iki yüz hanesi otuz dört bağımsız hanenin taşıyacağı kadar bilgi getiriyor. Kerim'in önerisi yol masrafını düşürdü; karşılığında her köyde çalınan yirmi beşinci kapı, ilk birkaç kapının zaten söylediğini büyük ölçüde tekrar ediyor. Aynı kesinliği küme tasarımıyla elde etmek isteseydin 200 × 5,8 = 1.160 haneye, yani 1.160 ÷ 25 ≈ 46 köye gitmen gerekirdi.

Kampüse de bu gözle bak. Üniversitenin 2.000 çalışanı kırk birime dağılmışsa her birimde ortalama 2.000 ÷ 40 = 50 kişi var ve 200 kişilik bir örneklem için dört birim seçmek yetiyor. Sigara alışkanlığının birim içindeki benzerliği küçük olsun, ρ = 0,02. Yine de tasarım etkisi 1 + 49 × 0,02 = 1,98 ve etkin örneklem 200 ÷ 1,98 ≈ 101 kişiye iniyor. Tabakalı tasarımda kadroların kendi içindeki benzerliği dalgalanmayı küçültmüştü; kümede aynı türden küçük bir benzerlik, elli kişilik birimlerde çarpılıp yarı yarıya bir kayba dönüşüyor.

Dalgalanmayı köylerden hesaplamak

Ekip iki haftada sekiz köyü dolaşıyor. İyotlu tuz çıkan hane sayıları 21, 9, 18, 23, 8, 17, 12 ve 16; toplam 124 hane ve ilçe tahmini 124 ÷ 200 = 0,62. Tahmin, köyler eşit büyüklükte olduğu için ham oranla aynı çıkıyor. Tartışma belirsizlikte başlıyor. Hanelerin bağımsız olduğu varsayılırsa standart hata √(0,62 × 0,38 ÷ 200) ≈ 0,034 çıkar ve rapora dar bir aralık girer.

Oysa bu tasarımda bağımsız olarak seçilen şey köydü, hane değil. Köylerin oranları 0,32 ile 0,92 arasında dağılıyor ve bu sekiz oranın standart sapması yaklaşık 0,217. Standart hata bu sapmanın sekiz köyün kareköküne bölümü: 0,217 ÷ 2,83 ≈ 0,077. Doğru belirsizlik, bağımsızlık varsayımının verdiğinin 0,077 ÷ 0,034 ≈ 2,3 katı; karesi olan yaklaşık 5, planlamada varsayılan 5,8'e yakın. Buradan geriye gidersen verinin kendi söylediği köy içi benzerlik (5 − 1) ÷ 24 ≈ 0,17.

Bedeli küçültmek: daha çok köy, daha az kapı

Formülde bedeli büyüten iki çarpan var ve Neşe Hanım'ın elinde olan m. Köy içi benzerliği değiştiremez, ama bir köyde kaç kapı çalınacağını seçebilir. Yirmi köy seçip her köyün listesinden on haneyi kurayla çekerse toplam yine 200 hane olur. Tasarım etkisi 1 + 9 × 0,2 = 2,8'e, etkin örneklem 200 ÷ 2,8 ≈ 71 haneye çıkar. Kırk köyde beşer hane seçilirse tasarım etkisi 1,8 ve etkin örneklem yaklaşık 111.

Bu yolun da faturası var ve fatura sahada ödeniyor. Yirmi köy sekiz köyden daha çok yol, daha çok muhtar telefonu, daha çok gün demek; kırk köy ise neredeyse ilçenin üçte biri. Her seçilen köyde ekibin önce bir hane listesi çıkarması gerekiyor, ama 120 köyün hepsi için değil, yalnız seçilen yirmi köy için. Küme örneklemesinin gerçek soru biçimi bu yüzden "hangisi daha kesin" değil, "elimdeki bütçeyle en çok bilgiyi hangi köy sayısı ve hangi hane sayısı getirir" oluyor.

Klinik gerçeklik

Küme örneklemesi, birimlerin tek tek listesinin bulunmadığı ya da birimlere ulaşmanın coğrafyaya bağlı olduğu alan araştırmalarının olağan yöntemidir. Aşılama kapsamı, beslenme durumu ve hane içi sağlık alışkanlıkları gibi sorular için yapılan taramalar sıklıkla önce yerleşim yerlerini, sonra haneleri seçer. Okul temelli araştırmalar okulları ya da sınıfları, hastane kalite denetimleri servisleri ya da günleri küme olarak kullanır. Randomizasyon dersinde küme randomizasyonunu ve küme içi benzerliğin belirsizliği küçük gösterme tehlikesini görmüştün; seçimde de atamada da aynı benzerlik aynı hesabı istiyor.

Böyle bir çalışmanın yöntem bölümünü okurken dikkatini önce seçilen küme sayısına ver, çünkü kesinliği asıl o belirler. Binlerce katılımcı birkaç küme içinden geliyorsa etkileyici toplam sayı yanıltıcı olabilir. Sonra analizin küme yapısını hesaba katıp katmadığını ara; tasarım etkisi, küme içi korelasyon ya da kümeye göre düzeltilmiş standart hata ifadelerinden biri geçiyorsa katmıştır. Kümeler çok farklı büyüklükteyse seçim olasılıklarının nasıl dengelendiğini de sor. Büyük bir kasaba ile yirmi haneli bir mezra aynı şansla seçildiğinde her hanenin şansı artık eşit değildir ve genel oran, tabakalı tasarımdaki gibi ağırlık ister.

Neşe Hanım'ın 0,62'si kış bilgilendirmesi için yeterli bir yön verebilir. Ama raporda "sekiz köyde 200 hane" yazması ve aralığın köy temelli hesapla verilmesi gerekiyor. Aksi hâlde okuyan kişi 0,55 ile 0,69 arası kadar dar bir belirsizlik görür. Gerçek belirsizlik ise kabaca 0,47 ile 0,77 arasına yayılıyor.

Kendini sına

1. Küme örneklemesini kendi cümlenle tanımla. Neşe Hanım'ın tasarımında küme nedir, birim nedir?
2. Kura 120 köyden 12 köy çekseydi bir hanenin seçilme olasılığı kaç olurdu?
3. Dört köylük haritada aynı gruplar tabaka olarak kullanıldığında dağılma neden sıfırdı, küme olarak kullanıldığında neden 0,083'e çıktı?
4. Köy içi benzerlik 0,1 olsaydı sekiz köy, yirmi beşer hane tasarımında tasarım etkisi ve etkin örneklem kaç olurdu?
5. Standart hatanın 0,034 değil 0,077 olması gerektiğini köy oranlarından nasıl buldun? Hangi seçim bağımsızdı?
6. Aynı 200 haneyi yirmi köye yaymak kesinliği neden artırıyor, sahada neyi pahalılaştırıyor?
7. Kümeleme analizi ile küme örneklemesi arasındaki farkı bir cümleyle anlat.

Bir sonraki derse köprü

Bu derste köyleri kura seçti; Kerim yalnız her seçilen köyde kaç kapı çalınacağını belirledi. Ekip sahaya çıkmadan önce aklına daha kısa bir yol gelebilirdi: asfalt yola en yakın köylere gitmek ya da köy kahvesinde o gün oturanlara sormak. O durumda hiçbir hanenin seçilme olasılığı bilinmez ve bu derste kurduğun hesapların hepsi o olasılığa dayanıyordu. Sıradaki ders, ulaşılması en kolay olanı seçmenin adını kolayda örnekleme olarak koyuyor ve kura ortadan kalktığında bir tahminin neyi temsil ettiğini soruyor.