Rastgele Örnekleme

Açılış sahnesi

Karadeniz kıyısında bir ilçenin ziraat odası, ağustosun ilk pazartesisi, fındık hasadına iki hafta var. Toplum sağlığı merkezinden gelen Meral Hemşire, oda kâtibi Rahmi Bey'in masasına kalın bir üye defteri açtırmış: 1.200 kayıtlı üretici. Merkezin sorusu basit görünüyor. Hasatta orak ve budama makası kesiklerinin arttığı haftalardan önce, üyelerin kaçta kaçının son on yılda tetanoz aşısı kaydı var?

Herkesi aramaya zaman yok, 120 kişiye ulaşmak mümkün. Rahmi Bey iki öneri getiriyor. Birincisi cuma pazarında odaya uğrayanlara sormak, ikincisi defterin ilk 120 adını almak. Meral Hemşire ikisini de geri çeviriyor, defterdeki adları 1'den 1.200'e numaralıyor ve telefonundaki bir rastgele sayı üreticisiyle 120 numara çektiriyor. Rahmi Bey'in sorusu masada kalıyor: "Kura çekince ne değişti, sonuçta yine 120 kişi değil mi?"

Bu derste ne olacak

Rahmi Bey'in sorusunu ciddiye alacağız, çünkü haklı bir yanı var: kura örneklemi büyütmüyor. Önce kuranın neyi eşitlediğini tanımlayıp her üyenin seçilme olasılığını hesaplayacağız. Sonra beş kişilik küçük bir listede olası bütün kuraları tek tek sayıp kuranın verdiği güvencenin tam olarak ne olduğunu göreceksin. Ardından kuranın hiç göremediği iki kapıyı, listenin dışında kalanları ve seçilip ulaşılamayanları sayılarla açacağız. En sonda rastgele seçmeyi, daha önce tanıdığın rastgele atamadan ayıracağız.

Sıfır noktası

Meral Hemşire'nin çerçevesi 1.200 adlık üye defteri, örneklemi 120 kişi. Her üyenin seçilme olasılığı 120 ÷ 1.200 = 0,1, yani herkes için onda bir. Bu sayının önemi büyüklüğünde değil eşitliğinde. Önceki derste poliklinik listesinin bir çocuğu kısa boyu yüzünden seçtiğini görmüştün; orada seçilme şansı tam da ölçülen özelliğe bağlıydı. Burada şans, aşı kaydıyla, köyle, yaşla, odaya uğrama alışkanlığıyla hiçbir ilişki taşımıyor.

Rahmi Bey'in iki önerisi bu yüzden kuradan ayrılıyor. Cuma pazarına gelen üretici, köyü merkeze yakın ve sağlık merkeziyle de büyük olasılıkla daha sık karşılaşan biri. Defterin ilk 120 adı ise alfabeye göre dizilmiş ve bu ilçede soyadları köylere göre kümeleniyor; ilk sayfalar birkaç köyün aileleriyle dolabilir. İki öneri de rastlantısal görünüyor ama seçilme şansını ölçülen özellikle ilişkili bir şeye bağlıyor.

Mekanizma

Beş kişilik bir defter

Kuranın ne verdiğini görmenin en temiz yolu, olası bütün kuraları sayabileceğin kadar küçük bir liste kurmak. Beş üreticiden oluşan bir defter düşün: ikisinin aşı kaydı var, üçünün yok. Bu küçük evrendeki gerçek oran 2 ÷ 5 = 0,4. Şimdi bu beş kişiden kurayla iki kişi seçiyorsun ve seçtiğin ikilinin oranını evren için tahmin olarak kullanıyorsun.

Beş kişiden iki kişi on farklı biçimde seçilebilir ve basit rastgele örneklemede bu on ikilinin her birinin şansı eşit, onda bir. Aşılı iki kişinin birlikte çıktığı tek bir ikili var ve o ikili oranı 1 diye tahmin ediyor. Bir aşılı ile bir aşısızın çıktığı altı ikili var, bunlar 0,5 diyor. Aşısız üç kişiden ikisinin çıktığı üç ikili var, bunlar 0 diyor. Olası bütün tahminlerin ortalaması (1 + 3 + 0) ÷ 10 = 0,4; yani tam evrendeki oran.

Bu hesabın iki yüzü var ve ikisi de önemli. Birinci yüz kuranın güvencesi: olası bütün kuralar üzerinden bakıldığında tahmin ne yukarı ne aşağı kayıyor, ortalamada tam hedefe oturuyor. İkinci yüz güvencenin sınırı: on kuranın hiçbiri 0,4 demiyor ve üçü aşılı kimseyi hiç görmeden 0 diyor. Kura hedefin etrafına dengeli dağılmayı garanti ediyor, tek bir çekilişin hedefe yakın düşmesini garanti etmiyor.

Kuranın ikinci armağanı: hesaplanabilir dalgalanma

Meral Hemşire üç haftada seçilen 120 kişiden 100'üne ulaşıyor ve bunların 45'inde son on yılda aşı kaydı buluyor. Tahmini 45 ÷ 100 = 0,45. Beş kişilik defter bu sayının neden tek başına yeterli olmadığını gösterdi: başka bir kura başka bir sayı verirdi. Kuranın ikinci armağanı, o başka sayıların ne kadar uzağa düşebileceğini hesaplamaya izin vermesi.

Bir oran için bu hesap binom dağılımından geliyor. Önce 0,45 × 0,55 = 0,2475 çarpımını kur, sonra ulaşılan kişi sayısına böl: 0,2475 ÷ 100 = 0,002475. Bunun karekökü yaklaşık 0,05; önceki derste bir ortalama için kurduğun standart hatanın oran için karşılığı bu. Aynı defterden yeni kuralar çekilseydi tahminlerin çoğu 0,45'in beş puan kadar altına ya da üstüne dağılırdı. Bu dalgalanmanın adı ve güven aralığına nasıl dönüştüğü modülün ilerleyen derslerinde ayrıca kuruluyor.

Burada önemli olan, hesabın kuraya bağlı olması. Cuma pazarına gelenlerden toplanan 100 kişiye de aynı formülü uygulayabilirsin ve aynı 0,05'i elde edersin. Ama o sayı artık bir şey ölçmüyor, çünkü formülün arkasındaki varsayım, yani her olası grubun eşit şansla seçilebileceği, orada hiç sağlanmadı. Standart hata hesabı rastgele seçilmemiş bir örneklemin üstünde de sorunsuzca çalışır ve yanlış bir güven üretir.

Kuranın göremediği iki kapı

Meral Hemşire'nin sonucunu merkeze götürmeden önce sorulacak soru, 1.200 adlık defterin kimi temsil ettiği. Hasatta toprağa ve bıçağa en çok dokunanların bir bölümü odaya kayıtlı üreticiler değil, hasat için başka illerden gelen mevsimlik işçiler. Kurguda bu ilçede hasat boyunca 800 mevsimlik işçi çalışıyor ve onların aşı kaydı oranı 0,15. Merkezin gerçek sorusu hasatta çalışan herkes içinse evren 1.200 + 800 = 2.000 kişi.

Bu evrenin gerçek oranını iki grubun ağırlıklı ortalamasıyla hesapla ve kolaylık için defterin kendi oranının da kurgu gereği tam 0,45 olduğunu varsay. Üreticilerde 1.200 × 0,45 = 540 kişi, işçilerde 800 × 0,15 = 120 kişi aşı kaydı taşıyor; toplam 660. Oran 660 ÷ 2.000 = 0,33. Kura defter içinde kusursuz çalıştı ve 0,45 dedi; hasattaki herkes için gerçek sayı 0,33. Aradaki on iki puanlık fark kuranın bir hatası değil, çünkü kura yalnız kendisine verilen listenin içinde eşitlik sağlayabilir. Listenin dışında kalan kimseye bir numara verilmediği için hiçbirinin seçilme şansı sıfırdı.

İkinci kapı listenin içinde açılıyor. Kurayla seçilen 120 kişiden 20'sine ulaşılamadı ve ulaşma oranı 100 ÷ 120 ≈ 0,83. Ulaşılamayanların hiçbirinde kayıt yoksa seçilen 120 kişideki oran 45 ÷ 120 = 0,375 olurdu, hepsinde varsa 65 ÷ 120 ≈ 0,54. Ulaşılamayanlar rastgele değilse, örneğin en çok bahçede olan ve sağlık merkezine en az uğrayan üreticilerse, kuranın kurduğu eşitlik seçimden sonra, ölçüm aşamasında bozulmuş olur.

Rastgele seçmek, rastgele atamak

Randomizasyon dersinde (L01-P02-M03-D02) bir şans mekanizmasının katılımcıları gruplara nasıl dağıttığını görmüştün. İki işlem aynı araçla, kurayla yapılıyor ama başka sorulara cevap veriyor. Rastgele atama, bir çalışmaya zaten girmiş kişileri kollara bölerek karşılaştırmayı adil kılıyor. Rastgele seçim ise kimin çalışmaya gireceğini belirleyerek bulgunun hangi evrene taşınabileceğini söylüyor.

Birinin varlığı ötekini sağlamıyor. Randomize bir çalışmanın katılımcıları çoğu zaman bir hastaneye başvuran ve katılmayı kabul eden gönüllülerdir; kollar arası karşılaştırma adil olabilir ama katılımcılar hasta nüfusunun kurayla seçilmiş bir dilimi değildir. Meral Hemşire'nin taraması ise tersini yapıyor: kimseyi bir gruba atamıyor, yalnız tek bir oranı kestiriyor ve bu kestirimin gücünü seçimin rastgeleliğinden alıyor. Bir bulgu okurken "rastgele" kelimesini gördüğünde ilk sorun, kuranın hangi iş için çekildiği.

Klinik gerçeklik

Rastgele örneklemeyle en sık, bir kurumun kendi kayıtlarını denetlediği yerde karşılaşırsın. Bir hastane bir ayda açılan bütün dosyaları okuyamaz ve kalite ekibi dosya numaralarından kura çeker. Bu kura, en düzenli tutulan dosyaların ya da en sorunlu servislerin denetime daha sık girmesini önler. Yine de çerçeve sorusu burada da geçerli: kura yalnız elektronik sistemde açılmış dosyalardan çekiliyorsa, kâğıtla tutulan acil kayıtları hiçbir zaman seçilmez.

Bir araştırma özetinde "katılımcılar rastgele seçildi" cümlesini gördüğünde bu dersin üç sorusunu sırayla sor. Birincisi hangi listeden seçildikleri: çerçeve, bulgunun genellenmek istendiği nüfusu kapsıyor mu? İkincisi seçilenlerin kaçına ulaşıldığı ve ulaşılamayanların kimler olduğu. Üçüncüsü kuranın gerçekten bir şans mekanizmasıyla mı yoksa "gelenlerden" ya da "listenin başından" mı yapıldığı. Üç sorunun cevabı yazılmamışsa, "rastgele" kelimesi bir yöntemi değil yalnız bir niyeti bildiriyor olabilir.

Bu soruların hiçbiri bir çalışmayı değersiz ilan etmek için değil. Mevsimlik işçileri kapsamayan bir tarama da üreticiler hakkında güvenilir bir sayı verir; yeter ki o sayı hasattaki herkes için söylenmesin. Kuranın gücü ile sınırı aynı yerde duruyor: kendisine verilen listeyi dürüstçe temsil eder, listede olmayanı hiç tanımaz.

Kendini sına

1. Basit rastgele örneklemeyi kendi cümlenle tanımla. Rahmi Bey'in iki önerisi bu tanımın hangi koşulunu bozuyor?
2. 1.200 kişilik bir çerçeveden 150 kişi kurayla seçilseydi her üyenin seçilme olasılığı kaç olurdu?
3. Beş kişilik defterde aşılı sayısı üç olsaydı olası on ikilinin tahminleri ne olurdu? Ortalamalarının 0,6 çıktığını hesapla göster.
4. On kuranın hiçbiri 0,4 demediği hâlde tahminin "ortalamada doğru" olması ne anlama geliyor?
5. Ulaşılan 100 kişide oran 0,45 iken hesaplanan dalgalanma yaklaşık 0,05'ti. Cuma pazarından toplanan 100 kişi için aynı sayı neden bir şey ölçmez?
6. Defter 1.200 kişiyle aynı kalırken 240 kişi seçilseydi 0,45 ile 0,33 arasındaki fark kapanır mıydı? Neden?
7. Randomize bir çalışmanın kollar arası karşılaştırması adilken bulgunun kendi hastana genellenmesi neden ayrı bir soru olarak kalıyor?

Bir sonraki derse köprü

Beş kişilik defterde on kuranın üçü aşılı kimseyi görmedi ve bu şans oyunun doğasıydı. Şimdi defteri bir adım büyüt: 1.200 üreticinin bir bölümü kıyı köylerinde, bir bölümü yaylada oturuyor ve iki grubun aşı kaydının farklı olduğundan şüpheleniyorsun. Kurayı defterin tamamından tek seferde çekmek yerine her grubun kendi içinden ayrı çekersen ne olur? Sıradaki ders defteri bu türden gruplara, yani tabakalara bölmenin hangi dalgalanmayı daralttığını ve bunun bedelini soruyor.