Evren ve Örneklem

Açılış sahnesi

Bir ilçe sağlık müdürlüğünde, salı öğleden sonra, bir çocuk hekimi iki listeyi yan yana koymuş. İkisi de ilçedeki dördüncü sınıf öğrencilerinin boyunu ölçüyor ve ikisinde de tam 64 çocuk var. Birinci liste hastanenin büyüme polikliniğinin dosyalarından derlenmiş; ortalama boy 126,2 santimetre. İkinci liste okul taramasından geliyor, çocuklar kurayla seçilmiş; ortalama boy 135,4 santimetre.

Ölçümlerin ikisi de aynı tür boy ölçeriyle, aynı dikkatle yapılmış. Hesap hatası yok. Yine de iki ortalama arasında dokuz santimetreden fazla fark var ve hekimin sorusu tek: ilçedeki dördüncü sınıfların boyu hakkında hangisi bir şey söylüyor? Bu soruyu cevaplamak için önce iki kelimeye ihtiyacın var. Hakkında konuşmak istediğin büyük küme ile elinde fiilen duran küçük küme.

Bu derste ne olacak

Önce evreni ve örneklemi tanımlayıp ikisi arasındaki büyüklük oranını hesaplayacağız. Sonra aynı sayının iki farklı soruya iki farklı türden cevap verdiğini göreceksin: biri kesin bir betimleme, öteki belirsizlik taşıyan bir tahmin. Ardından ilçenin görünmeyen tablosunu kurup poliklinik listesinin neden dokuz santimetre aşağıda kaldığını elle çözeceğiz. Son bölümde evrenin veriden değil sorudan geldiğini ve bunun klinikte en sık karşına çıktığı yeri, referans aralığını konuşacağız.

Sıfır noktası

Açılıştaki hekimin evreni ilçedeki bütün dördüncü sınıf öğrencileri. Kurguda bunlar 3.200 çocuk ve hiçbiri tek tek ölçülmemiş. Örneklem ise kurayla seçilip ölçülen 64 çocuk. İkisinin oranı, yani örnekleme oranı, 64 ÷ 3.200 = 0,02: her elli çocuktan biri. Hekim ilçe hakkında konuşurken aslında bu yüzde ikilik dilimden konuşuyor ve geri kalan yüzde doksan sekizi hiç görmüyor.

Evrenin bir ortalaması var ama kimse onu doğrudan görmüyor. Örneklemin de bir ortalaması var ve onu herkes görüyor. İstatistiğin bu programdaki bütün işi, görünen sayıdan görünmeyen sayıya giden köprünün ne kadar sağlam olduğunu sormak. Tanımlayıcı istatistik programında elindeki sayılar neyse oydu ve onları doğru betimlemek yetiyordu. Burada elindeki sayılar, görmediğin bir bütünün temsilcisi olarak iş görüyor.

Mekanizma

Aynı sayı, iki soru

Hata çubukları dersinde (L02-P03-M03-D07) on altı ölçümlük bir izlem vardı: ortalama 100, standart sapma 12. Orada standart hatayı 12 ÷ 4 = 3 diye hesaplamış ve bunu bir çizim kararı olarak okumuştun, çünkü soru hangi çubuğun grafiğe çizileceğiydi. Aynı üç sayı bu programda başka bir şey söylüyor. İzlemi aynı koşullarda, farklı on altı anda yeniden yapsan ortalama tam 100 çıkmazdı; 97 ya da 103 çıkabilirdi. Standart hata, bu olası sapmanın büyüklüğünü kestiriyor: örneklem ortalamasının görünmeyen evren ortalaması etrafında ne kadar dar bir bantta toplanacağını.

Hekimin kura listesi için de aynısını yapabilirsin. Kurguda boyların standart sapması 6 santimetre ve örneklem 64 çocuk; 64'ün karekökü 8. Standart hata 6 ÷ 8 = 0,75 santimetre. Kura listesinin ortalaması 135,4 çıktı, ilçenin gerçek ortalaması kurguda 135. Aradaki fark 0,4 santimetre, yani bir standart hatanın yarısından biraz fazla; kurayla seçilmiş bir örneklemden beklenecek sıradan bir dalgalanma. Bu dalgalanmanın kendi dağılımı olduğunu t dağılımı dersinde (L02-P02-M02-D06) örnekleme dağılımı adıyla görmüştün. Orada olasılığın bir aracı olarak kurulmuştu; burada evren ile örneklem arasındaki mesafenin ölçüsü olarak geri dönüyor.

Karekök kuralının da burada bir sonucu var. Binom dağılımı dersinde kesinliğin örneklem büyüklüğüyle değil onun karekökü ile arttığını görmüştün. Hekim kura listesini 64'ten 256 çocuğa büyütse karekök 16 olur ve standart hata 6 ÷ 16 = 0,375 santimetreye iner. Dört kat emek, yarı yarıya daralan bir bant.

Poliklinik listesi neden aşağıda kaldı

Şimdi hekimin hiçbir zaman göremeyeceği tabloyu kuralım. İlçedeki 3.200 çocuğun 320'si, yani onda biri, bir noktada boyu kısa kaldığı için büyüme polikliniğine getirilmiş; bu çocukların ortalama boyu kurguda 126. Geri kalan 2.880 çocuğun ortalaması 136. İlçenin ortalaması iki grubun ağırlıklı ortalaması: 320 × 126 = 40.320 ve 2.880 × 136 = 391.680, toplam 432.000. Bunu 3.200'e bölünce 432.000 ÷ 3.200 = 135 çıkıyor.

Poliklinik dosyalarından derlenen 64 çocuk, bu 320 kişilik alt gruptan geliyor, ilçenin tamamından değil. Onların ortalaması 126 çevresinde toplanıyor ve açılıştaki 126,2 tam bunu yansıtıyor. İlçe ortalamasıyla fark 135 − 126 = 9 santimetre. Bu dokuz santimetre bir ölçüm hatası değil, bir şans eseri de değil; listenin hangi kapıdan toplandığının doğrudan sonucu. Çocuklar polikliniğe tam da ölçülen özellik yüzünden gelmişti.

Burada dersin en önemli hesabı geliyor. Hekim poliklinik listesini de 64'ten 256'ya büyütse standart hata yine 0,375'e iner, ama ortalama 126'dan kıpırdamaz. Büyüyen örneklem dalgalanmayı daraltır, seçimin yarattığı kaymayı daraltmaz. Standart hata yalnız birinci türden sapmayı ölçer; dokuz santimetrelik ikinci tür, hesabın hiçbir satırında görünmez. İki listeye yalnız standart hataları üzerinden bakan biri, iki listenin de "çok kesin" olduğunu söyler ve birinin dokuz santimetre yanlış yere işaret ettiğini fark etmez.

Bu tablo sana tanıdık gelebilir. Seçim yanlılığı dersinde (L01-P02-M02-D05) revire kimin geldiği sorusunun bir ilişkiyi nasıl bozduğunu görmüştün: orada kayan şey iki grup arasındaki karşılaştırmaydı. Burada karşılaştırma yok, tek bir sayı var ve kayan şey o sayının evrene olan uzaklığı. Aynı mekanizmanın istatistikteki yüzü bu: bir tahmin, örneklemi evrene bağlayan seçim kuralı kadar sağlamdır.

Evren, veriden önce sorudan gelir

Bir tuzak daha var ve burada özellikle kolay düşülüyor: evreni sabit, tek ve kendiliğinden belli bir şey sanmak. İlçedeki okullardan birinin dördüncü sınıflarında tam 64 öğrenci olduğunu düşün ve hekimin bu 64 çocuğun hepsini ölçtüğünü. Soru "bu okulun dördüncü sınıfları ne boyda?" ise evren bu 64 çocuktur ve örnekleme oranı 64 ÷ 64 = 1. Ortalamanın tahmin edilecek bir yanı kalmamıştır, elindeki sayı cevabın kendisidir.

Aynı 64 ölçümü "ilçedeki dördüncü sınıflar ne boyda?" sorusuna taşıdığında her şey değişir. Artık 3.200 kişilik bir evrenden tek bir okulun çocuklarını ölçmüşsündür ve bu okulun ilçeyi temsil edip etmediği, ölçümlerin kendisinden okunamaz. Okul ilçenin varlıklı bir mahallesindeyse, ortalama ilçeninkinden sistematik olarak ayrılabilir. Veri değişmedi, soru değişti; ve verinin güvenilirliği sorunun kapsamıyla birlikte değişti.

Klinik gerçeklik

Evren ve örneklem ayrımının klinikte en sık karşına çıktığı yer referans aralığı. Laboratuvar birimi dönüştürme görevinde bu aralığın bir sağlık ölçütü değil, belirli bir nüfusta ölçülmüş değerlerin dağılım tarifi olduğunu görmüştün. Bir laboratuvar sağlıklı saydığı bir grubu ölçer ve bu grup bir örneklemdir. Sonra o örneklemin dağılımından, benzer bütün kişiler için geçerli sayılan bir aralık çıkarır ve bu kişiler de evrendir. Aradaki adım, bu dersin konusu olan genellemenin ta kendisi.

Bu yüzden bir aralığın güvenilirliği, onu üreten ölçümlerin kalitesinden ibaret değil. Referans grubu yalnız belirli bir yaş diliminden ya da yalnız hastane çalışanlarından toplandıysa, aralık o gruba benzemeyen biri için poliklinik listesinin ilçe için yaptığı hatayı yapabilir. Ölçümlerin hiçbiri yanlış olmasa bile aralık yanlış kişiye uygulanmış olur. Bir aralığa bakarken sorulacak soru bu nedenle "hangi grupta ölçüldü?" sorusudur.

Bir sayısal bulguyla karşılaştığında aynı ayrımı kendi kendine yap. "Bu on altı hastada ortalama şuydu" diyen bir cümle tanımlayıcıdır ve sayı elindeki veriyi anlatır. "Bu bulgu genel olarak böyledir" diyen bir cümle çıkarımsaldır ve iki soru bekler: hangi evrene genelleniyor ve örneklem o evrene hangi kapıdan girdi? İkinci sorunun ayrıntıları bu modülün kalan derslerine yayılıyor. Rastgele, tabakalı, küme ve kolayda örnekleme seçimin yollarını, örnekleme hatası ve temsil edilebilirlik de bu yolların nerede saptığını ele alacak.

Kendini sına

1. Evren ile örneklem arasındaki farkı kendi cümlenle yaz ve açılıştaki hekimin evrenini, örneklemini ayrı ayrı adlandır.
2. 3.200 çocukluk bir evrenden 64 çocuk ölçülürse örnekleme oranı kaçtır? 160 çocuk ölçülseydi kaç olurdu?
3. Hata çubukları dersindeki standart hata (3), orada hangi soruya cevap veriyordu, burada hangi soruya cevap veriyor?
4. Standart sapma 6, örneklem 64 iken standart hata 0,75 çıkıyor. Örneklem 144 olsaydı standart hata kaç olurdu?
5. Poliklinik listesini 256 çocuğa büyütmek dokuz santimetrelik farkı neden kapatmıyor? Cevabını standart hatanın neyi ölçtüğü üzerinden kur.
6. Aynı 64 ölçüm için iki ayrı evren tanımı ver. Hangisinde örnekleme oranı 1 çıkar ve bu neyi değiştirir?
7. Bir referans aralığı hangi örneklemden, hangi evren için çıkarılıyor? Referans grubu yalnız genç yetişkinlerden oluşuyorsa aralık kime uygulanırken en çok dikkat ister?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste iki listeyi karşılaştırdın ve kurayla seçilen listenin ilçe ortalamasına yarım standart hata kadar yakın düştüğünü gördün. Bunu bir şans eseri gibi bıraktık. Sıradaki ders, kuranın bu yakınlığı nasıl sağladığını ve neden her çocuğa aynı seçilme şansı tanımanın poliklinik listesindeki kaymayı daha baştan önlediğini soruyor. Kuranın neyi garanti ettiğini, neyi hiçbir zaman garanti edemeyeceğini orada ayıracaksın.