Çeyrekler Arası Aralık

Açılış sahnesi

Bir eğitim hastanesinin alerji polikliniğinde, salı öğleden sonra, poliklinik hemşiresi Aynur kronik kurdeşen, yani haftalarca yinelenen kaşıntılı kabarıklıklar nedeniyle izlenen sekiz hastanın atak günlüklerini bir tabloya geçirmiş. Her satırda bir hastanın geçen ay kaç kez yeni bir kabarıklık atağı yaşadığı yazıyor; küçükten büyüğe dizildiğinde 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11 ve 35. Asistan hekim Bahar ertesi sabahki klinik toplantısı için bu tablodan iki satırlık bir özet çıkaracak. Aynur tabloyu günlüklerle karşılaştırırken son satırda duruyor: 35, yandaki yaş sütunundan kaymış, hastanın kendi günlüğünde on iki atak yazıyor. Bahar omuz silkiyor: "Ben yayılım için çeyrekler arası aralık yazıyorum, o sayı hesaba girmiyor bile."

Aralığın okuduğu gözlemler

Standart sapma dersinde yayılım hep ortalamadan geçen bir zincirle kuruldu; burada ortalamaya hiç uğramadan, medyanın yaptığı gibi sıradan kuruluyor. Bu modülde çeyrekleri "yarının ortası" yoluyla buluyoruz: önce medyan kaydı ikiye ayırıyor, sekiz gözlemde medyan dördüncü ile beşinci gözlemin ortası, (6 + 8) ÷ 2 = 7. Alt yarı 2, 4, 5, 6 ve onun ortası (4 + 5) ÷ 2 = 4,5; bu birinci çeyrek. Üst yarı 8, 9, 11, 35 ve onun ortası (9 + 11) ÷ 2 = 10; bu üçüncü çeyrek. Aralık 10 − 4,5 = 5,5 çıkıyor ve Bahar'ın yazmak istediği sayı bu.

Bu sayıyı kuran gözlemlere bak. Otuz beş hesaba girmedi, ama iki de girmedi; birinci çeyreği 4 ile 5, üçüncüsünü 9 ile 11 kurdu. Sekiz gözlemin dördü okundu, kalan dördü hiç açılmadı. Medyan dersinde medyanın gözlemlerin büyüklüğünü değil dizideki yerlerini kullandığını görmüştün; çeyrekler aynı okuma biçimini iki yeni noktada tekrarlıyor ve bu dersin bütün sonuçları bu tek tespitten çıkıyor.

Uzaktaki gözlemdeki hata

Aynur'un düzeltmesini yap. Otuz beş on iki oluyor ve kayıt 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12 hâline geliyor; 35 − 12 = 23 birimlik bir düzeltme. Aralık hiç kıpırdamıyor. Alt yarı hâlâ 2, 4, 5, 6 ve birinci çeyrek hâlâ 4,5; üst yarının ortası hâlâ 9 ile 11'in arası ve üçüncü çeyrek hâlâ 10. Aralık 5,5'te kalıyor.

Aynı düzeltme standart sapmayı sarsıyor. Hatalı kayıtta toplam 80, ortalama 80 ÷ 8 = 10 ve standart sapma, bu modülde hep yaptığımız gibi kareler gözlem sayısına bölünerek, yaklaşık 9,82. Düzeltilmiş kayıtta toplam 57, ortalama 57 ÷ 8 ≈ 7,13 ve standart sapma yaklaşık 3,26. Tek bir satır sayıyı üçte birine indirdi. Standart sapma dersinde kurulan duyarlılık burada görünüyor: uçtaki sayı hesaba karesiyle girdiği için standart sapmayı kendi başına belirleyebiliyor.

Bahar'ın cümlesi bu kayıtta haklı çıktı, ama onun sandığı nedenle değil. Aralık o yirmi üç birimi tartıp önemsiz bulmadı; hiç tartmadı. En büyük sayı on iki de olsa üç yüz de olsa aralık 5,5 kalır, oysa 300 yazılsa standart sapma yaklaşık 97'ye fırlardı. Bu bir sağlamlık değil, körlük: değişikliğin geçtiği yere hiç bakmamak.

Çeyrek konumundaki hata

Şimdi Aynur'un tablosuna çok daha küçük bir hata koy. Otuz beş bu kez doğru olsun, ama ikinci satırdaki hasta dört yerine bir diye girilmiş olsun. Kayıt 1, 2, 5, 6, 8, 9, 11, 35 oluyor. Hata 4 − 1 = 3 birim, demin düzeltilen yirmi üç birimin yedide birinden de küçük.

Alt yarı artık 1, 2, 5, 6 ve ortası (2 + 5) ÷ 2 = 3,5. Birinci çeyrek 4,5'ten 3,5'e düştü, üçüncü çeyrek yerinde kaldı ve aralık 10 − 3,5 = 6,5 oldu: tam bir birim genişledi. Standart sapma aynı hatada 9,82'den yaklaşık 10,10'a gidiyor, 0,28'lik bir kıpırtı. Üç birimlik bir hata, "dirençli" denen ölçüyü öbüründen 1 ÷ 0,28 ≈ 3,6 kat fazla oynattı.

Sebebi medyan dersinde kurulmuştu: sıradaki bir konumdan okunan sayı, o gözlemin değerini seyreltmeden devralıyor. Ortalama aynı hatayı sekiz gözleme bölüyor, 3 ÷ 8 = 0,375 ve 10'dan 9,625'e iniyor; çeyrek bölmüyor, kaymayı olduğu gibi farka taşıyor. Yeni olan, bunun kaç kez olduğu. Medyan tek bir konumdan okuyordu; aralık iki konumdan okuyor ve her konum medyanın dayandığından daha küçük bir öbeğin ortasında duruyor, medyan sekiz gözlemin, her çeyrek dört gözlemin ortasında. Yani aralık medyanın direncini devralmıyor, medyanın kırılgan olduğu yeri iki kez ve daha az gözlemle devralıyor.

Sayı çoğalınca ne değişiyor

Bildirilen bir aralığın önünde sorulacak ilk soru bu: iki çeyrek konumu kaç gözlemin üstünde duruyor? Aynur'un tablosunda 5,5 dört hastanın atak sayısından üretildi, yani "atak sayısı dar bir bantta" cümlesi sekiz kişiye değil dört kişiye dayanıyor. Kayıt büyüdükçe her konumun çevresindeki öbek de büyüyor ve tek bir yanlış girişin o konumu taşıma gücü azalıyor.

Ama soru gözlem sayısını sağlamlığın karşılığı sayıyor ve orada yanılıyor. Demin birinci çeyrek, 4'ün yerini 2 ile 5'in arası aldığı için kaydı; kaymanın büyüklüğünü kaydın kaç kişilik olduğu değil, çeyrek konumunun iki yanındaki değerlerin birbirine ne kadar uzak durduğu belirliyor. Kalabalık bir kayıtta bile o komşular arasında büyük bir boşluk varsa tek bir giriş aralığı belirgin biçimde oynatır.

Konumun kendisi bir tanım

Aynur'un tablosunda sekiz gözlem vardı ve yarılar temiz ayrıldı. Gözlem sayısı tek olduğunda medyan bir gözlemin kendisine düşüyor ve o gözlemin alt yarıya da üst yarıya da sayılıp sayılmayacağı veriden okunmuyor, bir tanımla kararlaştırılıyor. Otuz beşi tablodan tümüyle çıkarıp yedi gözlemle, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11 ile dene; medyan 6.

Altıyı iki yarıya da katmazsan alt yarı 2, 4, 5 ve birinci çeyrek 4, üst yarı 8, 9, 11 ve üçüncü çeyrek 9; aralık 9 − 4 = 5. Altıyı iki yarıya da katarsan alt yarı 2, 4, 5, 6 ve birinci çeyrek (4 + 5) ÷ 2 = 4,5, üst yarı 6, 8, 9, 11 ve üçüncü çeyrek (8 + 9) ÷ 2 = 8,5; aralık 8,5 − 4,5 = 4. Aynı yedi sayı, iki yerleşik tanım, iki aralık. Bu aralığı güvenilmez yapmıyor ama tanımı yazılmayan bir aralık başka bir kayıttakiyle birebir karşılaştırılamıyor, çünkü farkın veriden mi tanımdan mı geldiği ayırt edilemiyor.

İki ölçü, iki ayrı körlük

Bu derste hesaplanan 5,5 ile 9,82 aynı şeyi ölçmüyor; karşılaştırılabilir olan, aynı hataya verdikleri tepki. Standart sapma bütün gözlemleri içine alıyor ama uzaktakini olduğundan ağır tartıyor; aralık uzaktakini hiç tartmıyor ama okuduğu iki gözlemi tek başına bırakıyor. Biri fazla okuyor, öteki hiç okumuyor ve ikisi de her kayıtta aynı yönde yanılmıyor.

Bu yüzden ikisinden birini "doğru ölçü" diye seçmek bir soruyu atlamak oluyor: o gün verilecek karar kaydın ortasına mı bakıyor, uçtaki uzaklığa mı? Log-normal dağılım dersinde (L02-P02-M02-D05) bir uç değerin hata mı gerçek bir kuyruk mu olduğunun sayıdan değil ölçüm sürecinden anlaşıldığını görmüştün. Aynur'un 35'inin bir sütun kayması olduğunu günlüğe bakan Aynur bildi, aralık bilmedi. Gerçek bir otuz beş olsaydı o hasta toplantının asıl konusu olurdu ve aralık onu da aynı sessizlikle geçerdi.

Klinik gerçeklik

Bir aralık okuyan kişinin eline geçen tek bilgi, ortadaki yarının bu genişlikte bir banda sığdığı. Eline geçmeyen iki bilgi var: dışarıdaki yarının nereye kadar uzandığı ve aralığı üreten iki sayının kaç gözlemin üstünde durduğu. Tek başına bildirilen bir aralık bu yüzden eksik bir bildirim.

Bahar'ın toplantı özeti için dürüst bir satır şöyle olurdu: "sekiz hastanın ortadaki yarısı ayda 4,5 ile 10 atak arasında; en az 2, en çok 12." Aynur'un düzeltmesi bu satırın son sayısını değiştirdi, aralığı değiştirmedi; ikisi birlikte okura hem ortayı hem uçları veriyor. Çeyrek tanımı da eklenirse satır başka bir polikliniğin raporuyla yan yana konabilir. Biri eksikse geriye bir genişlik kalıyor, neyin genişliği olduğu kalmıyor.

Kendini sına

1. Aynur'un sekiz gözlemlik tablosunda çeyrekler arası aralık kaç gözlemi okuyor, kaçını hiç açmıyor? Birinci ve üçüncü çeyreği adım adım hesapla.
2. Otuz beşin on ikiye düzeltilmesi neden aralığı hiç oynatmadı, standart sapmayı ise 9,82'den 3,26'ya indirdi? Aralık kısmını "aralık daha sağlam" demeden cevapla.
3. Üç birimlik bir hata, yirmi üç birimlik bir düzeltmeden daha büyük bir oynama üretti. Hatanın hangi özelliği bunu belirliyor?
4. Aralığın medyandan devraldığı şey direnç mi kırılganlık mı? Cevabını konum sayısına ve her konumun dayandığı gözlem sayısına bağla.
5. 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11 kaydında aralığı medyanı yarılara katmadan ve katarak hesapla. Fark bir rapor karşılaştırmasında ne yaratıyor?
6. Standart sapma ile çeyrekler arası aralık ters yönlerde yanılıyor. Her biri hangi yönde?
7. "Aralık dar, öyleyse grup türdeş" çıkarımı nerede kopuyor? Vakadaki kayda hangi iki sayı eklendiğinde okuyucunun anladığı şey değişir?

Bir sonraki derse köprü

Aynur'un kaydındaki her hastanın atak sayısına yirmi eklediğini düşün: kayıt 22, 24, 25, 26, 28, 29, 31, 55 olur. İki çeyrek de yirmi birim kayar, 24,5 ile 30 arasına, ve aralık yine 5,5 çıkar; standart sapma da aynı kaydırmada 9,82'de kalır. İki yayılım ölçüsü de kaydın yerini değiştirmene aldırmıyor; gördükleri yalnız gözlemler arasındaki açıklıklar. Oysa ayda on atak civarındaki bir grupta 5,5 geniş bir bant, yüzlerle ölçülen bir büyüklükte görünmez kalır. Sıradaki derste yayılımı kaydın durduğu yere bölüp birimden kurtaran sayıyı kuracaksın; bölmenin ne kazandırdığını ve paydası kaydın yeriyle oynadığı için o sayının sıfırı keyfi bir ölçekte ya da sıfıra yakın bir ortalamada neden okunamaz hâle geldiğini orada sınayacaksın.