Varyans

Açılış sahnesi

Bir büyükşehir belediyesinin temizlik işleri müdürlüğünde, çeyrek sonu toplantısından önceki akşam, iş güvenliği uzmanı Tansel iki çöp toplama ekibinin kaza kayıtlarını karşılaştırıyor. Her ekipte son üç ayda iş kazası geçiren dört işçi var: elini kesen, sırtını zorlayan, kaldırımda ayağını burkan. Kayıtta her biri için kazadan sonra işe gelemediği gün sayısı yazıyor. Birinci ekipte 0, 4, 6 ve 10; ikinci ekipte 2, 2, 8 ve 8.

Tansel önce ortalamaları hesaplıyor ve ikisinde de 5 gün buluyor. Sonra her işçinin ortalamadan ne kadar uzakta olduğunu, işaretine bakmadan, topluyor ve dörde bölüyor: ikisinde de 3 gün. "Ortalamadan ortalama uzaklık" ölçüsüne göre iki ekip birbirinin aynısı. Ama tabloya bakınca aynı görünmüyorlar. Birinci ekipte iki işçi uçlarda duruyor, biri hiç izin almamış, biri on gün evde kalmış; ikinci ekipte kimse uçta değil, dört kişi ikişerli iki öbekte. Bu dersin konusu olan sayı, bu iki ekibe farklı değerler veriyor: 13 ve 9. Neden farklı verdiğini anlamak, o sayının ne olduğunu anlamakla aynı şey, ve onu nasıl yanlış okuduğumuzu da aynı yerde gösteriyor.

Önce hesabı kuralım

Bir yayılım ölçüsünü sıfırdan kurmayı dene. Elinde bir ortalama var ve her kişinin ondan ne kadar uzakta olduğunu tek bir sayıya çevirmek istiyorsun. Mod dersinin sonunda aynı soruyla ayrılmıştık: iki köyün başvuru listeleri aynı ortalamayı, aynı medyanı ve aynı modu veriyordu, ama değerlerin merkezden ne kadar uzağa dağıldığı bambaşkaydı. Üç konum özeti nerede durulduğunu söylüyordu, hiçbiri ne kadar uzaklaşıldığını söylemiyordu.

En doğal ilk hamle, sapmaları toplamak. Tutmuyor: ortalama dersinde, ortalamanın tanımı gereği sapmaların toplamının sıfır çıktığını gördün. Birinci ekipte sapmalar −5, −1, +1 ve +5; toplamları sıfır. İkinci ekipte −3, −3, +3 ve +3; toplamları yine sıfır. Eksiler artıları tam olarak götürüyor ve elde her zaman sıfır kalıyor. Bu, ortalamanın bir özelliği, ama bir yayılım ölçüsü olarak işe yaramaz bir özellik.

Demek ki işaretten kurtulmak gerekiyor ve iki yol var. Sapmaların işaretini atıp mutlak değerlerini almak ya da karelerini almak; kare de eksiyi artıya çeviriyor. Birinci yol Tansel'in ilk hesabı: birinci ekipte (5 + 1 + 1 + 5) ÷ 4 = 3, ikinci ekipte (3 + 3 + 3 + 3) ÷ 4 = 3. İkinci yolda birinci ekip için kareler 25, 1, 1 ve 25; toplamları 52 ve 52 ÷ 4 = 13. İkinci ekip için kareler dördü de 9; toplamları 36 ve 36 ÷ 4 = 9. Mutlak değer yolu iki ekibe de 3 diyor, kare yolu birincisine 13, ikincisine 9.

Fark nereden çıkıyor? Kare alma, uzaklığı orantılı biçimde büyütmüyor. Beş gün uzaktaki bir işçi hesaba 25 ile giriyor, üç gün uzaktaki 9 ile. Uzaklık üçten beşe çıkarken katkı dokuzdan yirmi beşe çıkıyor: uzaklık iki katına bile varmıyor, katkı neredeyse üçe katlanıyor. Birinci ekipte iki kişi beşer, iki kişi birer gün uzakta; ikincide dört kişinin dördü de üçer gün uzakta. Mutlak değerle bakınca toplam uzaklık eşit, kareyle bakınca değil.

Kurduğumuz şeyin adı

Tanımdaki payda üzerine bir not gerekiyor, çünkü bu akademide hangisinin kullanıldığını açıkça bilmelisin. Bir grubun tamamı elindeyse ve yalnız o grubu tarif ediyorsan payda gözlem sayısıdır; bu modüldeki bütün hesaplar, modülün sonundaki laboratuvar dağılımı özeti de dahil, bu sürümle yapılıyor. Elindeki bir örneklemse ve ondan daha büyük bir nüfus hakkında konuşuluyorsa paydası bir eksik olan bir sürüm kullanılıyor: birinci ekip için 52 ÷ 3 ≈ 17,33 çıkardı. O ayrımın gerekçesi çıkarım tarafına ait ve burada kurulmayacak; bu dersin 13'ü, Tansel'in yalnız bu dört işçiyi tarif ettiği hesabın sonucu.

Kartın son cümlesi Tansel'in işine doğrudan dokunuyor. İş güvenliğinde on günlük bir iş göremezlik, bir günlük on izinle aynı ağırlıkta değildir; uzun süren bir yokluk daha ağır bir kazayı, daha uzun bir iyileşmeyi işaret eder. Bir yayılım ölçüsünün uçtaki bu tür kayıtları bilerek öne çıkarması, uzmanın tam da görmek istediği şey olabilir. Ama bunun bedeli, birazdan göreceğin gibi, tek bir kaydın bütün sayıyı taşıyabilmesi.

Tek kişinin herkesin ölçüsünü değiştirmesi

Orantısız ağırlığın klinik okumada doğrudan bir sonucu var. Medyan dersinde küçük bir grupta medyanın tek bir kişinin ölçümü olduğunu görmüştün; oradaki sorun, medyanın uçtaki kişiyi hiç okumamasıydı. Varyansta bunun tersi işliyor. Uçtaki kişi okunuyor, hem de karesiyle, ve tek bir kişi, grubun yayılımını tarif ettiği söylenen sayıyı tek başına yukarı çekebiliyor.

Mod dersinin sonundaki iki köy bunun somut hâli. On birer kişilik iki başvuru listesi aynı ortalamayı, yaklaşık 1,9'u, aynı medyanı ve aynı modu veriyordu. Varyansları aynı değil: birincisinde yaklaşık 7,36, ikincisinde yaklaşık 9,90. Üç konum özetinin ayırt edemediği iki kaydı yayılım ölçüsü ayırt ediyor ve o köprüde sorulan sorunun cevabı bu. Şimdi farkın nereden geldiğine bak. İkinci köyde ortalama 21 ÷ 11 ≈ 1,91 ve kare sapmaların toplamı yaklaşık 108,91. Bu toplamın yaklaşık 37,10'u sekiz kez inen kişiden, 50,28'i dokuz kez inen kişiden geliyor; ikisi birlikte 87,38 ve 87,38 ÷ 108,91 ≈ 0,80. On bir kişilik bir listede iki kişi, varyansın beşte dördünü taşıyor.

Ama aynı duyarlılık ters yönde de çalışıyor. İkinci listedeki farkı üreten şey, iki kişinin çok yüksek başvuru sayısı. O iki kayıttan biri bir giriş hatası olsaydı, varyans yine değişirdi ve bu kez değişimi üreten şey veri değil hata olurdu. Bu yüzden bir varyans bildirildiğinde iki şeye birden bakmak gerekiyor: grup kaç kişilik ve merkeze belirgin biçimde uzak bir iki kayıt var mı. İkisi birden doğruysa o sayı grubun değil, o birkaç kaydın sayısı olabilir.

Bakış her kayıtta aynı sonucu vermiyor ve vermemesi tam da işe yaradığı anlamına geliyor. Gözlem sayısı büyük ve değerler merkez çevresinde toplanmış bir kayıtta tek bir uzak gözlemin payı küçük kalıyor; orada "bu varyans gruba ait" cevabı çıkıyor ve doğru çıkıyor. Yanıldığı yer ise şurası: merkeze uzak kayıtların varlığı bir hata belirtisi değil. Bir grupta gerçekten çok farklı seyreden birkaç kişi olabilir ve varyansı yukarı çeken şey tam da bildirilmesi gereken bilgi olabilir. Ölçüt kaydın uzak olduğunu görüyor, yanlış olup olmadığını görmüyor; o soru kayda bakmayı gerektiriyor.

Bir varyans, neyin varyansı

Bir yayılım sayısı her zaman bir grup üzerinde hesaplanıyor ve o grubun kimlerden oluştuğu sayıyı belirliyor. İki küçük grup düşün. Birincisinde dört kişinin değeri de 10, ikincisinde dört kişinin değeri de 20. Her iki grubun kendi içindeki varyansı sıfır, çünkü hiç kimse kendi grubunun ortalamasından sapmıyor.

Şimdi sekiz kişiyi tek bir kayıtta birleştir. Ortalama (4 × 10 + 4 × 20) ÷ 8 = 15 oluyor. Her kişi bu yeni ortalamadan tam beş birim uzakta, her karesi 25, sekiz karenin toplamı 200 ve 200 ÷ 8 = 25. Kimsenin ölçümü değişmedi. Birleştirilmiş varyansın bildirdiği yayılım, hiçbir kişinin yaşadığı yayılım değil; iki grubun arasındaki açıklık.

Tansel'in raporunda da aynı tuzak bekliyor. Müdürlük iki ekibi tek bir "temizlik işleri" satırında birleştirmek isterse, iki ekibin ortalaması aynı olduğu için birleşik sayıya gruplar arası bir pay eklenmez: sekiz işçide kare sapmaların toplamı 52 + 36 = 88 ve 88 ÷ 8 = 11, iki ekibin varyanslarının tam ortası; ama ekiplerden biri ağır yük taşıyan, öbürü sokak süpüren ekip olsaydı ve ortalamaları ayrışsaydı, birleşik sayı işin türü arasındaki farkı kişiler arasındaki dalgalanma gibi gösterirdi.

Klinik gerçeklik

Bir yayılım sayısıyla karşılaştığında onu tek başına okuyamıyorsun; yanında iki şey olmak zorunda. Birincisi kimlerin kaydı olduğu: hangi grup, kaç kişi. İkincisi sayının hangi düzenden çıktığı: aynı şeyin tekrar ölçülmesinden mi, farklı kişilerin ölçülmesinden mi. Bu ikisi yazılmadığında ortada bir yayılım ölçüsü değil, kaynağı belirsiz büyüklükte bir sayı var.

Tansel'in toplantıya götüreceği cümle de buradan kuruluyor. İki ekibin ortalaması aynı, ama birinci ekipte on gün evde kalan bir işçi var ve varyansın büyük kısmını o taşıyor. Toplantıda sorulacak soru "hangi ekip daha değişken" değil, "o on günlük kaza nasıl oldu ve tekrarlanabilir mi" sorusu. Varyans oraya bakmayı söyledi; cevabı kayıt verecek.

Kendini sına

1. Sapmaları doğrudan toplamak neden bir yayılım ölçüsü vermiyor? Birinci ekibin sapmalarıyla göster.
2. Açılıştaki iki ekip aynı ortalama mutlak sapmayı verirken neden farklı varyans veriyor? İki hesabı da yaz.
3. "Varyans, ortalamadan ortalama uzaklıktır" cümlesi neden yanlış — ve bu yanlışın birimle ilgili ayrı bir işareti ne?
4. Bu modülde varyansın paydası nedir? Paydası bir eksik olan sürüm hangi durumda kullanılır ve birinci ekip için kaç verirdi?
5. Kare almak bir kusur mu, bir tercih mi? Cevabını bir soruyla birlikte ver: hangi durumda uzaktaki gözlemleri öne çıkarmak istenir?
6. İkinci köyün listesinde iki kişi varyansın ne kadarını taşıyor? Küçük bir grupta varyansın grubu mu yoksa birkaç kaydı mı tarif ettiğini nasıl sınarsın, ve sınamanın gerçek bir bilgiyi hata sandığı durum ne?
7. Kendi içlerinde hiç yayılımı olmayan iki grup birleştirildiğinde varyans neden sıfır kalmıyor?
8. Yüksek bir varyans hangi iki ayrı şeyden gelebiliyor ve ikisini ayırmak için hesaba değil neye bakmak gerekiyor?

Bir sonraki derse köprü

Birinci ekibin varyansı 13 çıktı. On üç ne? Ölçüm gün cinsinden olduğu için varyansın birimi gün değil, günün karesi, ve "işçiler ortalamadan on üç gün-kare sapıyor" diye bir cümle kurulamıyor. Kare alma işaretten kurtardı, ama sayıyı verinin kendi biriminden çıkardı. Sıradaki derste karenin geri alındığı sayıyı kuracaksın ve birim geri geldiğinde neyin gerçekten geri alındığını, neyin hesapta kalmaya devam ettiğini soracaksın: uzaktaki işçinin orantısız ağırlığı da mı gidiyor, yoksa yalnız etiket mi değişiyor?