Aykırı Değer

Açılış sahnesi

Haziranın son haftası, bir yayla ilçesindeki toplum sağlığı merkezinde halk sağlığı uzmanı Şenay, ilçenin arıcılık kooperatifi için hazırladığı iş sağlığı raporunun son tablosunda. Kooperatif, bal hasadı boyunca üyelerin bir haftada kaç kez arı sokması yaşadığını bilmek istiyor; koruyucu donanım siparişini buna göre verecek. On arıcının hasat haftası sayıları küçükten büyüğe şöyle: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6 ve 60. Altmış, kovanı rüzgârda devrilen ve bir öğleden sonra boyunca kaçan kolonilerle uğraşan Döndü'ye ait. Sayı doğru; Döndü'nün kollarındaki izleri merkezdeki hemşire kendisi saymış.

Şenay'ın önündeki soru "altmış uzak mı?" değil, çünkü uzak olduğu gözle görülüyor. Soru şu: haftalık tipik sokma sayısını bildirirken bu gözlemi kayıtta tutacak mı, ve bu kararı hangi sayı verecek? Kooperatif yönetimi raporu iki sayıyla karşılaştıracak: geçen yılki rapor ve komşu ilçenin raporu. İkisinde de dipnot aynı: "aykırı değerler çıkarıldı."

Bu derste ne olacak

Bu derste bir gözlemi "fazla uzak" saymanın eşiğini, bu modülde kurulan ölçülerden iki ayrı yoldan kuracaksın. Önce iki eşiğin Şenay'ın kaydında aynı cevabı verdiğini göreceksin. Sonra kayda ikinci bir uzak gözlem ekleyip eşiklerden birinin yargıladığı gözlemden nasıl beslendiğini hesaplayacaksın. Son bölümde öteki eşiğin bağışıklığının da bir sınırı olduğunu ve bir dışlama bildiriminde hangi bilginin eksik kaldığını sınayacaksın.

İki eşik, tek kayıt

Birinci eşik ortalamadan ve standart sapmadan kuruluyor: ortalamanın iki standart sapma üstü sınır sayılıyor. Kaydın toplamı 98, ortalama 98 ÷ 10 = 9,8 ve standart sapma, bu modülde hep yaptığımız gibi kareler gözlem sayısına bölünerek, yaklaşık 16,78. Sınır 9,8 + 2 × 16,78 = 43,36. Altmış bu sınırın üstünde kalıyor ve işaretleniyor.

İkinci eşik çeyreklerden kuruluyor: üçüncü çeyreğin, çeyrekler arası aralığın bir buçuk katı üstü sınır sayılıyor. Alt yarı 2, 3, 3, 4, 4 ve ortası 3, bu birinci çeyrek; üst yarı 5, 5, 6, 6, 60 ve ortası 6, bu üçüncü çeyrek. Aralık 6 − 3 = 3 ve sınır 6 + 1,5 × 3 = 10,5. Altmış bunun da üstünde; iki kural da aynı gözlemi işaretliyor.

Buradaki iki ve bir buçuk sayıları kayıttan çıkmıyor, hiçbir hesapla türetilmiyor; yaygın kullanımda olan seçimler ve dışarıdan konuyorlar. İki kural bu kayıtta aynı cevabı verdiği için hangisinin seçildiği görünmüyor. Farkı görmek için kaydın bir gözlem daha taşıması yetiyor.

İkinci uzak gözlem geldiğinde

Kooperatifin öbür yakasında aynı hafta bir kovan daha devrilmiş olsun. Altılardan biri yerine 62 yazılı ve kayıt 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 60, 62 hâline geliyor. Çeyreklerden kurulan sınır kıpırdamıyor: alt yarı hâlâ 2, 3, 3, 4, 4, üst yarının ortası hâlâ 6, aralık hâlâ 3 ve sınır hâlâ 10,5. Çeyrekler arası aralık dersinde kurduğun körlük burada işe yarıyor; iki uzak gözlem üstteki dörtte birde duruyor ve çeyrek konumlarına hiç girmiyor.

Ortalamadan kurulan sınır ise çok kıpırdıyor. Toplam 154'e çıkıyor ve ortalama 154 ÷ 10 = 15,4 oluyor, standart sapma 16,78'den yaklaşık 22,83'e yükseliyor. Sınır 15,4 + 2 × 22,83 = 61,06. Altmış artık bu sınırın altında kalıyor ve işaretlenmiyor. İlk kayıtta aynı kural aynı gözlemi işaretlemişti ve o zamandan beri Döndü'nün altmışında hiçbir şey değişmedi; değişen, altmışın yanına gelen altmış iki.

Eşiği kim hesapladı

Olan şeyin adı konabilir. Ortalama da standart sapma da kaydın tamamından hesaplanıyor, 60 ve 62 dâhil. Varyans ve standart sapma derslerinde bu iki sayının merkezden uzak gözlemlere ne kadar açık olduğunu görmüştün: uzak gözlem hesaba karesiyle giriyor ve sayıyı tek başına yukarı taşıyabiliyor. Yani yargılanan gözlem kendisini yargılayacak eşiği yukarı itiyor ve yeterince iterse eşiğin altında kalıyor.

Aynı kayıt, iki rapor

İkinci kayıtta iki kural artık aynı şeyi söylemiyor. Ortalamadan kurulan sınır yalnız 62'yi çıkarıyor; kalan dokuz sayının toplamı 154 − 62 = 92 ve ortalaması 92 ÷ 9 ≈ 10,22. Çeyreklerden kurulan sınır ikisini birden çıkarıyor; kalan sekiz sayının toplamı 154 − 122 = 32 ve ortalaması 32 ÷ 8 = 4. Aynı hasat haftası için biri haftada on sokmayı, öteki dört sokmayı "tipik" diye bildiriyor ve aralarındaki fark iki buçuk kattan büyük.

İki rapor da kurallı. İki ekip de ölçütünü veriye bakmadan önce yazmış olabilir ve ikisi de dürüst olabilir. Bu yüzden "aykırı değerler çıkarıldı" cümlesi tek başına bir bildirim değil: hangi ölçüden kurulmuş bir eşikle çıkarıldığı yazılmadıkça okur neyin çıkarıldığını bilemiyor ve iki raporu birbiriyle karşılaştıramıyor. Kooperatif yönetimi komşu ilçenin raporundaki sayıyı kendi raporuyla yan yana koyduğunda, farkın arılardan mı yoksa eşikten mi geldiğini ayırt edemeyecek.

Log-normal dağılım dersinde (L02-P02-M02-D05) bu işin öbür yarısı kurulmuştu: bir gözlemin hata olup olmadığı büyüklüğünden değil ölçüm sürecinden anlaşılıyor ve çıkarma ölçütü veriye bakılmadan önce yazılıyor. Döndü'nün altmışı bu sınavdan geçiyor; kovan gerçekten devrildi ve izler gerçekten sayıldı. O kural yerinde duruyor, bu ders ona bir şey ekliyor: ölçütü önceden yazmak yetmiyor, ölçütün hangi sayıdan kurulduğunu da yazmak gerekiyor, çünkü önceden yazılmış iki dürüst ölçüt aynı kayıtta farklı gözlemleri çıkarıyor.

Eşik kimin sayısı

Buradan bir dışlama bildirimiyle karşılaşan herkesin sorabileceği bir soru çıkıyor: eşiği hesaplayan sayı, çıkarılan gözlemi içeriyor muydu? İkinci kayıtta ortalamadan kurulan sınır 61,06 çıktı ve o sayının içinde 60 ile 62 vardı. Altmışın eşiğin altında kalması bir bulgu değil, hesabın yapısının sonucu. Soru bunu ayıklıyor ve ayıkladığı şey kaydın değil, kuralın bir özelliği.

Ama soru bir yerde temize çıkarıyor ve orada yanılıyor. Çeyreklerden kurulan sınıra "temiz" diyor, çünkü 60 ve 62 çeyrek konumlarına girmiyordu. Bu bağışıklık kaydın büyüklüğüne ve uzak gözlemlerin payına bağlı. Sekiz üyeli küçük bir köy kooperatifinin kaydına bak: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 60, 61. Alt yarı 2, 3, 4, 5 ve birinci çeyrek (3 + 4) ÷ 2 = 3,5; üst yarı 6, 7, 60, 61 ve üçüncü çeyrek (7 + 60) ÷ 2 = 33,5. Uzak gözlemler tam da çeyreği üreten öbeğin içine girdi.

Aralık 33,5 − 3,5 = 30 oluyor ve sınır 33,5 + 1,5 × 30 = 78,5'e fırlıyor; hiçbir gözlem işaretlenmiyor. Aynı kayıtta ortalamadan kurulan sınır da hiçbirini işaretlemiyor: toplam 148, ortalama 148 ÷ 8 = 18,5, standart sapma yaklaşık 24,30 ve sınır yaklaşık 67,1. Soru kuralın kendine gönderme yapıp yapmadığına bakıyor, kaydın ne kadarının uzak olduğuna bakmıyor. Uzak gözlemlerin payı çeyreğin görmezden geldiği dörtte birlik dilimi aştığı anda ikinci kural da birincisi gibi davranıyor ve soru bunu fark etmiyor.

Klinik gerçeklik

Bir dışlama bildirimiyle karşılaştığında elindeki cümle çoğu zaman tek satır: aykırı değerler çıkarıldı. O satır iki şeyi söylemiyor ve ikisi de sonucu değiştiriyor. Birincisi eşiğin hangi ölçüden kurulduğu; ortalamayı kullanan bir eşik çıkarılacak gözlemlerden besleniyor, çeyrekleri kullanan bir eşik ise uzak gözlemler dörtte birlik dilimi aşana kadar beslenmiyor. İkincisi kaç gözlemin çıkarıldığı ve çıkarılmadan önceki sonucun ne olduğu.

Şenay'ın raporu için dürüst bir satır bu iki bilgiyi birlikte taşır. "On arıcının haftalık sokma sayısı: medyan 4,5; altmış sokmalık tek gözlem kovan devrilmesine bağlı ve çeyrek kuralıyla işaretlendi; onunla ortalama 9,8, onsuz 38 ÷ 9 ≈ 4,22." Böyle yazılınca kooperatif hem tipik haftayı hem kaza haftasını görüyor ve donanım siparişini ikisine göre ayrı ayrı düşünebiliyor. Döndü'nün haftası bir hata değil, raporun belki de en önemli satırı; onu sessizce çıkarmak koruyucu donanımın asıl gerektiği durumu rapordan silmek olurdu.

İki bilgiden biri eksikse geriye bir veri temizliği kalmıyor, gerekçesi görünmeyen bir seçim kalıyor. Seçim yanlış olmak zorunda değil, ama denetlenemez olmak zorunda. Dışlama kararının öbür sayıları da değiştirdiğini unutma: bir gözlem çıktığında ortalama, standart sapma ve hatta medyan birlikte kıpırdıyor.

Kendini sına

1. Açılıştaki kayıtta iki eşik de 60'ı işaretledi. Bu uyuşma neden kuralların doğruluğunu göstermiyor?
2. İkinci kayıtta 60 neden işaretlenmedi? Sınırı adım adım yeniden hesapla ve cevabını 60'ın değerine değil, eşiğin hesabına bağla.
3. "Aykırı değer" tanımından "seçilmiş" sözcüğü çıkarılırsa tanım ne kaybeder?
4. Çeyreklerden kurulan eşik ikinci kayıtta neden hiç kıpırdamadı? Hangi dersin bulgusu bunu açıklıyor?
5. İki ekip ikinci kayıttan 10,22 ve 4 ortalamalarını çıkardı. Bu farkı üreten bilgi raporun neresinde yazılmalı?
6. "Eşiği hesaplayan sayı çıkarılan gözlemi içeriyor muydu?" sorusu neyi ayıklıyor, ve sekiz üyeli kooperatifin kaydında neden yanılıyor?
7. Döndü'nün altmışı bir ölçüm hatası değil. Bu, onu raporda nasıl göstermen gerektiğini nasıl değiştiriyor?

Bir sonraki derse köprü

Bu modülde her ders aynı türden bir kayda tek bir soru sordu: merkez nerede, yayılım ne kadar, bir gözlem ne zaman fazla uzak. Her soruyu ayrı ayrı cevaplamayı öğrendin, ama Şenay'ın raporunda bile bir kararın ötekini değiştirdiğini gördün: altmışı çıkarmak ortalamayı 9,8'den 4,22'ye indirdi ve medyanla arasındaki açıklığı neredeyse kapattı. Sıradaki derste bu kararların hepsini aynı anda, on iki numunelik bir laboratuvar kaydı üzerinde vereceksin. Orada hangi merkez ve hangi yayılım ölçüsünü seçeceğini kaydın biçimi belirleyecek, bu dersteki iki eşik de bir kez daha karşına çıkacak ve dışlama kararının önceki seçimleri nasıl geriye doğru sarstığını göreceksin.