Kutu Grafiği

Açılış sahnesi

Bir büyükşehir belediyesinin yaşlı dayanışma merkezinde, ocak başında, fizyoterapist Şahin yıllık faaliyet raporunun taslağını okuyor. Merkezde yetmiş yaş üstü üyeler için iki denge ve yürüme grubu var, biri salı sabahları, öteki perşembe sabahları çalışıyor ve her birinde on iki üye var. Raporun tek grafiği, iki grubun Süreli Kalk ve Yürü testi sonuçlarını, yani sandalyeden kalkıp üç metre yürüyen, dönüp yeniden oturan bir kişinin bunu kaç saniyede yaptığını iki kutu grafiğiyle gösteriyor. İki kutu birbirinin kopyası: en kısa süre 10, birinci çeyrek 15, medyan 21, üçüncü çeyrek 27, en uzun süre 32 saniye.

Taslağı hazırlayan sosyal hizmet birimi grafiğin altına bir öneri yazmış: "İki grubun düzeyi aynı; gelecek yıl tek grupta birleştirilebilir." Şahin'in elinde yalnız bu çizim var, ham kayıt belediyenin veri sisteminde. Öneriyi kabul etmeden önce kendine bir soru soruyor ve bu dersin sorusu da o: beş işaretten on iki sayıya geri dönülebilir mi? Bu beş sayıyı hangi kayıtlar üretmiş olabilir?

Bu derste ne olacak

Bu derste çizimden kayda, yani ters yönde çalışacaksın. Önce çeyrekleri nasıl bulduğumuzu yazacak, sonra aynı beş sayıyı veren iki kayıt kuracaksın. Ardından iki kayıt arasındaki farkı histogramla ölçüp kutunun nerede sustuğunu göreceksin. Son bölümde bıyıkların nereye çizileceğine karar veren kuralın, grafikte bir noktanın var olup olmamasını nasıl belirlediğini sınayacaksın.

Beş sayı, iki kayıt

Çeyrekleri bu modülde hep kullandığımız "yarıların medyanı" yoluyla buluyoruz, aykırı değer dersindeki eşikleri kurarken yaptığımız gibi. Önce kayıt sıraya dizilip medyanla iki yarıya ayrılıyor; birinci çeyrek alt yarının, üçüncü çeyrek üst yarının medyanı. On iki gözlemde medyan altıncı ile yedinci gözlemin ortası ve iki yarının her biri altışar gözlem taşıyor, dolayısıyla tek sayıdaki kayıtlarda çıkan "medyan yarılara katılır mı?" sorusu burada doğmuyor.

Şahin'in ilk adayı salı grubu için akla gelen en düzgün kayıt: 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32. Medyan (20 + 22) ÷ 2 = 21. Alt yarı 10'dan 20'ye ve ortası (14 + 16) ÷ 2 = 15; üst yarı 22'den 32'ye ve ortası (26 + 28) ÷ 2 = 27. Uçlar 10 ve 32. Beş işaretin beşi de tutuyor.

İkinci aday bambaşka bir grup anlatıyor: 10, 11, 14, 16, 16, 17, 25, 26, 26, 28, 31, 32. Burada altı üye 17 saniyenin altında, altı üye 25 saniyenin üstünde; baston kullanan ve dönüşte duraksayan üyelerle rahat yürüyenler ayrı iki öbek oluşturuyor. Medyan (17 + 25) ÷ 2 = 21. Alt yarı 10, 11, 14, 16, 16, 17 ve ortası (14 + 16) ÷ 2 = 15; üst yarı 25, 26, 26, 28, 31, 32 ve ortası (26 + 28) ÷ 2 = 27. Uçlar yine 10 ve 32 ve beş sayı birebir aynı.

İki kayıt aynı kutuyu üretiyor ama birbirine benzemiyor. Birincide süreler baştan sona ikişer saniye arayla ilerliyor. İkincide 17 ile 25 arasındaki sekiz saniyelik bantta tek bir üye yok. Şahin veri sisteminden gerçek kayıtları istediğinde salı grubunun birinci adaya, perşembe grubunun ikinci adaya benzediğini görüyor; sosyal hizmet biriminin "aynı düzey" cümlesi kutular için doğru, gruplar için yanlış.

Seçim kalktı, belirsizlik yön değiştirdi

Histogram dersinde aynı yirmi sayı üç farklı biçim üretiyordu, çünkü aralık genişliğini ve başlangıcını çizen kişi seçiyordu: tek kayıt, çok çizim. Kutu grafiğinde o seçim yok. Beş konum kaydın kendi sıralamasından çıkıyor ve aynı kayıttan herkes aynı kutuyu çiziyor. Ama belirsizlik ortadan kalkmadı, yön değiştirdi: şimdi tek bir çizim birçok kayıttan gelebiliyor.

Kaybın ölçüsü

Gizlenen farkın büyüklüğü ölçülebilir, çünkü bir önceki dersin aracı elimizde. İki grubu beşer saniyelik aralıklarla, alt sınırı içeri sayarak dağıt.

Ortadaki satır farkı tek başına taşıyor: salı grubunda o bantta üç üye var, perşembe grubunda hiç yok. Histogram bu boşluğu gösteriyor, kutu grafiği göstermiyor, üstelik boşluk tam kutunun içinde duruyor. Kutu 15'ten 27'ye 27 − 15 = 12 saniyelik bir genişlik kaplıyor ve perşembe grubunda bunun 17 ile 25 arasındaki 8 saniyesi boş, yani 8 ÷ 12 ≈ 0,67. Kutunun üçte ikisi, çizimin en kalın ve en dolu görünen yeri, perşembe grubunda hiçbir üyeye karşılık gelmiyor.

İki kayıtta da kutunun içinde altışar üye var: salıda 16, 18, 20, 22, 24 ve 26, perşembede 16, 16, 17, 25, 26 ve 26; 6 ÷ 12 = 0,5, yani tanım gereği her kaydın yarısı. Kutu bunu doğru söylüyor. Söylemediği, o yarının içeride nasıl dağıldığı; düz boyanmış bir alan "burada üyeler var" diye okunuyor, oysa kutu yalnız iki çeyreğin nerede durduğunu bildiriyor ve aradaki boşluğu dolduran şey veri değil boya.

Bıyıkların nereye gittiği

Kutu grafiğinde gömülü ikinci şey bir kayıp değil, bir karar. Salı grubundan bir üye kış başında evde düşmüş, hastanede birkaç gün yatmış ve teste döndüğünde 32 yerine 60 saniyede tamamlamış. Kayıt 10, 12, …, 30, 60 oluyor. Beşli özetin dördü değişmiyor: medyan 21, çeyrekler 15 ve 27, en kısa süre 10; üst yarı 22, 24, 26, 28, 30, 60 ve ortası yine (26 + 28) ÷ 2 = 27. Değişen yalnız en uzun süre.

Belediyenin grafik programı bu kaydı iki yerleşik biçimde çizebiliyor. Bıyıkları kaydın uçlarına uzatan çizimde 60 üst bıyığın ucu oluyor; grafikte ayrı bir işaret yok, yalnız uzun bir bıyık var. Bıyıkları çeyrekler arası aralığa dayandıran çizimde ise aralık 27 − 15 = 12 ve üst sınır 27 + 1,5 × 12 = 45; alt sınır 15 − 1,5 × 12 = −3, bu kayıtta hiçbir gözlemi ilgilendirmiyor. Üst bıyık sınırın içindeki en büyük değere, 30'a kadar uzanıyor ve 60 dışarıda ayrı bir nokta olarak çiziliyor.

Aynı on iki sayıdan birinci çizimde aykırı değer yok, ikincisinde bir tane var. İkinci kuralın sınırı, Aykırı Değer dersinde (L02-P03-M02-D08) kurulan çeyrek eşiğinin kendisi: üçüncü çeyrek artı aralığın bir buçuk katı. O derste bir gözlemi uzak saymanın hesapla değil kararla belirlendiğini ve bir buçuk çarpanının bir seçim olduğunu görmüştün. Burada eklenen şey o kararın görünürlüğü: kutu grafiği kararı uyguluyor ama uyguladığını söylemiyor, okur ekranda bir nokta görüp onu verinin bir özelliği sanıyor.

Şahin için 60 bir ölçüm hatası değil, düşmeden sonra toparlanmaya çalışan bir üyenin gerçek süresi. Birinci kuralla o üye uzun bir bıyığın ucunda eriyip gidiyor, ikinci kuralla ayrı bir nokta olarak göze çarpıyor. Raporun okurunun onu görüp görmeyeceği veriye değil kurala bağlı.

Seçimin kalkması neyi kazandırıyor

Bütün bu kayıp bir şey karşılığında alınıyor ve karşılığı küçük değil. İki histogramı karşılaştırmak için ikisinin aynı genişlik ve aynı başlangıçla çizilmiş olması gerekiyor, yoksa biçim farkının veriden mi çizimden mi geldiği bilinemiyor. Kutu grafiğinde bu sorun yok: beş konum kaydın sıralamasından çıktığı için yan yana konan on kutu aynı yöntemle üretilmiş oluyor ve aralarındaki fark yalnız veriden geliyor. Belediyenin on şubesindeki grupları tek eksende karşılaştırmak için kutu grafiği bu yüzden elverişli.

Kutu grafiği tek bir kaydı anlatmakta zayıf, çok sayıda kaydı yan yana koymakta güçlü. Seçimin kalkması bir bilgi kaybı ve aynı zamanda bir karşılaştırılabilirlik kazancı; ikisini ayırmanın yolu yok, çünkü kaybı üreten şeyle kazancı üreten şey aynı. Kazancın bir koşulu da var: yan yana konan kutuların bıyık kuralının da aynı olması gerekiyor, çünkü kutular kuraldan bağımsız ama noktalar değil.

Klinik gerçeklik

Bir kutu grafiğiyle karşılaştığında elinde üç şey var: kaydın iki ucu, ortadaki yarının nerede durduğu ve medyan. Elinde olmayan da üç şey var. Birincisi kutunun içindeki dağılım; perşembe grubunda kutunun üçte ikisi boştu. İkincisi gözlem sayısı; kutu grafiği kaç kişiden çizildiğini kendiliğinden söylemiyor ve beş kişilik bir kayıtla beş yüz kişilik bir kayıt aynı kutuyu verebiliyor. Üçüncüsü bıyık kuralı; yazılmadıkça noktaların ne anlama geldiği bilinmiyor.

Üçünü de soracak yer grafiğin başlığı ya da açıklaması. Şahin'in rapora eklediği satır bunu yapıyor: "Her grupta on iki üye; çeyrekler yarıların medyanıyla, bıyıklar üçüncü çeyrek artı aralığın bir buçuk katıyla; perşembe grubunun ham dağılımı iki öbekli, histogram ektedir." Bu satır birleştirme önerisini kendiliğinden düşürüyor, çünkü perşembe grubunda aynı egzersiz düzeyine uymayan iki ayrı üye topluluğu var.

Üç sorunun koruyamadığı bir yer de var ve kutu grafiğinin en güçlü olduğu yerde duruyor. Aynı yöntemle çizilmek yan yana iki kutuyu aynı ağırlıkta gösteriyor, oysa biri altı, öteki altı yüz gözlemden çıkmış olabilir. Üç soru tek tek kutuları denetliyor, aralarındaki kanıt eşitsizliğini denetlemiyor.

Kendini sına

1. Çeyrekleri "yarıların medyanı" yoluyla bulmak ne demek? On iki gözlemlik perşembe kaydında birinci ve üçüncü çeyreği adım adım hesapla.
2. Açılıştaki beş sayıdan kayda dönmek neden mümkün değil? Cevabını bir sayıyla değil, iki kayıtla göster.
3. Perşembe grubunun kutusunun ne kadarı boş? Oranı hesapla ve bu boşluğun histogramda hangi satırda göründüğünü söyle.
4. Kutunun içinde her iki grupta da altı üye var. Bu bilgi neden "kutu düzgün dolu" demek değil?
5. Salı kaydında 32 yerine 60 yazıldığında iki bıyık kuralı ne çiziyor? Üst sınırı hesapla.
6. Bir noktanın aykırı değer olduğunu söylemek için grafikte olmayan hangi bilgi gerekiyor?
7. Kutu grafiği hangi işte histogramdan güçlü? Gücünün kaynağı ile kaybının kaynağı neden aynı şey?

Bir sonraki derse köprü

Bu modülün ilk üç çizimi tek bir değişkeni gösterdi ve her biri kaydın bir parçasını bıraktı: tablo sayıları yerinde tuttu, histogram onları aralıklara, kutu grafiği beş konuma indirdi. Sıradaki çizim hiçbir özete başvurmuyor; her gözlem geri geliyor, ama bu kez her birinin iki ölçümü var ve işaret ikisinin kesiştiği yere konuyor. Orada iki ölçümün birlikte hareket edip etmediğini soracaksın ve bir tuzakla karşılaşacaksın: ekrandaki işaret sayısı ile kayıttaki gözlem sayısı aynı olmak zorunda değil. Aynı noktaya düşen gözlemlerin tek bir işaretin altında nasıl kaybolduğunu ve bunun görülen birlikteliği nasıl değiştirdiğini orada sınayacaksın.