Histogram

Açılış sahnesi

Bir eğitim hastanesinin iç hastalıkları servisinde, ay sonu kalite toplantısından önceki öğleden sonra, servis sorumlu hemşiresi Dilek ile eğitim hemşiresi Ayten aynı kaydın iki çizimine bakıyor. Kayıt, sabah vizitinde yatan yirmi hastanın dakikadaki solunum sayısı; hemşireler her hastanın göğüs hareketlerini bir dakika boyunca sayıp gözlem çizelgesine yazmış. Küçükten büyüğe dizilmiş hâli şöyle: 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 19, 20, 22, 23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 26 ve 27. Dilek bu sayıları tablolama programına girip kalite panosu için bir histogram çıkarmış, Ayten ise aynı sayılarla hizmet içi eğitim tahtasına elle bir histogram çizmiş.

Dilek'in çiziminde sütunlar soldan sağa alçalıyor ve altına "hastaların çoğu düşük sayılarda" yazmış. Ayten'in çiziminde sütunlar soldan sağa yükseliyor ve o da altına "hastaların çoğu yüksek sayılarda" yazmış. İki çizimde de yirmi hastanın yirmisi var, hiçbir sayı atılmadı, hiçbiri değiştirilmedi. Toplantıda panoya hangisinin asılacağına karar verilecek ve iki hemşire birbirinin hesabında hata arıyor. Hata yok; iki çizimi ayıran şey, sayılar sütunlara dağıtılmadan önce verilen iki karar.

Bu derste ne olacak

Bu derste bir kaydı aralıklara dağıtıp her aralığın sayımını bir yükseklikle göstereceksin. Önce yüksekliğin neyin sayımı olduğunu, sonra aralık genişliğinin ve ilk aralığın başlangıç noktasının biçimi nasıl belirlediğini, Dilek ile Ayten'in çizimlerini yeniden sayarak göreceksin. Ardından iki kontrol sorusunun sormadığı üçüncü bir kararı, sınıra tam oturan gözlemlerin hangi sütuna yazıldığını sınayacaksın. Son bölümde bir histogramdan ham kayda neden geri dönülemediğine bakacağız.

Yükseklik neyin sayımı

Tablo tasarımı dersinde altı sayının altısı da yerinde kalmıştı; değişen yalnız komşuluklarıydı. Histogram bunu yapmıyor. Sayıları alıp yerlerine bir yükseklik koyuyor ve o yükseklik tek bir gözlemin değil bir aralığın sayımı. Dilek'in programı genişliği 5 seçip ilk aralığı 15'ten başlatmış, her aralığın alt sınırını içeri, üst sınırını dışarı saymış.

Sayımları kendin doğrula. 15'ten 19'a kadar olan dokuz gözlem birinci sütuna, 20'den 24'e kadar olan yedi gözlem ikinciye, 25, 25, 26 ve 27 üçüncüye düşüyor; 9 + 7 + 4 = 20. Oran sütunu her sayımın toplama bölümü: 9 ÷ 20 = 0,45, 7 ÷ 20 = 0,35 ve 4 ÷ 20 = 0,20. Dilek'in cümlesi bu ilk sütundan geliyor: hastaların yüzde 45'i en alttaki bantta.

Buradaki fark mod dersine göre ölçülebilir. Mod tam değerleri sayıyordu ve bunun bir güvencesi vardı: bir sayım en yüksekse, onu üreten gözlem kayıtta duruyordu. Histogramda böyle bir güvence yok. "15–20 aralığında dokuz hasta" cümlesindeki dokuz, hiçbir gözlemin taşımadığı bir niceliğin sayımı, çünkü hiçbir hastanın solunum sayısı "15–20" değil; sütunun yüksekliği veriden geliyor, sütunun kendisi gelmiyor.

Başlangıç neyi seçiyor

Ayten de genişliği 5 seçmiş, ama bir gerekçeyle ilk aralığı 12,5'ten başlatmış. Hemşirelerin dakikalık sayımları yazarken yuvarlak sayılara kayabildiğini bildiği için 15, 20 ve 25'i sütunların sınırına değil ortasına koymak istemiş. Mod dersinde elle okunan ölçümlerin yuvarlak basamaklara yığılabildiğini görmüştün; Ayten'in seçimi tam bu yığılmaya karşı alınmış bir önlem.

Yeniden say. Birinci sütuna 15, 16, 16, 17, 17 ve 17 düşüyor; ikinciye 18, 18, 19, 20 ve 22; üçüncüye 23'ten 27'ye kadar dokuz gözlem. Toplam yine 6 + 5 + 9 = 20, ama biçim ters dönmüş: 9-7-4 yerine 6-5-9. Oran sütununda da aynı 0,45 bu kez en üstteki bantta duruyor, 9 ÷ 20 = 0,45. Genişlik aynı, gözlemler aynı; yalnız sütun sınırları iki buçuk birim sola kaydı ve hastaların yüzde 45'i alttaki banttan üstteki banda geçti.

Bir histograma bakan kişi genişliği çoğu zaman eksenden okuyabiliyor. Başlangıcı da okuyabiliyor, ama ona bakması gerektiğini bilmiyor, çünkü başlangıç bir ayrıntı gibi duruyor. Oysa bu kayıtta "alçalıyor" ile "yükseliyor" arasındaki farkı tek başına o üretti. Toplantı masasındaki iki çizim yan yana konmasaydı kimse bu kararı görmeyecekti.

Genişlik neyi seçiyor

Toplantıda üçüncü bir yol öneriliyor: aralık sayısını bir kurala bağlamak. Sturges kuralı olarak bilinen yaygın bir başparmak kuralı, gözlem sayısının iki tabanında logaritmasına bir ekliyor. Yirmi gözlemde log₂ 20 ≈ 4,32 ve 1 + 4,32 = 5,32, yani yaklaşık beş aralık. Kaydın uçları 15 ve 27; açıklık 27 − 15 = 12 ve beş aralığa bölünmesi 12 ÷ 5 = 2,4. Okunur bir sayıya yuvarlanınca genişlik 2,5 oluyor ve ilk aralık yine 15'ten başlıyor.

Bu çizim ne alçalıyor ne yükseliyor; iki kalabalık bölge ve aralarında bir seyrelme gösteriyor. Dilek'in birinci sütunundaki dokuz gözlem burada altıya ve üçe ayrıldı, 20–22,5 bandında yalnız iki hasta kaldı. Geniş aralık yüksekliği düzleştiriyor, dar aralık ayrıntıyı açıyor. Ama dar aralığın bir bedeli var: her sütuna düşen gözlem azaldıkça sütunlar tek tek gözlemlerin eklenip çıkmasına duyarlı hâle geliyor. 20–22,5 sütunundaki iki hastadan biri yanlış yazılmış olsa sütun yarıya iner ve ortadaki seyrelme olduğundan derin görünür.

Kural bir aralık sayısı verdi, ama nereden başlanacağını söylemedi ve iki uç arasındaki doğru noktayı da bulmadı. Genişliği iki yönde zorlamak iki ayrı kayıp getiriyor, ve hangisinin katlanılabilir olduğunu kaydın kendisi değil, çizime sorulan soru belirliyor. Servisin sorusu "kaç hasta hızlı soluyor?" ise birinci ya da ikinci çizimin kaba bantları yetebilir; "hastalar iki ayrı grup mu oluşturuyor?" ise ancak dar aralıklar bu soruyu sorulabilir kılıyor.

Aralıklar eşit genişlikte değilse okuma ayrıca bozuluyor. Dilek'in son iki sütununu birleştirip 20–30 diye tek bir geniş aralık yaptığını düşün: sayım 7 + 4 = 11 olur ve bu sütun 15–20'nin dokuzundan yüksek görünür. Oysa yoğunluk tersini söylüyor. Birim genişliğe düşen sayım 15–20'de 9 ÷ 5 = 1,8, 20–30'da 11 ÷ 10 = 1,1. Eşit olmayan aralıklarda yükseklik ham sayımı değil birim genişlik başına sayımı göstermek zorunda, yoksa göz geniş aralığı kalabalık sanıyor.

Ölçütün sormadığı karar

Bir histogram gördüğünde sorulacak iki soru böylece ortaya çıkıyor: aralık genişliği ne ve ilk aralık nereden başlıyor? İki soru gerçek bir şeyi eliyor. Dilek'in ve Ayten'in çizimleri aynı genişliği bildiriyor, aynı gözlem sayısını taşıyor ve karşıt yönler gösteriyor; yalnız genişliği soran bir okur ikisini aynı grafik sanabilir.

Ama iki soru üçüncü bir kararı hiç sormuyor. Bir gözlemin değeri tam bir aralık sınırına düşüyorsa hangi sütuna yazılacak? Aynı kaydı 10'dan başlayan beşlik aralıklarla say. Alt sınırı içeren kural 0-9-7-4 veriyor: 10–15 boş, 15–20'de dokuz, 20–25'te yedi, 25–30'da dört. Üst sınırı içeren kural 1-9-8-2 veriyor: 15 birinci sütuna iniyor, 20 ikinciye, iki tane 25 üçüncüye geçiyor ve son sütun dörtten ikiye düşüyor.

Farkı üreten dört gözlem 15, 20 ve iki tane 25; yirmi gözlemin 4 ÷ 20 = 0,2'si, yani beşte biri tam bir sınırın üstünde duruyor. Bu bir rastlantı sayılmamalı. Elle sayılan ölçümler yuvarlak sayılara kayabiliyor ve aralık sınırları da çoğunlukla yuvarlak sayılara konuyor, dolayısıyla yığılmanın olduğu yerle sınırın olduğu yer aynı yer. Ayten'in 12,5'ten başlatması bu yüzden bir tesadüf değil, sorunun çözümü: sınırlar 12,5, 17,5 ve 22,5'te durduğunda yirmi gözlemin hiçbiri bir sınıra oturmuyor ve sınır kuralı sonucu değiştiremiyor.

Geri dönüş yok

Bir tabloda konmayan sütun iz bırakmıyordu ama konan sütunlardaki her sayı okurun elindeydi. Histogramda bu da yok. Üç çizimin hiçbirinden yirmi sayı geri okunamıyor: "15–20 arasında dokuz hasta" cümlesi o dokuz hastanın nerede durduğunu söylemiyor, dokuzunun da 19'da olması ile 15'ten 19'a yayılması aynı sütunu verir. Sıkıştırma tek yönlü; bir histogram bir kaydın değil, kaydın bir okumasının gösterimi ve okumayı yapan kişi çizen kişi.

Klinik gerçeklik

Bir histogramla karşılaştığında üç şeyi arayabilirsin ve üçü de grafiğin kendisinde ya da başlığında olmalı. İlki aralık genişliği, çünkü biçimin ne kadar ayrıntı taşıdığını o belirliyor ve bildirilmezse iki grafiğin sütunları karşılaştırılamıyor. İkincisi ilk aralığın nereden başladığı, çünkü aynı genişlikte iki grafik yalnız bu yüzden karşıt yönler gösterebiliyor. Üçüncüsü toplam gözlem sayısı; dar aralıklarda her sütunun kaç gözleme dayandığını ancak bu sayıyla kestirebilirsin.

Dilek ile Ayten'in toplantısı için dürüst bir pano bu üç bilgiyi grafiğin altına yazar ve hangi soruya cevap verdiğini söyler. "Yirmi hasta, beşlik aralıklar, 12,5'ten başlayarak; sınırlar yuvarlak sayıların arasına kondu" satırı okurun Ayten'in çizimini neden seçtiğini anlamasına yeter. Hastaların iki grup oluşturup oluşturmadığı sorusu için ise ayrı bir, dar aralıklı çizim gerekir. Üç bilgi de yazılı olsa bile ham sayılara dönemezsin; o kapı histogram çizildiği anda kapanıyor.

Kendini sına

1. Dilek'in ve Ayten'in çizimleri arasında hangi karar değişti, hangisi aynı kaldı? Her iki çizimin sayımlarını ve oranlarını yeniden hesapla.
2. Bir histogram sütununun yüksekliği neden hiçbir gözlemin taşımadığı bir niceliğin sayımı?
3. Yirmi gözlem için Sturges kuralı kaç aralık ve hangi genişliği veriyor? Kuralın cevaplamadığı karar hangisi?
4. Dar aralığın bedeli ne? Bunu hangi sütunda somut olarak gösterebilirsin?
5. 20–30 gibi geniş bir aralık neden kalabalık görünüyor? Birim genişlik başına sayımı hesaplayarak göster.
6. Sınır kuralı hangi gözlemleri etkiliyor ve Ayten'in başlangıç seçimi bu sorunu neden ortadan kaldırıyor?
7. Üç bilgisi de yazılmış, eksenleri etiketli bir histogram gördün. Yine de kuramayacağın bir cümle yaz.

Bir sonraki derse köprü

Bu derste biçimi üreten kararları, yani genişliği, başlangıcı ve sınır kuralını, çizimi yapan kişi verdi. Sıradaki çizim aralık kararını tümüyle kaldırıyor: kutunun ve bıyıkların nereye çizileceğini kaydın kendi sıralamasındaki konumlar, yani uçlar, çeyrekler ve ortanca belirliyor. Aynı kayıttan herkes aynı kutuyu çizecek. Orada bu kazancın bedelini soracaksın; bu dersin dar aralıklı çiziminde görünen iki kalabalık ve aradaki seyrelme beş sayıya indirilmiş bir çizimde görünmeye devam eder mi, ve çizim yapanın elinde hâlâ bir seçim kalır mı?