Değişim Katsayısı

Açılış sahnesi

Bir eğitim ve araştırma hastanesinin bodrum katındaki biyomedikal biriminde, yıllık bakım haftasının üçüncü günü, mühendis Nihal servislerden toplanan infüzyon pompalarını tezgâhta tek tek sınıyor. Yöntemi sade: pompayı bir hıza ayarlıyor, bir saat boyunca akan sıvıyı hassas bir terazinin üstündeki kapta topluyor ve tartıdan mililitreyi hesaplıyor. Aynı pompayı iki hızda üçer kez çalıştırmış. Saatte elli mililitreye ayarlandığında kapta 48, 50 ve 52 mililitre, saatte on mililitreye ayarlandığında 8, 10 ve 12 mililitre birikmiş.

Stajyer teknisyen Berkay sonuçları bakım formuna geçirirken formun istediği tek yayılım sütununu dolduruyor: değişim katsayısı. Elli mililitrelik satıra yüzde 3,3, on mililitrelik satıra yüzde 16,3 yazıyor ve ikinci satırın kenarına kırmızı kalemle "düşük hızda beş kat daha dengesiz" notunu düşüyor. Nihal formu alıp iki üçlüye yeniden bakıyor. İki satırda da ölçümler ayarlanan hızın iki mililitre altına ve iki mililitre üstüne düşmüş; kaptaki sapmalar birebir aynı. Beş kat farkı üreten şey pompanın davranışı değil, o sütunun nasıl hesaplandığı.

Bu derste ne olacak

Bu derste yayılımı ortalamaya bölen sayıyı kuracak ve bölmenin iki tarafının ayrı ayrı neye tepki verdiğini izleyeceksin. Önce Berkay'ın iki satırını elle hesaplayıp beş katın nereden geldiğini bulacaksın. Sonra aynı sayının ortalama sıfıra yaklaştığında ve sıfırı seçilmiş bir referans olan ölçeklerde neden okunamaz hâle geldiğini iki ayrı kayıtta sınayacaksın. Son bölümde bütün bu koşullardan temiz geçen iki katsayının bile hangi klinik soruya cevap vermediğini göreceksin.

Aynı yayılım, iki ayrı sayı

Önce standart sapmayı hesapla, bu modülde hep yaptığımız gibi kareleri gözlem sayısına bölerek. On mililitrelik üçlüde ortalama 10, sapmalar −2, 0 ve +2, kareleri 4, 0 ve 4. Kareler toplamı 4 + 0 + 4 = 8, gözlem sayısına bölümü 8 ÷ 3 ≈ 2,67 ve karekökü yaklaşık 1,63 mililitre. Elli mililitrelik üçlüde ortalama 50, ama sapmalar yine −2, 0 ve +2, standart sapma da yine 1,63 mililitre. Standart sapma dersinin ölçüsüyle pompa iki hızda aynı mutlak saçılmayı gösteriyor.

Değişim katsayısı bu sayıyı ortalamaya bölüyor. Elli mililitrede 1,63 ÷ 50 ≈ 0,033, on mililitrede 1,63 ÷ 10 ≈ 0,163. Berkay'ın formundaki yüzdeler bu iki sayının yüzle çarpılmış hâli: 0,033 × 100 = 3,3 ve 0,163 × 100 = 16,3. Pay iki satırda da aynı kaldığı için iki katsayının oranı paydaların oranına eşit çıkıyor, 50 ÷ 10 = 5. Berkay'ın "beş kat" dediği şey pompanın iki hızdaki davranış farkı değil, iki ayarın birbirine oranı.

Bunu bir kaydırmayla da görebilirsin. On mililitrelik üçlünün her sayısına kırk ekle; 8, 10, 12 dizisi 48, 50, 52 olur, yani öteki satırın tamamı. Kayıt sayı doğrusunda kırk birim sağa gitti ama içindeki aralıklar yerinde kaldı. Standart sapma bu kaydırmayı hiç görmedi, çünkü her sapma ortalamaya göre ölçülüyor ve ortalama da aynı kırk birim kaydı; çeyrekler arası aralık da görmedi, çünkü iki çeyrek birlikte kaydı. Ortalama ise kaydırmanın tamamını gördü ve 10'dan 50'ye çıktı.

Bölmenin iki tarafı böylece farklı şeylere tepki veriyor: pay kaydırmayı görmüyor, payda tümüyle görüyor. Buradan bir tanım düzeltmesi çıkıyor. Değişim katsayısı bir yayılım ölçüsü değil, yayılımın kaydın durduğu yere oranı; bildirdiği sayı iki bilgiyi birden taşıyor ve ikisini birbirinden ayırmıyor. Berkay'ın formu yalnız bu sütunu istediği için "aynı saçılma, farklı hız" bilgisi kayda "farklı saçılma" diye geçti.

Payda sıfıra yaklaşınca

Nihal, Berkay'a formun birkaç yıl önceki sürümünü açıyor. Birim o dönemde tartılan hacmi değil pompanın hatasını, yani ölçülen hacimden ayarlanan hacmin çıkarılmasını kaydediyormuş. Bu yılki on mililitrelik üçlü o formda −2, 0 ve +2 mililitrelik hatalar olarak yazılırdı. Standart sapma yine 1,63 çıkar, çünkü her değerden on çıkarmak bir kaydırma ve kaydırma paya dokunmuyor. Ama ortalama artık sıfır ve 1,63'ü sıfıra bölmek bir sayı vermiyor; bu kayıtta değişim katsayısı tanımsız.

Eski formda başka bir pompanın satırı duruyor. Aynı on mililitrelik ayarda kapta 9, 11 ve 13 mililitre birikmiş, yani hatalar −1, +1 ve +3. Ortalama hata 1, standart sapma yine 1,63 ve katsayı 1,63 ÷ 1 = 1,63. Açılıştaki elli mililitrelik satırda aynı saçılma 0,033 vermişti; paydalar arasındaki oran 50 ÷ 1 = 50 olduğu için katsayı da tam elli kat büyüdü. Bir üçüncü pompanın hataları −3, −1 ve +1; ortalama −1 ve katsayı −1,63 çıkıyor. Standart sapma hiçbir zaman eksi olmadığına göre bu eksi işaret yayılım hakkında hiçbir şey söylemiyor, yalnız ortalamanın sıfırın hangi yanına düştüğünü bildiriyor.

Ortalamayı sıfıra biraz daha yaklaştırırsan katsayı daha da büyür ve bu büyümenin bir sınırı yok. Eksi ya da devasa bir değişim katsayısı bu yüzden bir bulgu değil, ölçünün tanımlı olduğu alanın dışına çıkıldığının işareti. O alanı belirleyen şey pompanın saçılması değil, paydanın nereye düştüğü. Hata kaydı için doğru yayılım ölçüsü standart sapmanın kendisi: "pompa ortalama bir mililitre fazla veriyor, saçılma 1,63 mililitre" cümlesi okunuyor, "hatanın değişim katsayısı 1,63" cümlesi okunmuyor.

Sıfır nerede duruyor

Paydanın konuma yapışık olması bir soruyu zorunlu kılıyor: kaydın konumu neye göre ölçülüyor? Sıfırın nerede durduğuna göre. Nihal'in tezgâhındaki sıradaki cihaz, ameliyathanede damar yoluyla verilen sıvıyı hastaya girmeden önce ısıtan bir sıvı ısıtıcı. Çıkış ucuna yerleştirdiği termometre üç ölçümde 36, 37 ve 38 santigrat derece okuyor.

Hesap kısa. Ortalama 37, sapmalar −1, 0 ve +1, kareler toplamı 1 + 0 + 1 = 2, gözlem sayısına bölümü 2 ÷ 3 ≈ 0,67 ve standart sapma yaklaşık 0,82 derece. Katsayı 0,82 ÷ 37 ≈ 0,022. Aynı üç ölçümü Kelvin ölçeğinde yazarsan her birine 273,15 eklersin: 36 + 273,15 = 309,15, ardından 310,15 ve 311,15. Derecenin büyüklüğü değişmedi, yalnız sıfırın yeri değişti; standart sapma da kaydırmaya kör olduğu için 0,82'de kaldı. Ama ortalama 310,15 oldu ve katsayı 0,82 ÷ 310,15 ≈ 0,0026'ya indi.

Aynı üç ölçüm, aynı fiziksel saçılma ve iki katsayı arasında paydaların oranı kadar fark var: 310,15 ÷ 37 ≈ 8,4. Hangisi okunabilir? Kelvin'deki. Aralık ve oran ölçeği dersinde (L02-P03-M01-D03) bir ölçekte sıfırın bulunmasının o sıfırın gerçek yokluk olduğu anlamına gelmediğini görmüştün; santigrat sıfırı suyun donma noktası olarak seçilmiş bir referans. Seçilmiş bir referansa bölünen sayı da seçilmiş çıkıyor. Santigrattaki 0,022 yanlış hesaplanmış bir sayı değil, hiçbir şeyin ölçüsü olmayan bir sayı.

Bu sayı hangi soruyu cevaplıyor

Bir değişim katsayısının önüne böylece iki soru konuyor: bu ölçümün sıfırı gerçek bir yokluk mu, ve ortalama sıfıra yakın mı? Santigrattan hesaplanan 0,022 ilk soruda, eski formdaki −1, +1, +3 hatalarının 1,63'ü ikincisinde eleniyor. İkisi de doğru bölme işlemleriydi ve ikisi de okunamıyor. Elenen şey aritmetik değil, sayının üzerine kurulan cümle.

İki sorudan temiz geçen yerde de bir tuzak kalıyor. Nihal'in tezgâhındaki son cihaz yenidoğan servisinden gelen bir şırınga pompası; saatte beş mililitreye ayarlanmış ve üç ölçümde 4,8, 5 ve 5,2 mililitre vermiş. Sapmaların kareleri 0,04 + 0 + 0,04 = 0,08, bölümü 0,08 ÷ 3 ≈ 0,027 ve standart sapma yaklaşık 0,163 mililitre. Katsayı 0,163 ÷ 5 ≈ 0,033, yani açılıştaki elli mililitrelik satırla birebir aynı. Ama iki standart sapma arasında 1,63 ÷ 0,163 = 10 kat var: aynı yüzdenin arkasında biri on kat geniş iki ayrı saçılma duruyor.

Yani iki soru katsayının okunabilir olup olmadığını ayırıyor, okunan sayının o gün sorulan soruya cevap verip vermediğini ayırmıyor. Katsayıyı hesaplanabilir kılan koşullar ile onu ilgili kılan koşullar aynı koşullar değil. Şırınga pompasının hangi mutlak saçılmayla çalıştığını bilmek isteyen biri yüzde 3,3'ten o sayıyı çıkaramaz; paydayı, yani beşi de bilmesi gerekir.

Klinik gerçeklik

Değişim katsayısı belirli bir soru için yapılmış bir sayı: bir ölçümün yayılımı, ölçtüğü büyüklüğün düzeyine göre ne kadar? Cihaz ve laboratuvar tekrarlanabilirliğinde bu soru anlamlı, çünkü bir yöntemin saçılması her düzeyde aynı olmak zorunda değil. Düzeye oranlanmış yayılım ile mutlak yayılım iki ayrı bilgi veriyor ve açılıştaki iki üçlü bunun en temiz örneği: mutlak saçılma aynı, oranlanmış saçılma beş kat farklı. Nihal'in yıllık raporuna iki sütunu yan yana yazması, Berkay'ın kırmızı notunu kendiliğinden siliyor.

Aynı sayı, o gün sorulan soru başkaysa yanlış cevap veriyor. Yenidoğan servisindeki hemşirenin sorusu genellikle oranlı değil mutlak: bir saatte bebeğe planlanandan kaç mililitre fazla ya da eksik girdi? O soruda düzeye oranlanmış bir yayılım işe yaramıyor, gereken şey standart sapmanın kendisi. Bir kişinin ölçümünün bir eşiği aşıp aşmadığı sorusu da aynı yapıda; eşik bir birimle yazılır ve ona ancak aynı birimdeki bir yayılım cevap verir.

Bir katsayı raporda tek başına durduğunda geriye iki bilinmeyen kalıyor: paydanın kaç olduğu ve o paydanın sıfırının gerçek olup olmadığı. İkisi yazılmadan katsayı bir oran olarak doğru, bir bildirim olarak eksik kalıyor. Berkay'ın formu, "ortalama 10, standart sapma 1,63, katsayı yüzde 16,3" diye üç sütunla doldurulsaydı aynı sayı hiçbir okuru yanıltamazdı.

Kendini sına

1. On mililitrelik üçlünün (8, 10, 12) standart sapmasını adım adım hesapla. Her sayıya kırk eklediğinde standart sapma neden değişmiyor, ortalama neden değişiyor?
2. İki satırın katsayıları neden tam beş kat farklı çıktı? Cevabını pay ve paydaya ayrı ayrı bakarak ver.
3. "Değişim katsayısı bir yayılım ölçüsüdür" cümlesi neden yetersiz? Yerine ne konur?
4. Hata olarak kaydedilen −2, 0, +2 üçlüsünde katsayı neden tanımsız, −3, −1, +1 üçlüsünde neden eksi? Eksi işaret neyi bildiriyor?
5. Sıvı ısıtıcının üç ölçümü iki ölçekte neden iki farklı katsayı verdi ve ikisinden hangisi okunabilir?
6. Şırınga pompası ile elli mililitrelik satır aynı katsayıyı veriyor. Standart sapmaları kaç kat farklı ve bu fark hangi klinik soruda önem kazanır?
7. Berkay'ın formuna hangi iki bilgi eklenirse katsayı tek başına yanıltıcı olmaktan çıkar?

Bir sonraki derse köprü

Bu modülde yayılım dört ayrı biçimde ölçüldü. Varyans uzaktaki gözlemi karesiyle tarttı, standart sapma aynı tartıyı ölçümün birimine taşıdı, çeyrekler arası aralık uçtaki gözlemleri hiç okumadı, değişim katsayısı ise okuduğunu ortalamaya bölüp başka bir sayıya çevirdi. Dördünün ortak yanı, hiçbirinin bir gözlemin kayıtta kalıp kalmaması gerektiğini sormaması: hepsi kaydı olduğu gibi alıp bir sayı üretti.

Nihal'in üçlülerinden birinde kapta 50 yerine 75 mililitre birikmiş olsaydı, o ölçümü "çok uzak" diye ayırmak bir hesap değil bir karar olurdu. Sıradaki ders o kararın eşiğini bu modülün ölçülerinden iki ayrı yoldan kuruyor: biri ortalama ile standart sapmadan, öteki çeyreklerden ve aralıktan. Orada eşiği kuran hesabın yargılanan gözlemi de içine alıp almadığının neden sonucu belirlediğini ve "aykırı" sözcüğünün neden bir gözlemin değil, gözlem ile seçilmiş bir eşik arasındaki ilişkinin adı olduğunu sınayacaksın.