Tabakalı Örnekleme

Açılış sahnesi

Bir devlet üniversitesinin kampüs sağlık merkezi, mart sonu, bahar döneminin ortası. Merkezin hekimi Zübeyde Hanım, rektörlüğün eylülde başlatmak istediği sigara bırakma desteğinden önce tek bir sayı istiyor: üniversitenin 2.000 çalışanının kaçta kaçı sigara içiyor? Masasında personel dairesinden gelen liste duruyor ve listenin her satırında adın yanında bir sütun daha var: akademik, idari ya da destek hizmetleri. Akademik kadroda 600, idari kadroda 900, temizlik, güvenlik ve yemekhane ekiplerini kapsayan destek hizmetlerinde 500 kişi.

Kısa bir anket için 200 kişiye ulaşılabilecek. İstatistik bölümünden yardıma gelen araştırma görevlisi Ahu, önceki haftalarda öğrendiği yolu öneriyor: 2.000 adı numaralayıp tek seferde 200 numara çekmek. Zübeyde Hanım listedeki üçüncü sütunu gösteriyor. "Bu gruplar arasında içme alışkanlığının farklı olduğunu hepimiz biliyoruz. Kura şans eseri idari kadrodan fazla, destekten az kişi getirirse ne olacak? Her gruptan payı kadar kişiyi ayrı ayrı çeksek olmaz mı?"

Bu derste ne olacak

Zübeyde Hanım'ın önerisi bu dersin konusunun ta kendisi. Önce listeyi gruplara bölmenin ve kurayı her grubun içinde ayrı çekmenin adını koyacağız. Sonra beş kişilik defteri geri çağırıp bölmenin dalgalanmayı nasıl sıfıra kadar indirebildiğini ve aynı anda neden ağırlık hesabı istediğini göreceksin. Ardından kampüse dönüp kazancın gerçekçi bir listede ne kadar olduğunu ölçeceğiz. En sonda bu yöntemin bedelini ve analizde yaptığın tabakalamadan farkını konuşacağız.

Sıfır noktası

Kampüste tabakalar üç kadro. Her birinin payı, yani tabaka ağırlığı, kadro büyüklüğünün toplama bölümüyle bulunur: akademik için 600 ÷ 2.000 = 0,3, idari için 900 ÷ 2.000 = 0,45, destek için 500 ÷ 2.000 = 0,25. Orantılı paylaştırmada 200 kişilik örneklem bu paylarla bölünür ve 0,3 × 200 = 60 akademik, 0,45 × 200 = 90 idari, 0,25 × 200 = 50 destek çalışanı seçilir. Her grupta seçilme olasılığı 60 ÷ 600 = 0,1, yani önceki dersteki onda bir güvencenin aynısı, şimdi her kadronun kendi içinde.

Buradaki "tabaka" kelimesi sana tanıdık gelmeli. Karıştırıcı değişken dersinde (L01-P02-M02-D08) tabakalamayı veri toplandıktan sonra, bir ilişkiyi karıştırıcının her düzeyinde ayrı okumak için kullanmıştın. Buradaki tabakalama ise veri toplanmadan önce yapılıyor ve bir ilişkiyi değil, tek bir sayının kestirimini hedefliyor. Kelime aynı, fikir de akraba: benzer olanı birlikte ele almak. İş ise başka; biri karıştırmayı ayıklıyor, öteki şansın getirdiği karışım dengesizliğini ortadan kaldırıyor.

Mekanizma

Beş kişilik defteri ikiye bölmek

Önceki dersin küçük defterini hatırla: beş üretici, ikisinin aşı kaydı var, gerçek oran 0,4. Kurayla iki kişi seçtiğinde on olası ikili vardı; tahminler bir kez 1, altı kez 0,5, üç kez 0 çıkıyordu ve ortalamaları tam 0,4'tü. Bu on tahminin 0,4 çevresindeki dağılmasını da tek bir sayıyla ölçebilirsin. Her tahminin 0,4'ten farkının karesini al ve ortala: bir kez 0,36, altı kez 0,01, üç kez 0,16 var ve (0,36 + 0,06 + 0,48) ÷ 10 = 0,09 çıkıyor. Kareköküyle bu, tahminlerin hedefin yaklaşık 0,3 kadar yanına düştüğü anlamına geliyor.

Şimdi aşılı iki kişinin kıyıda, aşısız üç kişinin yaylada oturduğunu varsay ve kurayı her gruptan birer kişi çekecek biçimde böl. Kıyıdan iki, yayladan üç seçenek var, yani 2 × 3 = 6 olası örneklem. Kıyıdan kim çıkarsa çıksın aşılıdır, yayladan kim çıkarsa çıksın aşısızdır. Kıyının evrendeki payı 2 ÷ 5 = 0,4, yaylanınki 3 ÷ 5 = 0,6 ve tahmin 0,4 × 1 + 0,6 × 0 = 0,4. Altı örneklemin altısı da tam hedefi veriyor; dağılma sıfır.

Aynı hesabın ikinci yüzü uyarı niteliğinde. Seçilen iki kişinin oranını ağırlıksız okusaydın her örneklemde 1 ÷ 2 = 0,5 bulurdun, yani altı kez aynı yanlış sayıyı. Kıyının iki kişisinden biri seçiliyor, yaylanın üç kişisinden yalnız biri; kıyılı birinin seçilme olasılığı ikide bir, yaylalınınki üçte bir. Seçilme olasılıkları eşit olmadığında örneklemi olduğu gibi toplamak kıyıyı fazla saydırır ve ağırlık bu fazlalığı geri alır.

Bu defter bir uç durum, çünkü iki grup kendi içinde tamamen benzer. Yine de mekanizmayı çıplak gösteriyor. Basit kurada dalgalanmanın bir kısmı, hangi gruptan kaç kişi geldiğinin şansa kalmasından doğuyordu; üç ikili aşılı kimseyi görmemişti, çünkü kura iki kişiyi de yayladan getirmişti. Tabakalama bu karışımı kuradan alıp tasarıma veriyor. Her tabakadan kaç kişi geleceği artık önceden belli olduğu için o kaynaktan gelen dalgalanma kayboluyor.

Kampüste kazanç ne kadar

Gerçek listeler beş kişilik defter kadar temiz ayrılmaz. Kurguda kampüsün gerçek oranları akademik kadroda 0,10, idari kadroda 0,20, destekte 0,40 ve üniversitenin tamamındaki oran bunların ağırlıklı ortalaması: 0,3 × 0,10 + 0,45 × 0,20 + 0,25 × 0,40 = 0,22. Ahu'nun anketi dönünce 60 akademik çalışandan 7'si, 90 idari çalışandan 19'u, 50 destek çalışanından 21'i sigara içtiğini söylüyor. Tabaka tahminleri 7 ÷ 60 ≈ 0,117, 19 ÷ 90 ≈ 0,211 ve 21 ÷ 50 = 0,42.

Üniversite tahmini ağırlıklarla toplanıyor: 0,3 × 0,117 ≈ 0,035, 0,45 × 0,211 ≈ 0,095 ve 0,25 × 0,42 = 0,105, toplam 0,235. Aynı sayıyı başka bir yoldan da bulabilirsin, çünkü orantılı paylaştırmada ağırlıklar örneklemin içine zaten yerleşmiş durumda. Toplam 7 + 19 + 21 = 47 içici var ve 47 ÷ 200 = 0,235. Orantılı bir tasarım bu yüzden kendini ağırlıklandırır: her birimin seçilme olasılığı eşit olduğu için ham oran ile ağırlıklı oran örtüşür.

Şimdi Zübeyde Hanım'ın asıl sorusu, kazancın ne olduğu. Basit kurada bir oranın dalgalanmasını önceki derste p × (1 − p) ÷ n ile kurmuştun. Burada 0,22 × 0,78 = 0,1716 ve 0,1716 ÷ 200 = 0,000858; karekökü yaklaşık 0,029. Tabakalı tasarımda aynı hesap her tabakanın kendi p × (1 − p) değeriyle yapılır ve ağırlıklarla toplanır. Tabaka içi değerler 0,09, 0,16 ve 0,24; ağırlıklı toplamları 0,027 + 0,072 + 0,06 = 0,159. Bunu 200'e böldüğünde 0,159 ÷ 200 = 0,000795 buluyorsun, karekökü yaklaşık 0,028.

Fark küçük görünüyor, ve gerçekten küçük. 0,1716 ile 0,159 arasındaki 0,0126, tabakaların birbirinden farkından gelen kısım ve tabakalamanın kaldırdığı tam olarak bu. Geri kalan 0,159, her kadronun kendi içindeki çeşitlilik; aynı idari ofiste içen ile içmeyen yan yana oturuyor ve hiçbir bölme bunu ortadan kaldıramaz. Kazancı kişi sayısıyla da okuyabilirsin: basit kuranın aynı dalgalanmaya inmesi için 0,1716 ÷ 0,000795 ≈ 216 kişi gerekirdi. Tabakalama bu listede yaklaşık on altı ek görüşmeye değiyor.

Bedel: liste, sütun ve ağırlık

Bu kazanç bedelsiz değil ve ilk bedel listede. Tabakalamak için her birimin tabakası seçimden önce bilinmeli; kampüste personel dairesinin sütunu bunu bedavaya veriyor. Önceki dersin ziraat odası defterinde köy bilgisi yazmıyorsa, kıyı ile yaylayı ayırmak için önce bin iki yüz adın her birinin adresini bulmak gerekir. Bazen bu hazırlık, tabakalamanın kazandırdığı on altı görüşmeden daha pahalıya gelir.

İkinci bedel paylaştırmayı orantılı tutmadığında ortaya çıkıyor. Zübeyde Hanım destek ekiplerinin tahmininin ayrıca güvenilir olmasını isterse bu gruba fazladan kişi ayırabilir; örneğin 40 akademik, 60 idari ve 100 destek çalışanı. Tabakalardaki oranlar gerçek değerlere tam denk gelse bile içici sayısı 4 + 12 + 40 = 56 olur ve ham oran 56 ÷ 200 = 0,28 çıkar. Gerçek değer 0,22 olduğu hâlde ham oran onu altı puan yukarı taşıyor, çünkü içme oranı en yüksek grup örneklemde payından fazla yer tutuyor. Tabaka ağırlıklarıyla toplandığında sayı yine 0,22'ye döner; ağırlık unutulursa aşırı temsil edilen grubun oranı bütün kampüse yayılır.

Son bedel, tabakalamanın hiç dokunmadığı yer. Personel dairesinin listesinde yalnız kadrolu çalışanlar varsa, taşeron firmadan gelen güvenlik görevlileri hangi tabakaya bölünürse bölünsün hiç seçilmez. Tabakalar çerçevenin içini düzenler, çerçevenin dışına uzanmaz; önceki dersteki mevsimlik işçiler burada da aynı yerde duruyor.

Klinik gerçeklik

Tabakalı örneklemeyi en çok, bir sayının hem genel hem alt gruplar için güvenilir olmasının istendiği taramalarda görürsün. Bir il ya da ülke çapındaki sağlık araştırmaları genellikle bölgeye, kır ile kente ya da yaş gruplarına göre tabakalar kurar. Küçük bölgelerden fazladan kişi seçip onlar için de anlamlı bir sayı elde eder, sonra ulusal tahmini ağırlıklarla toplar. Bu raporlarda "ağırlıklandırılmış oran" ifadesini gördüğünde, arkasında büyük olasılıkla tam kampüsteki orantısız paylaştırmanın düzeltmesi vardır.

Hastane içindeki denetimler de aynı mantıkla kurulabilir. Kalite ekibi bir aylık dosyaları servis servis tabakalar ve her servisten payı kadar dosya çekerse, küçük bir yoğun bakımın denetimden tamamen düşmesi şansa kalmaz. Sonuç tek bir hastane oranı olarak verilecekse servislerin ağırlıkları hesaba girer; servisler ayrı ayrı karşılaştırılacaksa her servise yeterli dosya ayırmak daha önemli olabilir. İki amaç aynı listeden farklı paylaştırmalar ister ve hangisinin seçildiği raporda yazmalıdır.

Bir makalede "tabakalı örnekleme" ifadesiyle karşılaştığında üç soru sor. Tabakaların hangi değişkene göre kurulduğu ve bu değişkenin seçimden önce listede bulunup bulunmadığı ilki. İkincisi paylaştırmanın orantılı olup olmadığı; değilse genel sayının ağırlıklarla kurulup kurulmadığı. Üçüncüsü çerçevenin kimi kapsadığı, çünkü en iyi kurulmuş tabakalar bile listede olmayanı temsil edemez. Randomize çalışmalarda karşına çıkan tabakalı randomizasyonla da karıştırma; o, çalışmaya girmiş kişileri kollara dengeli dağıtıyor, bu ise kimin çalışmaya gireceğini belirliyor.

Kendini sına

1. Tabakalı örneklemeyi kendi cümlenle tanımla. Kampüsteki tabakalar neler ve her birinin ağırlığı kaç?
2. Kampüste örneklem 300 kişi olsaydı orantılı paylaştırma her kadroya kaç kişi ayırırdı?
3. Beş kişilik defterde tabakalı tasarımın altı örneklemi neden aynı tahmini verdi? Ağırlıksız oran neden hep 0,5 çıktı?
4. Kampüste tabakalamanın kaldırdığı 0,0126 hangi çeşitlilikten geliyor, kaldıramadığı 0,159 hangisinden?
5. Üç kadronun içme oranları birbirine eşit olsaydı tabakalamanın kazancı ne olurdu? Hesapla göster.
6. 40, 60 ve 100 kişilik orantısız tasarımda ham oran neden 0,28 çıktı? Örneklemi iki katına çıkarmak bu farkı neden kapatmaz?
7. Analiz aşamasındaki tabakalama ile tasarım aşamasındaki tabakalama hangi sorulara cevap veriyor?

Bir sonraki derse köprü

Kampüste kurayı her kadronun içinde ayrı çektin ve üç kadronun hepsine gittin. Şimdi başka bir durum düşün: üniversitenin kırk birimi var ve anketörler her binaya ayrı ayrı gidecek kadar zamana sahip değil. Birim listesinden birkaç birimi kurayla seçip yalnız onların bütün çalışanlarını sorarsan yol ve zaman kısalır, ama seçilmeyen birimlerin hiçbiri örneğe girmez. Sıradaki ders bu gruplara küme adını veriyor ve tabakada yararlı olan iç benzerliğin kümede neden dalgalanmayı büyüten bir bedele dönüştüğünü soruyor.