Saçılım Grafiği

Açılış sahnesi

Bir büyükşehir itfaiye daire başkanlığında, yıllık periyodik muayenelerin bittiği hafta, iş yeri hekimi Recep müdürlere yapacağı sunumun tek grafiğine bakıyor. Grafik kırk itfaiyecinin iki ölçümünü yan yana koyuyor: yatay eksende bel çevresi santimetre olarak, dikey eksende dinlenik nabız dakikadaki atım sayısı olarak. Her itfaiyeci bir işaret ve Recep sunumdan önce işaretleri kalemle tek tek sayıyor. Otuz ikide duruyor, bir kez daha sayıyor ve yine otuz iki buluyor.

Kayıtta kırk kişi var; muayene listesi, imza çizelgesi ve sağlık birimine giden dosya hepsi kırk diyor. Grafik de hatalı çizilmemiş: her itfaiyeci kendi iki değerinin kesiştiği yere konmuş. Önceki üç çizim, yani tablo, histogram ve kutu grafiği, kaydın bir parçasını açıkça bırakıyordu; bu çizimde işaretler doğrudan ölçüm değerlerinin üstünde duruyor ve arada hiçbir işlem yok. Recep'in sorusu basit: sekiz itfaiyeci nereye gitti?

Bu derste ne olacak

Bu derste her gözlemin iki ölçümünü tek bir işaretle gösteren çizimi okuyacaksın. Önce kırk kişilik kayıttan neden otuz iki işaret çıktığını adım adım sayacaksın. Sonra bu kaybın önceki çizimlerin kaybından neden daha sessiz olduğunu göreceksin. Ardından aynı kaybın iki bölgenin kalabalık sıralamasını nasıl tersine çevirdiğini hesaplayacak ve bunu fark etmeni sağlayan sorunun nerede yetersiz kaldığını sınayacaksın.

Kırk gözlem, otuz iki işaret

Recep muayene formlarını açınca kaydın üç bölgeye ayrıldığını görüyor. Grafiğin sol alt köşesinde dördüncü istasyonun on iki itfaiyecisi var. O istasyonda ölçümleri, muayene gününe yetişemeyen sağlık ekibinin yerine ilk yardım eğitimi almış vardiya amiri İlhan yapmış. İlhan nabzı on beş saniye sayıp dörtle çarpmış, bel çevresini de mezurada en yakın beşe yuvarlamış. On beş saniyede 15 atım sayan birinin nabzı 15 × 4 = 60, 16 atım sayanınki 16 × 4 = 64 olarak yazılıyor; arada 61, 62 ya da 63 yazılabilecek bir yol yok.

Bu iki yuvarlama on iki kişiyi dört koordinata sıkıştırıyor: (80, 60), (80, 64), (85, 60) ve (85, 64), her birinde üçer itfaiyeci. On iki kişi dört olası noktaya dağılınca bir noktaya ortalama 12 ÷ 4 = 3 kişi düşüyor ve her işaretin altında iki kişi görünmez kalıyor. Grafiğin ortasında sekiz itfaiyeci var ve her biri ayrı bir koordinatta, çünkü onları sağlık ekibi dijital cihazla ölçmüş: (86, 66), (87, 63), (88, 67), (89, 65), (90, 62), (91, 68), (92, 66) ve (93, 69). Sağda kalan yirmi itfaiyeci de bel çevresi 95 ile 112 arasında, her biri ayrı bir koordinatta.

Şimdi işaretleri say. Sol bölge dört, orta bölge sekiz, sağ bölge yirmi işaret bırakıyor; 4 + 8 + 20 = 32. Kayıt ile çizim arasındaki fark 40 − 32 = 8 ve sekizin sekizi de sol bölgede, üçlü koordinatların her birinde ikişer kişi olarak duruyor. Bu sekiz itfaiyeci kayıttan çıkarılmadı, bir kural tarafından elenmedi; başka itfaiyecilerin işaretinin altında duruyorlar.

Kaybın sessizliği

Sekiz itfaiyecinin nerede toplandığının nedenini mod dersinde görmüştün: elle okunan ve yazılan ölçümler yuvarlak basamaklara yığılıyor. Burada yığılma iki eksende birden oluyor. Nabız yalnız dördün katlarına, bel çevresi yalnız beşin katlarına düşebildiğinde, aynı çifti taşıyan kişi sayısı hızla artıyor ve işaretler üst üste biniyor.

Önceki iki çizim de kaybını tümüyle ilan etmiyordu, ama indirgemenin türünü söylüyordu. Kutu grafiği dersinde kutunun içindeki boşluğun görünmediğini ölçmüştün; yine de ekranda beş işaret vardı ve okur beş sayıya baktığını biliyordu. Histogramda da aralık sınırları eksende duruyordu; hangi gözlemin hangi sütunda toplandığı görünmese bile toplandıkları görünüyordu. Saçılım grafiğinde bu da yok: çizim kendini indirgenmemiş olarak sunuyor, kaç gözlem gösterdiğini söylemiyor ve okura bir indirgeme olduğunu düşündürecek hiçbir iz bırakmıyor.

Bir buçuk kat, yarım görüntü

Asıl sonuç sayımda değil yoğunlukta. Sol bölgede on iki itfaiyeci, orta bölgede sekiz itfaiyeci var; 12 ÷ 8 = 1,5, yani solda ortadakinin bir buçuk katı kadar kişi ölçülmüş. Ekranda ise solda dört, ortada sekiz işaret var; 4 ÷ 8 = 0,5, yani sol bölge ortadakinin yarısı kadar kalabalık görünüyor. Gözlem sayısında sol bölge önde, görüntüde orta bölge önde; çakışma yalnız sayımı eksiltmiyor, iki bölgenin sıralamasını tersine çeviriyor.

Recep'in sunumunda bu tersine dönmenin bir bedeli var. Müdürler grafiğe bakıp "dördüncü istasyonda az kişi ölçülmüş, sonuçları önemsiz" diye okuyabilir, oysa orada ortadaki bölgenin bir buçuk katı kişi var. Çakışmanın çareleri var ve hepsi birer çizim kararı: işaretleri saydamlaştırmak, üst üste binenleri birbirinden azıcık ayırmak ya da işaretin büyüklüğünü taşıdığı gözlem sayısıyla orantılamak. Üçü de kaybı görünür kılıyor, hiçbiri kendiliğinden uygulanmıyor ve uygulandığında grafikte bunu söyleyen bir etiket yoksa okur yine hangi çizimi gördüğünü bilmiyor.

Eksikliği nasıl fark edersin

Bir saçılım grafiği için tek bir soru bu kaybı açığa çıkarıyor: grafikte sayabildiğin işaret sayısı, bildirilen gözlem sayısına eşit mi? Recep'in kalemle yaptığı iş tam bu ve elediği şey somut. Otuz iki işaret sayılıyor, kayıt kırk kişilik; iki sayı ayrıldığı anda çakışma olduğu kesinleşiyor ve "her işaret bir itfaiyeci" okuması düşüyor.

Ama sorunun yakalayamadığı şey daha ağır ve tam da alarm verdikten sonra başlıyor. Soru sekiz gözlemin gizlendiğini söylüyor, nerede gizlendiğini söylemiyor. Alarmı duyan okurun en doğal varsayımı kaybın grafiğe aşağı yukarı eşit dağıldığı olur ve bu varsayım yanlış olduğu kadar rahatlatıcı: sekizin sekizi de sol köşede. Eşit dağılım varsayımıyla sol bölge yine seyrek görünmeye devam ediyor, yani sorunun ortaya çıkardığı bilgi okur onu yorumlarken geri kayboluyor. Recep'in bunu çözmesi için formlara dönmesi, yani grafiğin dışına çıkması gerekti.

Bu grafiğe bakan herkesin aklına gelen ilk soru ise başka: bel çevresi arttıkça nabız da artıyor mu? Gözle görülen bir eğilim ile ölçülen bir birliktelik aynı şey değil ve birlikte değişimin ne anlama geldiğini, neden nedensellik anlamına gelmediğini birlikte değişim dersinde (L01-P03-M01-D01) görmüştün. Birlikteliği bir sayıyla ölçmek bu modülün işi değil. Burada kurulan şey ondan önce geliyor: o soruyu sormadan önce ekrandaki işaretlerin kaç kişiyi temsil ettiğini bilmek zorundasın, çünkü dört kişilik görünen bir köşe on iki kişilik olabiliyor.

Klinik gerçeklik

Bir saçılım grafiğiyle karşılaştığında iki sayı arıyorsun ve ikisi de çoğu zaman grafiğin içinde değil. Birincisi gözlem sayısı. Yazılmadıkça ekrandaki işaretleri sayarak bulduğun şey bir alt sınır; kaydın en az o kadar kişiden oluştuğunu biliyorsun, daha fazlası olup olmadığını bilmiyorsun. İkincisi ölçümlerin hangi incelikte kaydedildiği, çünkü kaba yuvarlanmış iki ölçüm aynı çifte düşme olasılığını büyütüyor ve daha ince kaydedilmiş ölçümlerde çakışma pratikte ortadan kalkıyor.

İkisi de yazılıysa grafikteki yoğunluğu okuyabilirsin. Yalnız biri yazılıysa kaç kişiye baktığını bilirsin ama nerede yığıldıklarını bilmezsin; hiçbiri yazılı değilse elinde bir biçim var ve o biçimin kaç kişiden çıktığı bilinmiyor. Recep sunumunu bu yüzden değiştiriyor: grafiğin altına "n = 40; dördüncü istasyonun ölçümleri elle, nabız dördün katlarına, bel çevresi beşin katlarına yuvarlanmış" satırını ekliyor ve üst üste binen işaretleri taşıdıkları kişi sayısıyla orantılı büyütüyor. Aynı notu gelecek yılın muayene talimatına da yazıyor: nabız bir dakika boyunca sayılacak, bel çevresi santimetresiyle kaydedilecek.

Kendini sına

1. Kırk kişilik kayıt neden otuz iki işaret üretiyor? Farkı üreten gözlemleri adlandır ve işaret sayısını hesapla.
2. İlhan'ın nabzı on beş saniye sayıp dörtle çarpması hangi değerlerin yazılmasını olanaksız kılıyor?
3. Saçılım grafiğinin kaybı, histogram ve kutu grafiğinin kaybından hangi bakımdan farklı?
4. Sol bölgede ortadakinden daha çok kişi var ama daha seyrek görünüyor. Bunu iki oranla göster.
5. Çakışmanın kaynağı grafiğin kendisi mi, kaydın bir özelliği mi?
6. "İşaret sayısı gözlem sayısına eşit mi?" sorusu alarmı verdikten sonra hangi varsayım okuru yeniden yanıltıyor?
7. Bir saçılım grafiğinde çakışmanın hiç olmadığını hangi bilgi güvence altına alır?

Bir sonraki derse köprü

Bu grafikte işaretler birbirine bağlanmadı; her itfaiyeci kendi koordinatında durdu ve aralarındaki boşluk boş kaldı, çünkü o boşlukta ölçüm yok. Sıradaki çizim aynı ölçümü zaman içinde birkaç kez alıyor ve ardışık işaretleri bir doğru parçasıyla birleştiriyor. O çizginin üzerindeki her nokta bir değer gibi okunuyor, oysa iki ölçüm arasında ne olduğu ölçülmedi. Orada bir çizginin ölçülmemiş anlar için ne iddia ettiğini, ölçümler arasındaki sürenin bu iddiayı nasıl güçlendirip zayıflattığını ve aynı sürecin ikinci bir kaydı geldiğinde ilk okumanın neden sarsılabildiğini sınayacaksın.