Standart Sapma

Açılış sahnesi

Kasım başında bir ilçe kaymakamlığının toplantı salonunda acil sağlık hizmetleri istasyonunun sorumlu paramediği Ferhat, kış hazırlığı toplantısında tek bir slayt gösteriyor. Geçen hafta, yağmurlu bir gecede istasyona düşen beş çağrının varış süreleri, dakika olarak: 6, 7, 8, 9 ve 20. Son çağrı, yolu sele kapılan bir köprünün ötesindeki bir mahalledendi. Slaytın altındaki özet satırı şöyle: ortalama 10, standart sapma 5,10.

Kaymakam yardımcısı satırı yüksek sesle okuyup yorumluyor: "Yani ambulans ortalamadan genelde beş dakika şaşıyor." Cümle kulağa yerinde geliyor, çünkü iki sayı da dakika cinsinden. Ferhat ise listeye bakıyor ve bir tuhaflık görüyor. Beş çağrının ortalamadan uzaklıkları 4, 3, 2, 1 ve 10; bunların hiçbiri beş değil ve ortalamaları 20 ÷ 5 = 4. Hesapta hata yok, 5,10 bu kaydın doğru hesaplanmış standart sapması. Yanlış olan tek şey sayının okunma biçimi, ve o okumayı davet eden şeyin ne olduğu bu dersin konusu.

Neden bu kez birime bakarak yakalanmıyor

Varyans dersinde iki çöp toplama ekibinin işe gelinemeyen gün sayılarıyla çalışmıştın. Birinci ekibin varyansı 13 çıkmıştı ve birimi gün değil gün-kareydi. O birim bir koruma işlevi görüyordu: "işçiler ortalamadan 13 gün-kare sapıyor" cümlesi kurulamıyordu bile. Okunamayan sayı yanlış okunamaz.

Karekök o korumayı kaldırıyor. On üçün karekökü yaklaşık 3,61 ve birimi gün; cümle artık kurulabiliyor. Kurulabilmesi doğru olduğu anlamına gelmiyor ve varyans dersinin elindeki savunma burada işe yaramıyor. Orada "bu sayı ortalama uzaklık değil" demek için birime bakmak yetiyordu. Birim aynı olduğu andan itibaren o kestirme kapanıyor; ayrımı görmek için sayının kendisine bakmak gerekiyor.

Vakadaki dört sayı, varyans dersindeki birinci ekibin sayılarıyla aynı. Ferhat'ın slaytında olan da bundan farklı değil: birimi ölçümle aynı olan bir sayı, ölçümün diliyle okunmaya davet ediyor ve okur o daveti kabul ediyor.

Kurulan şeyin adı

Ferhat'ın beş çağrısında hesabı adım adım yap. Ortalama (6 + 7 + 8 + 9 + 20) ÷ 5 = 10. Sapmalar −4, −3, −2, −1 ve +10; kareleri 16, 9, 4, 1 ve 100, toplamları 130. Varyans 130 ÷ 5 = 26 ve standart sapma √26 ≈ 5,10. Payda, varyans dersinde olduğu gibi gözlem sayısı; bu modülde bir kaydın kendisini tarif ederken hep bu sürüm kullanılıyor.

İkinci kayıt ölçütü veriyor

Varyans dersindeki ikinci ekibe aynı işlemi uygula: 2, 2, 8, 8. Ortalaması yine 5 gün. Sapmalar 3, 3, 3 ve 3, dördü de aynı büyüklükte. Varyans 9, karekökü tam olarak 3 gün. Bu kayıtta ortalama mutlak sapma da tam 3 gün ve iki sayı çakışıyor.

Birinci ekipte çakışmıyordu: standart sapma 3,61 gün, ortalama mutlak sapma 3 gün. Aradaki yaklaşık 0,61 günlük açıklık, vakadaki yanlış okumanın fazladan söylediği miktar. Ferhat'ın kaydında aynı açıklık daha büyük: standart sapma 5,10, ortalama uzaklık 4, arada 1,10 dakika. Kaymakam yardımcısının cümlesi, ambulansın tipik sapmasını olduğundan bir dakikadan fazla büyük söylüyordu.

Fark tesadüf değil ve yönü hiç değişmiyor. Birinci ekipte sapmaların büyüklükleri eşit değil: ikisi ortalamaya bir gün, ikisi beş gün uzakta. İkincide dördü de eşit. Standart sapma, ortalama mutlak sapmadan hiçbir zaman küçük olmuyor; eşitlik yalnız bütün sapmaların büyüklüğü aynıysa gerçekleşiyor. Aradaki açıklık, sapmaların ne kadar eşitsiz olduğunun ölçüsü, ve Ferhat'ın kaydında bir tek 20 dakikalık çağrı o eşitsizliği büyütüyor.

Sıralama değişmedi

Varyans dersinin kapanışında açık bırakılan soru şuydu: karekök birimi geri verirken, kare almanın getirdiği ağırlığı da geri alıyor mu, yoksa yalnız etiket mi değişiyor? Almıyor. Karekök artan bir işlem; büyük bir sayının karekökü, küçük bir sayının karekökünden büyük. Varyansa göre birinci ekip ikincisinin üstündeydi, 13 ve 9. Standart sapmaya göre de üstünde, 3,61 ve 3. Sıralama aynı kaldı.

Sıralamanın korunması, varyans dersinde tarif edilen orantısız ağırlığın da korunduğu anlamına geliyor. Merkeze uzak gözlem hesaba karesiyle girmeye devam ediyor; karekök o ağırlığı değil, yalnız sonucun birimini değiştiriyor. Ferhat'ın kaydında bunu sayıyla görebilirsin. Kareler toplamı 130'un 100'ü tek bir çağrıdan, 20 dakikalık çağrıdan geliyor: 100 ÷ 130 ≈ 0,77. Karekök alındıktan sonra da standart sapmanın büyük kısmını o çağrı taşıyor.

Bunu bir deneyle sına. 20'nin bir giriş hatası olduğunu, gerçek sürenin 12 olduğunu düşün. Kayıt 6, 7, 8, 9, 12 olur; ortalama 42 ÷ 5 = 8,4, kareler toplamı 21,2, varyans 4,24 ve standart sapma yaklaşık 2,06. Tek bir sayıdaki düzeltme standart sapmayı 5,10'dan 2,06'ya, yarısından da aşağıya indirdi. Karekök bu yüzden bir sadeleştirme değil, bir çeviri: aynı sayıyı kliniğin konuştuğu birime taşıyor ve taşırken içeriğine dokunmuyor.

Ölçütün elediği ve eleyemediği

Ölçüt şu: bir rapor standart sapma bildiriyorsa, o sayıyı "kişilerin ortalamadan uzaklığı" diye okumadan önce sapmaların eşit büyüklükte olup olmadığına bak. Neyi elediği somut. Vakadaki kayıtta ölçüt uyarı veriyor ve verdiği uyarı iki ayrı okumayı birden düşürüyor: ne "herkes ortalamadan 3,61 gün uzakta" doğru, çünkü kimse o uzaklıkta değil, ne de "ortalama uzaklık 3,61 gün" doğru, çünkü o uzaklık 3 gün. Elenen şey bir hesap hatası değil, birim benzerliğinden doğan bir çıkarım.

Ama ölçüt ters yönde bir yanlış pozitif üretiyor ve bunu yazmak gerekiyor. İkinci ekipte ölçüt temiz çıkıyor: sapmalar eşit, standart sapma 3 gün ve "kişiler ortalamadan 3 gün sapıyor" cümlesi o kayıt için harfi harfine doğru. Ölçüt okumayı onaylıyor, ama onayladığı şey standart sapmanın anlamı değil, o dört sayıya özgü bir rastlantı. Kayda beşinci bir kişi girdiği anda sapmaların eşitliği bozuluyor, iki sayı ayrılıyor ve onay kalkıyor. Yani ölçüt kaydı sınıyor, sayıyı sınamıyor; temize çıkardığı yerde okuru "demek ki bu okuma bazen doğru" sonucuna götürüyor, oysa doğru olduğu yerde bile doğruluğun kaynağı ölçü değil, veri.

Birim uyumunun asıl karşılığı

Birim uyumunun verdiği yetki dar ve belirli: standart sapma ortalamanın iki yanına eklenip çıkarılabiliyor. Varyans bunu yapamıyordu, çünkü gün ile gün-kare toplanmıyor. Ferhat'ın kaydında ortalamanın bir standart sapma altı ve üstü 10 − 5,10 = 4,90 ile 10 + 5,10 = 15,10 arası; beş çağrıdan dördü bu bandın içinde. Bir aralık kurabilmek, standart sapmanın varyanstan devraldığı tek yeni iş.

O aralığın ne kapsadığı ise bu dersin sorusu değil. Aralığın okunması dağılımın biçimine bağlı. Normal dağılım dersinde simetrik bir dağılımda bu tür bir aralığın neyi kapsadığını, log-normal dağılım dersinde ise sağa çarpık ölçümlerde aynı aralığın nereye kaydığını görmüştün. Negatif olamayan ve sağa çarpık bir ölçümde ortalamanın bir standart sapma altı sıfırın altına bile düşebilir; hiçbir gözlemin bulunamayacağı bir yeri gösteren bir sınır, aralığın o kayıtta okunamayacağının işaretidir. Buradan çıkan şey şu kadarı: birim uyumu aralık kurma iznini veriyor, aralığı okuma iznini vermiyor.

Varyans dersinde bir kenara konan payda ayrımı da burada duruyor: bir grubun tamamı ile bir örneklem arasındaki fark standart sapmaya aynen geçiyor ve gerekçesi yine çıkarım tarafına ait. Bir de sık karıştırılan ikinci bir sayı var. Grafik okuma dersi ikisini ayırıyordu (L02-P01-M02-D08): standart sapma kayıttaki yayılımı, standart hata ortalamanın belirsizliğini tarif ediyor. Bir raporda hangisinin yazıldığı sayının büyüklüğünü doğrudan değiştiriyor ve ayrıca bakılması gereken bir şey.

Klinik gerçeklik

Bir raporda "ortalama X, standart sapma S" gördüğünde S'nin söylediği ve söylemediği ayrı duruyor. Söylediği: kayıttaki yayılım bu mertebede ve ölçümle aynı birimde, yani hastanın değeriyle yan yana konulabilir. Söylemediği: kişilerin ortalamadan tipik uzaklığı. İkisi arasındaki fark, sapmaların kayıtta ne kadar eşitsiz dağıldığından geliyor ve rapora yalnız S yazıldığında o bilgi rapordan çıkmış oluyor.

Tek bir S sayısı bu yüzden bir kaydı tarif etmeye yetmiyor. Yanında ya kaydın kaç kişilik olduğu ve değerlerin nasıl dağıldığı yazılmalı, ya da yayılımı büsbütün başka bir yoldan kuran ikinci bir ölçü verilmeli. Ferhat'ın slaytı için dürüst bir satır şöyle olurdu: "beş çağrının dördü altı ile dokuz dakika arasında ulaştı; biri, köprü kapalıyken, yirmi dakikada." Bu cümle standart sapmanın söyleyemediğini söylüyor: kışın asıl hazırlanılması gereken yer o tek çağrının yolu.

Kendini sına

1. Varyansın birimi neden yanlış okumaya karşı bir koruma sağlıyordu ve karekök o korumadan ne götürüyor?
2. Ferhat'ın beş çağrısında standart sapmayı adım adım hesapla. Kaymakam yardımcısının "ortalamadan genelde beş dakika şaşıyor" cümlesi neden yanlış? Ortalama uzaklık kaç?
3. Vakadaki kayıtta standart sapma 3,61 gün. Bu sayının kayıttaki hiçbir kişinin uzaklığı olmadığını göstermek için hangi dört sayıyı yazman yeterli?
4. Standart sapma ile ortalama mutlak sapma hangi koşulda çakışıyor? Çakışmadıklarında hangisi büyük çıkıyor ve neden yönü hiç değişmiyor?
5. "Karekök aldık, demek ki kare almanın etkisi geri alındı." Bu cümleyi iki ekibin sıralamasına ve 20 dakikalık çağrının kareler toplamındaki payına bakarak çürüt.
6. 20 dakikalık çağrı aslında 12 olsaydı standart sapma kaç olurdu? Bu, standart sapmanın hangi özelliğini gösteriyor?
7. Standart sapmanın varyanstan devraldığı yeni iş ne ve o işin hangi kısmı bu modülün dışında kalıyor?
8. Sapmaların eşit olup olmadığına bakan ölçüt, hangi kayıtta "okuma güvenli" diyor ve bu cevabı vermesinin gerçek sebebi ne? Aynı kayda bir gözlem eklendiğinde cevabın neden değiştiğini de yaz.

Bir sonraki derse köprü

Bu derste yayılım hep tek bir yoldan kuruldu: önce ortalama bulundu, sonra herkesin ona uzaklığı ölçüldü. Ortalama her gözlemi içine alan bir sayıydı; yani uçtaki bir çağrı önce ortalamayı kaydırıyor, sonra ona olan bütün uzaklıkları kaydırıyor. Karekök bunu değiştirmedi ve zincir ortalamadan geçtiği sürece değiştiremez de. Sıradaki derste yayılımı ortalamaya hiç uğramadan, medyanın yaptığı gibi sıralamadan kuracaksın: kaydı dört parçaya bölen iki konum ve aralarındaki açıklık. Uzaktaki bir hatalı kaydı düzelttiğinde standart sapma üçte birine inerken o ölçünün neden hiç kıpırdamadığını, ve bunun gerçekten bir sağlamlık mı yoksa bir körlük mü olduğunu orada sınayacaksın.