Yanıltıcı Eksenler

Açılış sahnesi

Bir eğitim ve araştırma hastanesinin genel cerrahi servisinde, ay sonu toplantısından bir gün önce, sorumlu hemşire Cahide hemşirelik hizmetleri müdürü Suat Bey'e gidecek iki slaytı hazırlıyor. Birinci slayt servisin iki kanadını karşılaştırıyor: A kanadında bir vardiyada ortalama 100, B kanadında 106 yaşam bulgusu ölçümü yapılmış. Tablo programı iki sütunu çizmiş ve dikey ekseni kendiliğinden 95'ten başlatmış. Ekranda B'nin sütunu A'nınkinin iki katından da uzun görünüyor ve Cahide bir an "B kanadı iki kat fazla iş yapıyor" cümlesini slayta yazmaya hazırlanıyor.

İkinci slayt bir hastanın gece boyunca ölçülen vücut sıcaklığını gösteriyor: akşam 36,5, sabaha karşı 37,8. Program bu kez ekseni 0'dan 42'ye kadar çizmiş ve iki nokta neredeyse aynı yükseklikte duruyor. Servisin ateş izlem talimatı, bildirim değerinin üstündeki ölçümlerin nöbetçi hekime iletilmesini istiyor ve o değer bu iki ölçümün arasında kalıyor. Birinci slayt küçük bir farkı büyütüyor, ikinci slayt önemli bir farkı gizliyor; iki slaytta da tek bir sayı yanlış değil.

Bu derste ne olacak

Bu derste dikey eksenin başladığı yerin bir grafiğe ne yaptığını hesaplayacaksın. Önce iki sütunun ekrandaki yükseklik oranını gerçek oranla karşılaştıracak ve tabanın bu farkı tam olarak ne kadar büyüttüğünü tek bir bölme işlemiyle bulacaksın. Sonra sıfır tabanın da bir bedeli olduğunu, küçük ama önemli bir farkı nasıl gözden kaybettirdiğini göreceksin. Ardından hangi tabanın doğru olduğunu belirleyen şeyin grafik değil, sorulan soru olduğunu tartacaksın.

Taban, oranı belirliyor

Grafik okuma dersinde (L02-P01-M02-D08) eksen kesildiğinde küçük farkların büyük göründüğünü ve kesmenin belirtilip belirtilmediğinin ayırt edici olduğunu görmüştün. Bu ders o gözlemi bir sayıya bağlıyor. Kesme farkı tam olarak ne kadar büyütüyor ve hangi koşulda hiç büyütmüyor? Cevap, sütun yüksekliklerinin neye göre ölçüldüğünde.

Cahide'nin iki sayısının gerçek oranı 106 ÷ 100 = 1,06; B kanadı A'dan yalnızca yüzde 6 fazla ölçüm yapmış. Taban 95'e çekilince sütunlar artık 100 ve 106 yüksekliğinde değil, tabanın üstünde kalan kısım kadar çiziliyor: 100 − 95 = 5 ve 106 − 95 = 11. Ekrandaki oran 11 ÷ 5 = 2,2, yani görsel oran (106 − 95) ÷ (100 − 95) = 2,2. Görsel oran gerçek oranın 2,2 ÷ 1,06 ≈ 2,08 katı; yüzde 6'lık bir fark ekranda iki kattan fazla görünüyor.

Aynı iki sayıyı taban sıfıra göre ölçünce yükseklikler 100 ve 106'nın kendisi oluyor ve görsel oran 106 ÷ 100 = 1,06, gerçek orana tam eşit. Bu bir rastlantı değil: taban sıfır olduğunda görsel oran her zaman gerçek orana eşit çıkıyor, çünkü ikisi de aynı iki sayının bölümü. Taban sıfırdan uzaklaşıp değerlere yaklaştıkça eşitlik bozuluyor. Taban 90 olsaydı oran 16 ÷ 10 = 1,6 olurdu, taban 99 olsaydı 7 ÷ 1 = 7; taban küçük değere yaklaştıkça küçük sütun sıfıra doğru eriyor ve oran sınırsız büyüyor.

Bu son cümlenin bir sayısı da var. Taban −20 olsaydı sütunlar 120 ve 126 birim yüksekliğinde çizilir, görsel oran 126 ÷ 120 = 1,05 olurdu. Gerçek oran 1,06 iken ekrandaki oran ondan küçük kalıyor; negatif taban farkı büyütmüyor, eritiyor. Tabanın yönü, farkın büyütülüp büyütülmeyeceğini, uzaklığı da ne kadar büyütüleceğini belirliyor.

Sıfırın kendi bedeli

Burada ters yöne dönmek gerekiyor, çünkü buraya kadarki anlatım tek başına yanlış bir sonuca götürür: "eksen her zaman sıfırdan başlamalı" diye bir kural. Cahide'nin ikinci slaytı bu kuralın bedelini gösteriyor. Hastanın akşamki sıcaklığı 36,5, sabaha karşı 37,8; aradaki fark 37,8 − 36,5 = 1,3 derece ve talimattaki bildirim değeri bu iki ölçümün arasında kalıyor.

Programın çizdiği eksen 0'dan 42'ye uzanıyor. Taban sıfırken 1,3 derecelik fark grafiğin toplam yüksekliğinin 1,3 ÷ 42 ≈ 0,031'ine, yani yüzde 3,1'ine düşüyor ve göze neredeyse görünmüyor. Cahide ekseni 35'ten 39'a daraltınca ölçek 4 derece oluyor ve aynı fark grafiğin 1,3 ÷ 4 = 0,325'ine, yüzde 32,5'ine yayılıyor. Farkın görünürlüğü 42 ÷ 4 = 10,5 kat, yani on kattan fazla artıyor.

Demek ki taban sıfır olduğunda oran korunuyor, ama küçük bir mutlak fark grafiğin minik bir kısmına sıkışıp gözden kayabiliyor. Vücut sıcaklığında bu daha da belirgin, çünkü sıcaklığın sıfırı bir "hiç yok" anlamına gelmiyor; aralık ve oran ölçeği dersinde gördüğün gibi Celsius bir aralık ölçeği ve 37,8'in 36,5'e oranı hiçbir şey anlatmıyor. Sıfır taban bir erdem değil, bir araç: oran sorusuna doğru cevabı veriyor, eşik sorusuna yanlış cevabı verebiliyor.

Tabanı soru seçer

Cahide'nin iki slaytı aynı programdan, aynı varsayılan ayarlarla çıktı ve biri farkı büyüttü, öteki gizledi. Bu yüzden çözüm tek bir ayar değil. Birinci slaytta Suat Bey'in soracağı soru "B kanadı A'dan ne kadar fazla ölçüm yapıyor?" ve bu bir oran sorusu. Cahide tabanı sıfıra çekiyor; iki sütun artık 100 ve 106 yüksekliğinde ve göz farkı hâlâ görüyor ama abartmıyor.

İkinci slaytta soru "hastanın sıcaklığı bildirim değerini geçti mi?" ve bu bir eşik sorusu. Cahide ekseni 35 ile 39 arasına daraltıyor, bildirim değerini yatay kesikli bir çizgiyle işaretliyor ve eksenin altına "eksen 35'ten başlıyor" notunu yazıyor. Böylece dar taban bir gizli karar olmaktan çıkıp okurun görebildiği bir seçim oluyor. İki slaytın da altında artık tabanın nerede olduğu yazılı ve okur gördüğü oranı ya da farkı grafiğin kendisinden denetleyebiliyor.

Klinik gerçeklik

Bir eksenle karşılaştığında önce tek bir soru soruyorsun: buradaki karşılaştırma bir oran mı, bir mutlak fark mı? Oransa, yani "kaç kat fazla" ya da "yüzde kaç artmış" soruluyorsa, taban sıfır olmalı; değilse görsel oran gerçek orandan büyük çıkıyor ve büyüme miktarı tabanın değerlere ne kadar yakın olduğuna bağlı. Mutlak farksa, özellikle bir eşiğin aşılıp aşılmadığı soruluyorsa, geniş bir sıfır taban gerçek farkı grafiğin küçük bir köşesine sıkıştırabiliyor ve dar bir taban gerekli olabiliyor.

Hangi soru sorulursa sorulsun, üçüncü bir şey her zaman lazım: tabanın kendisinin yazılı olması. Bir eksen etiketi yalnız birimi değil, nereden başladığını da söylemedikçe okur gördüğü oranın ya da farkın gerçek olup olmadığını grafikten değil, grafiğin dışından ayrıca sorarak öğreniyor. Bir sütun grafiğinde kırık bir eksen işareti, bir sıcaklık çizelgesinde eşiği gösteren bir çizgi ya da tek satırlık bir not bu işi görüyor; hiçbiri yoksa ekrandaki oranı kendin, tabanı çıkararak yeniden hesaplamak zorundasın.

Kendini sına

1. 100 ve 106'nın gerçek oranı nedir? Taban 95 olduğunda görsel oran nedir? Görsel oran gerçek oranın kaç katı?
2. Taban sıfır olduğunda görsel oranın gerçek orana neden tam eşit çıktığını cebirle göster.
3. Taban sıfırın altına inseydi, örneğin −20, 100 ve 106'nın görsel oranı büyür mü küçülür mü? Hesapla.
4. 36,5 ve 37,8 arasındaki fark, taban sıfır ve ölçek 42 iken grafiğin yüzde kaçı? Taban 35, ölçek 4 iken kaçı?
5. "Eksen sıfırdan başlamalı" kuralı hangi soruya doğru cevap veriyor, hangisine yanlış?
6. Vakadaki iki grafik neden ikisi de sayısal olarak doğru, ama okurun iki farklı yanlış izlenime kapılması nasıl mümkün oluyor?
7. Bir grafikte eksen tabanı yazılı değil. Kuramayacağın hangi cümle var?

Bir sonraki derse köprü

Bu modülde tekrar tekrar aynı şey oldu: sayılar sabit kalırken görünmeyen bir karar değişti ve izlenim onunla birlikte döndü. Isı haritasında palet aralığı, hata çubuğunda çarpan, burada eksen tabanı; üçü de doğru sayılardan yanlış bir okuma üretebiliyordu. Sıradaki ders bu kararları tek tek göstermek yerine hepsini bir arada önüne koyuyor. İki grafikli bir panoyu önce sökeceksin, yani hangi sayının hangi gizli kararla çizildiğini bulacaksın, sonra aynı sayılarla yeniden tasarlayacaksın; burada gördüğün 100 ve 106 da orada, 95'ten başlayan bir eksenin üstünde seni bekliyor.