Hata Çubukları

Açılış sahnesi

Bir kömür işletmesinin maden arama kurtarma istasyonunda, yıllık dayanıklılık sınamasının bittiği akşam, ekip hekimi Dr. Aydan müdürlüğe gidecek raporun tek grafiğini hazırlıyor. İki vardiya ekibi, raporda İzlem A ve İzlem B olarak geçen on altışar kişi, üç dakikalık basamak testini tamamlamış ve her birinin testten bir dakika sonraki nabzı kaydedilmiş. İzlem A'nın ortalaması dakikada 100 atım, İzlem B'ninki 106; iki ekipte de standart sapma 12. Grafik iki sütundan oluşuyor ve yazılım her sütunun tepesine bir hata çubuğu eklemeyi öneriyor.

Dr. Aydan çubuk menüsünü açınca üç seçenek görüyor ve üçünü de sırayla deniyor. İzlem A'nın sütunu üç denemede de 100'de duruyor, ama çubuğu bir kez ± 12, bir kez ± 5,9, bir kez ± 3 uzanıyor. Üçü de aynı çizim kuralıyla çiziliyor: noktadan iki yöne eşit uzanan düz bir çizgi ve uçlarında birer kısa yatay çentik. Etiket olmadan üçü birbirinden ayırt edilemiyor, oysa en uzunu en kısasının tam dört katı.

Bu derste ne olacak

Bu derste bir ortalamanın etrafına çizilen çubuğu okuyacaksın. Önce aynı on altı ölçümden çıkan üç çubuğun uzunluklarının hangi sayılara bağlı olduğunu hesaplayacaksın. Sonra güven aralığı çubuğunun kendi içinde taşıdığı ikinci kararı, güven düzeyini göreceksin. Ardından Dr. Aydan'ın iki ekibinin, çubuğun türüne göre nasıl bir kez "ayrı" bir kez "iç içe" okunabildiğini ve çubuğun hangi işte gerçekten vazgeçilmez olduğunu tartacaksın.

Üç isim, tek çizim kuralı

Grafik okuma dersinde (L02-P01-M02-D08) bu üç çubuğun adlarını kurmuştun: standart sapma, standart hata, güven aralığı. Üçü de "ortalamanın etrafında bir aralık" gibi görünüyor ama farklı sorulara cevap veriyor. Standart sapma ölçümlerin birbirinden ne kadar yayıldığını, standart hata ortalamanın kendisinin ne kadar belirsiz olduğunu, güven aralığı ise ortalamanın makul biçimde nerede bulunabileceğini söylüyor.

Bu ders o adları yeniden tanımlamıyor. Sorduğu soru başka: üç çubuk aynı on altı ölçümden çıkarken, uzunlukları arasındaki oran tam olarak nereden geliyor? Cevap, üçünü de tek bir temel birime bağlayan bir sayıda.

Standart sapmadan standart hataya: kök n çarpanı

Standart hata, standart sapmanın örneklem büyüklüğünün kareköküne bölünmesiyle bulunuyor; standart sapma dersinde nasıl hesaplandığını görmüştün, burada bir bölme işleminin payı oluyor. Her ekipte on altı kişi var ve on altının karekökü 4. Standart sapma 12 olduğuna göre standart hata 12 ÷ 4 = 3.

Bu bölme iki çubuğun uzunluğunu birbirine bağlıyor. Standart sapma çubuğu her zaman standart hata çubuğunun tam kök n katı; on altı ölçümde bu kat 12 ÷ 3 = 4. Çubuğun iki kolu birlikte düşünülünce fark daha da görünür oluyor: standart sapma çubuğu uçtan uca 2 × 12 = 24 birim, standart hata çubuğu 2 × 3 = 6 birim uzunluğunda. Sayı değişmedi, tercih değişti.

Örneklem büyüdükçe bu makas da açılıyor. Aynı standart sapmayla kırk dört kişi ölçülseydi kök n yaklaşık 6,63 olurdu ve standart sapma çubuğu standart hata çubuğunun altı buçuk katını geçerdi. Altmış dört kişide kök n 8, standart hata 12 ÷ 8 = 1,5; ekip dört katına çıkınca standart hata çubuğu yarıya iniyor, standart sapma çubuğu ise yerinden kıpırdamıyor.

Güven aralığının içindeki ikinci karar

Üçüncü çubuk türü, güven aralığı, kendi içinde ikinci bir gizli karar taşıyor: hangi güven düzeyi? Aynı standart hatadan, yani 3'ten, üç yaygın güven düzeyi üç farklı çarpan ve üç farklı çubuk veriyor. Çarpanlar standart normal dağılımın kritik değerleri; yarı uzunluk, çarpanla standart hatanın çarpımı.

Dr. Aydan'ın menüsündeki ikinci seçenek buydu: 1,96 × 3 = 5,88, yuvarlanınca ± 5,9. Yüzde 99'luk çubuk ise 2,576 × 3 ≈ 7,7 ve yüzde 90'lık çubuğa oranı 2,576 ÷ 1,645 ≈ 1,57; aynı on altı ölçüm, aynı ortalama ve aynı standart hatadan, yaklaşık yüzde 57 daha uzun bir çubuk çıkıyor. "Güven aralığı çizildi" cümlesi tek başına hangi çubuğun çizildiğini söylemiyor.

Bu tablodaki çarpanlar örneklem büyük olduğunda geçerli bir yaklaşıklama ve burada bu yüzden yaklaşıklama olarak işaretli. On altı gibi küçük bir örneklemde kesin hesap, t dağılımı dersinde (L02-P02-M02-D06) tanıdığın dağılımdan gelen kritik değeri kullanıyor ve bu değer biraz daha büyük çıkıyor. On beş serbestlik derecesinde yüzde 95 için çarpan 2,131, yani yarı uzunluk 2,131 × 3 ≈ 6,4; tablodaki 5,9'dan yarım birim kadar uzun.

İki ekip, üç okuma

Şimdi çubukları iki sütuna birden koy. Standart hata çubuğuyla İzlem A 97 ile 103, İzlem B 103 ile 109 arasına uzanıyor; iki çubuk tam 103'te birbirine değiyor ve grafik iki ekibi "ayrı" gösteriyor. Standart sapma çubuğuyla İzlem A 88 ile 112, İzlem B 94 ile 118 arasına uzanıyor. İki çubuğun ortak bölgesi 94 ile 112 arası, yani 112 − 94 = 18 birim, ve grafik iki ekibi "büyük ölçüde iç içe" gösteriyor.

Yüzde 95 güven aralığı ikisinin arasında bir yerde duruyor: İzlem A 94,1 ile 105,9, İzlem B 100,1 ile 111,9 arasında ve iki çubuk yaklaşık altı birim örtüşüyor. Aynı iki ortalama, aynı standart sapma, aynı on altışar kişi; üç ayrı izlenim. Dr. Aydan'ın raporunu okuyacak müdür, hangi çubuğun çizildiğini bilmeden hangi izlenimi alacağını seçemiyor.

Çubuğun iş gördüğü yer

Bu modülün önceki çizimleri tek başına duruyordu: bir tablo, bir histogram, bir ısı haritası, kendi başına bir gösterim. Hata çubuğu öyle değil; her zaman başka bir grafiğin üstüne biniyor, bir sütunun tepesine, bir çizginin üzerindeki noktalara ya da bir saçılımdaki grup ortalamalarına. Bunun getirdiği gerçek bir kazanç var.

Tek bir işaret iki şeyi birden taşıyor: merkezi ve o merkezin ne kadar güvenilir ya da ne kadar yayılmış olduğunu. Hiçbir nokta ya da sütun tek başına bunu yapamıyor; Dr. Aydan'ın iki sütunu çubuksuz çizilseydi, 100 ile 106 arasındaki farkın on altı kişilik bir ekipte ne anlama geldiğine dair hiçbir ipucu kalmazdı. Kazanç, çarpan yazılmadıkça güvenilmez hâle geliyor ama kazancın kendisi çarpan seçiminden bağımsız duruyor.

Klinik gerçeklik

Bir hata çubuğu gördüğünde üç şeyi arıyorsun ve üçü de çubuğun kendisinde değil, grafiğin başlığında ya da dipnotunda yazılı olmalı. İlki çubuğun hangi ölçüyü gösterdiği: standart sapma mı, standart hata mı, güven aralığı mı? İkincisi örneklem büyüklüğü, çünkü standart hata ve güven aralığı çubuklarını n bilinmeden yorumlamak mümkün değil. Üçüncüsü, çubuk bir güven aralığıysa güven düzeyi; yüzde 90, 95 ve 99 aynı veriden üç farklı uzunluk üretiyor.

Bu üçü bir çubuğu tek başına okumana yetiyor, ama iki ayrı kaynaktan gelen iki çubuğu yan yana koymana yetmiyor. Biri standart sapma öteki güven aralığı çiziyorsa uzunlukları karşılaştırılamaz; karşılaştırma ancak iki çubuk aynı ölçüyü, aynı n'i ve gerekiyorsa aynı güven düzeyini paylaşıyorsa anlamlı. Dr. Aydan bu yüzden grafiğin altına "Çubuklar: yüzde 95 güven aralığı, her ekipte n = 16" yazıyor ve standart sapmayı ayrı bir satırda sayı olarak veriyor.

Kendini sına

1. On altı ölçümde standart sapma 12 iken standart hata neden 3 çıkıyor? Bölme işlemini yaz.
2. Standart sapma çubuğu standart hata çubuğunun kaç katı? Bu kat örneklem kırk dört olsaydı ne olurdu?
3. Yüzde 90 ve yüzde 99 güven aralığı çubukları aynı standart hatadan çıkıyor. Hangi sayı ikisini birbirinden ayırıyor?
4. "Çubuk çarpanı" terimini üç çubuk türü için de bir sayıyla doldur.
5. Örneklem büyüklüğü dört katına çıkarsa hangi çubuk türleri küçülür, hangisi değişmez? Neden?
6. İzlem A ile İzlem B standart hata çubuğuyla "ayrı", standart sapma çubuğuyla "iç içe" görünüyor. Her iki okumanın sınırlarını yaz.
7. Hata çubuğunun bu modüldeki diğer çizimlerden farklı bir özelliği var. Nedir ve bu özellik gücünü nereden alıyor?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste noktanın yeri sabit kaldı, çubuğun boyu ise hangi çarpanın seçildiğine göre dörde katlanabildi. Dr. Aydan'ın iki sütununda henüz sorulmamış bir karar daha var: sütunların dayandığı dikey eksenin nereden başladığı. Birçok çizim ekseni sıfırdan değil, en küçük değerin biraz altından başlatır ve o zaman iki sütunun ekrandaki yükseklik oranı, iki ortalamanın gerçek oranından ayrılıyor. Sıradaki derste tabanın bu oranı ne kadar büyüttüğünü tek bir bölme işlemiyle hesaplayacak, sonra sıfır tabanın da kendi bedeli olduğunu göreceksin.