Çizgi Grafiği

Açılış sahnesi

Bir seramik atölyesinde, üç haftalık ölçüm döneminin son günü, iş güvenliği uzmanı Seda dizüstü bilgisayarını tezgâhın ucuna açıp Lütfi Usta'ya tek bir grafik gösteriyor. Grafik, çamur hazırlama tezgâhının yanında havadaki ince tozun dört ölçümünü taşıyor: sıfırıncı, yedinci, on dördüncü ve yirmi birinci günde, her seferinde öğleden sonra ikide, el tipi bir cihazla alınmış. Değerler sırasıyla 10, 12, 11 ve 13; birim, bir metreküp havadaki tozun mikrogram cinsinden ağırlığı. Dört nokta birleştirilmiş ve ortaya çıkan çizgi hafifçe yükseliyor: küçük bir iniş var ama genel gidiş yukarı doğru.

Lütfi Usta grafiğe bakıp kendi cümlesini kuruyor: "Üç hafta boyunca toz 10 ile 13 arasında kalmış, dalgalanma dar." Seda da cümleyi raporuna geçirmeye hazırlanıyor. O sırada usta rafın üstündeki küçük kutuyu gösteriyor: atölyenin kendi aldığı sabit bir sensör, üç haftadır her gün aynı saatte bir ölçüm kaydediyor. Bu ikinci kayıt dersin ortasında açılacak; o zamana kadar ustanın cümlesini aklında tut.

Bu derste ne olacak

Bu derste ardışık ölçümleri bir doğru parçasıyla birleştiren çizimi okuyacaksın. Önce dört ölçümün kaç an için değer bildirdiğini sayacaksın. Sonra ikinci kaydı açıp çizginin tek bir ara andaki sapmasını grafiğin bütün aralığıyla karşılaştıracaksın. Ardından çizginin nerede haklı olduğunu ve ölçümler arasındaki süreyi sorgulayan sorunun neden kendi cevabını bozabildiğini göreceksin.

Çizgi neyi iddia ediyor

Dört ölçüm dört an hakkında bilgi veriyor, çizgi ise dört andan çok daha fazlası hakkında. Yedinci ve on dördüncü gün arasında kalan her an için çizginin üzerinde okunabilir bir değer var: dokuzuncu günün öğlesinde bir yere denk geliyor, onuncu günün sabahında başka bir yere. O değerlerin hiçbiri ölçülmedi. Seda'nın cihazı atölyede yalnız dört öğleden sonra açıldı.

Bu iddianın büyüklüğünü saymak kolay. Pencere yirmi bir gün ve saat saat okunduğunda 21 × 24 = 504 saat ediyor; çizgi bu saatlerin her biri için bir değer veriyor. Ölçülmüş an sayısı ise dört, yani çizgide okunabilen saatlik değerlerin 4 ÷ 504 ≈ 0,008'i, binde sekize yakını bir ölçüme dayanıyor. Geri kalanı çizimden geliyor: iki noktayı birleştirmenin en kısa yolu bir değer gibi okunuyor.

İkinci kayıt

Lütfi Usta sensörün kaydını bilgisayara aktarıyor: aynı tezgâh, aynı üç hafta, aynı saat, ama bu kez her gün bir ölçüm, sıfırıncı günden yirmi birinci güne yirmi iki değer. Seda'nın dört günü sensörle bire bir örtüşüyor; o günlerde iki cihaz da 10, 12, 11 ve 13 okumuş, yani ilk kayıtta bir ölçüm hatası yok. Sıfırıncı günden sonra değer hızla yükseliyor, üçüncü ve dördüncü günde 20'ye ulaşıyor, sonra düşüp yedinci günde 12'ye iniyor. Usta nedenini hemen hatırlıyor: o iki gün büyük bir sipariş için kurumuş parçalar kuru zımparayla düzeltilmişti.

Şimdi açılıştaki grafiğe dön ve çizginin üç buçuğuncu gün için ne dediğini oku. Doğru parçası yedi günde 10'dan 12'ye çıkıyor; çizgi orada 10 + (12 − 10) × 3,5 ÷ 7 = 11 veriyor. Sensörün kaydında o iki günün değeri 20. Fark 20 − 11 = 9, oysa grafiğin baştan sona gösterdiği bütün aralık en düşük 10 ile en yüksek 13 arasında, yani 13 − 10 = 3. Çizginin tek bir ara andaki sapması, grafiğin kapsadığı aralığın 9 ÷ 3 = 3 katı.

Yirmi iki günlük kaydın tamamına bakınca tablo daha da açılıyor. Sensörün gördüğü en düşük değer on sekizinci günde 9, en yüksek değer 20; tam kaydın aralığı 20 − 9 = 11. Dört ölçümün gösterdiği aralık bunun 3 ÷ 11 ≈ 0,27'si, yani dörtte birinden biraz fazlası. Ustanın «dalgalanma dar» cümlesi yanlıştı ve onu yanlış yapan şey ölçümlerde değil, ölçümlerin arasında duruyordu.

Sapmanın yönü de tesadüf değil. Dört ölçüm, yirmi iki günlük kaydın içinden seçilmiş dört an; seçilen anların en büyüğü bütünün en büyüğünü aşamıyor, en küçüğü de bütünün en küçüğünün altına inemiyor. Seyrek ölçümün gösterdiği aralık, tam kaydın aralığına eşit ya da ondan dar olmak zorunda. Hata iki yöne rastgele dağılmıyor, hep aynı yöne, sakinlik yönüne düşüyor.

Süreklilik neyi veriyor

Burada kolay bir savunma var ve neden yetmediğini görmek gerekiyor. Havadaki toz yoğunluğu sürekli bir büyüklük; sürekli veriyi kesikli ve sürekli veri dersinde (L02-P03-M01-D04) iki değer arasında sonsuz sayıda ara değer alabilen, ölçülen sayısal veri olarak tanımlamıştın. Ölçülen şey sürekliyse iki ölçüm arasında gerçekten bir değerler dizisi var. Bu doğru ve çizginin var olmayan bir şeyi uydurmadığı anlamına geliyor.

Ama süreklilik ara değerlerin varlığını veriyor, çizginin adlandırdığı belirli ara değerleri vermiyor. Atölyenin havası üç buçuğuncu günde bir değer taşıyordu; o değerin 11 olduğunu söyleyen şey süreklilik değil, doğru parçası. Gerçek değer 20 çıktı ve süreklilik iki sayıya da aynı ölçüde izin veriyordu.

Sürekliliğin hiç bulunmadığı bir durum da var. Yatay eksende zaman değil sıralanamayan kategoriler duruyorsa, örneğin atölyenin dört tezgâhı çamur hazırlama, çark, sırlama ve fırın olarak dizilmişse, nominal ölçek dersinde gördüğün gibi bu kategoriler arasında doğal bir sıra yok. İki tezgâh arasında bir "ara tezgâh" yok ve onları bağlayan çizgi hiçbir şeye karşılık gelmiyor. Orada çizgi yanlış bir değer bildirmiyor; bildirecek bir yer olmadığı hâlde bildiriyor.

Çizginin iş gördüğü yerler

Bunların hiçbiri çizgi grafiğini kötü bir çizim yapmıyor ve bu bölüm olmadan ders eksik kalır. Ölçüm aralığı büyüklüğün değişme hızına göre kısa olduğunda ara değerler gerçek yola yakın düşüyor ve çizgi okumayı kolaylaştırıyor. Göz ardışık noktaları zaten kendiliğinden bağlamaya çalışıyor; aralık kısaysa çizgi o işi doğru yapıyor.

Atölyenin sayıları bu oranı somutlaştırıyor. Zımpara yükselişi yaklaşık iki gün sürdü, Seda'nın ölçüm aralığı ise yedi gün; aralık olayın 7 ÷ 2 = 3,5 katı uzunlukta. Ölçüm günü yükselişin zamanından bağımsız seçildiyse, haftada bir alınan tek ölçümün iki günlük bir yükselişe denk gelme şansı 2 ÷ 7 ≈ 0,29, yani üçte birin biraz altında. Sensörün aralığı bir gün olduğunda aynı yükseliş en az iki ölçüme düşüyor ve çizgiden kaçamıyor.

Birikimli büyüklüklerde daha güçlü bir şey de doğru. Tezgâhta çalışan birinin ilk günden beri soluduğu toplam toz yalnız artabilen bir büyüklük; iki ölçüm arasında düşmesi mümkün olmadığı için çizginin yönü hakkında yanılma payı yok. Birkaç izlemi aynı eksende göstermekte de çizgi iş görüyor: dört tezgâhın sensörleri dört çizgiyle verilince göz her eğriyi izleyebiliyor, oysa noktalar hâlinde hangi noktanın hangi tezgâha ait olduğu kaybolurdu.

Aralığın düzenli olmadığı bir durum da var. Planlanan bir ölçüm alınamadığında, örneğin Seda on dördüncü gün atölyeye gelemeseydi, çizgi yedinci günden yirmi birinci güne tek bir parçayla geçerdi ve ekranda bir kesinti, bir kopukluk, bir işaret olmazdı. Grafikteki en uzun ve en güvenilmez ara, öteki aralardan hiçbir biçimde ayrılmazdı. Eksik veri türleri dersinde (L02-P03-M01-D06) konuştuğun eksik değer burada bir boşluk olarak değil, düz bir çizgi parçası olarak görünüyor.

Ölçüt ve ölçütün döngüsü

Buradan okurun soracağı bir soru çıkıyor: kaç ölçüm var ve aralarındaki süre büyüklüğün değişme hızına göre kısa mı? Sorunun ilk yarısı somut bir şeyi eliyor. Açılıştaki grafik dört ölçümden çizilmişti ve bu ancak işaretler çizildiyse görülebiliyor; işaretsiz bir çizgide dört ölçüm ile kırk ölçüm aynı görünüyor. Soruyu sormak bu farkı görünür kılıyor.

İkinci yarısı ise bir döngüye giriyor. Okurdan ölçüm aralığını büyüklüğün değişme hızına göre değerlendirmesi isteniyor, ama okur o hızı nereden bilecek? Çoğu zaman tek kaynağı elindeki grafik ve grafik düz bir çizgi gösteriyor. Seda'nın durumu tam buydu: dört değer birbirine yakın çıktığı için tozun yavaş değiştiğini düşündü, yavaş değiştiğini düşündüğü için de haftada bir ölçümü yeterli saydı.

Döngü şurada kapanıyor: seyrek ölçüm bir büyüklüğü olduğundan sakin gösteriyor, sakin görünen büyüklük de seyrek ölçümü yeterli gösteriyor. Ölçüt, cevabını kendi sorusunun bozduğu kaynaktan alıyor. Döngüyü kıran şey grafiğin içinde değildi: rafta duran bir sensör ve ustanın zımpara günlerini hatırlamasıydı.

Klinik gerçeklik

Bir çizgi grafiğiyle karşılaştığında üç şeye bakıyorsun ve üçü birbirine bağlı. İlki ölçüm noktalarının işaretli olup olmadığı; işaretsizse kaç ölçümden çizildiğini bilmiyorsun ve çizginin tamamını ölçülmüş sanma riski en yüksek burada. İkincisi ölçüm aralığı, çünkü aralık yazılmadıkça ara değerlerin ne kadar güvenilir olduğu kestirilemiyor. Üçüncüsü ölçülen büyüklüğün bu aralıkta ne kadar değişebildiği ve bu sorunun cevabı grafikten değil, alandan geliyor.

Alan bilgisi gelmediğinde kurulacak tek dürüst cümle şu: bu grafik dört ölçümü gösteriyor, aralarında ne olduğunu göstermiyor. Seda raporunu bu yüzden değiştiriyor. Dört ölçümü ayrı işaretlerle çiziyor, ölçüm aralığını yedi gün olarak grafiğin altına yazıyor ve sensörün yirmi iki günlük kaydını aynı eksene ince bir çizgiyle ekliyor. «Dalgalanma dar» cümlesinin yerine şunu yazıyor: haftalık ölçümler 10 ile 13 arasında, günlük kayıt 9 ile 20 arasında; zımpara günleri haftalık ölçümlerin hiçbirine denk gelmedi.

Kendini sına

1. Dört ölçümlük bir çizgi kaç saat için değer bildiriyor? Ölçülmüş an sayısıyla karşılaştır.
2. Ustanın «dalgalanma dar» cümlesi neden yanlıştı ve yanlışlığı hangi iki sayının karşılaştırılmasıyla görünür oldu?
3. Süreklilik çizgiyi ne kadar haklı çıkarıyor, nerede duruyor?
4. Yatay eksende sıralanamayan kategoriler, örneğin dört tezgâh varsa, çizgi neyi bildiriyor?
5. Çizginin yönü hakkında yanılma payının olmadığı bir büyüklük türü var. Hangisi ve neden?
6. «Ölçüm aralığı yeterince kısa mı?» sorusu neden kendi cevabını bozuyor? Döngüyü Seda'nın haftalık ölçümleriyle anlat.
7. İşaretsiz çizilmiş bir çizgi grafiğinde kuramayacağın cümle hangisi?

Bir sonraki derse köprü

Bu modüldeki bütün çizimler sayıyı bir konuma çevirdi: tabloda hücrenin yeri, histogramda sütunun yüksekliği, kutu grafiğinde kenarın yeri, saçılımda noktanın koordinatı, burada çizginin yüksekliği. Bir yükseklik, eksendeki sayılar sayesinde kendi başına okunabiliyor. Sıradaki çizim sayıyı konuma değil renge çeviriyor: bir izlemin görüşmelerinde kaydedilmiş değerler yan yana hücrelere dizilecek ve her hücre değerine göre bir ton alacak.

Ama bir ton, bir yükseklik gibi kendi başına okunmuyor. En açık ve en koyu tonun hangi iki sayıya bağlanacağı veriden gelmiyor, çizimi yapan kişi ya da yazılımın varsayılanı seçiyor. Orada aynı sekiz değerin iki ayrı seçimle boyandığında bir kez durağan, bir kez keskin dalgalı okunabildiğini göreceksin. Bu derste sakin görüntüyü ölçümlerin seyrekliği üretti; sıradaki derste, hiçbir ölçüm değişmeden, renk skalasının iki ucunun nereye konduğu üretecek.