Mod

Açılış sahnesi

Ekim sonunda bir ilçe sağlık müdürlüğünün gezici sağlık ekibi, kışın yolu sık sık kapanan bir dağ köyüne son ziyaretini hazırlıyor. Ekibin hemşiresi Emine, köyde yaşayan yetmiş beş yaş üstü on bir kişinin geçen yıl ilçedeki acil servise kaç kez indiğini kayıtlardan çıkarmış: 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 5 ve 9. Ekip, kış boyunca hangi evlere ek ziyaret planlayacağına bu listeye bakarak karar verecek. Toplantı masasında üç kişi aynı listeden üç ayrı "tipik" sayı çıkarıyor.

Ekip hekimi toplamı kişi sayısına bölmüş ve yaklaşık 1,9 bulmuş. Şoför listeyi sıraya dizip ortadaki altıncı kişiye bakmış ve 1 demiş. Emine ise en sık görülen değeri söylemiş: 0. Üçü de doğru hesaplamış. Ama biri ötekilerden ayrı bir şey yapıyor: 1,9 köyde kimsenin başvuru sayısı değil, 1 iki kişinin sayısı, 0 ise beş kişinin. Emine'nin sayısı yalnız bir değer bildirmiyor, arkasında kaç kişi durduğunu da bildiriyor. Ve aynı özet, ötekilerin hiç yapmadığı bir şeyi daha yapabiliyor: bazı listelerde cevap vermeyi reddediyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu üçüncü özeti tanımlayıp Emine'nin listesinde ve daha önce gördüğün iki kayıtta elle bulacağız. Sonra modun verdiği garantiye bakacağız: bildirdiği değeri gerçekten birinin taşıdığı garantisi. Ardından veremediği garantiye geçeceğiz, yani bir listede hiç mod olmamasına ya da birden çok mod çıkmasına. Son bölümde elle yazılan ölçümlerde modun ölçülen büyüklüğü değil kalemi sayabildiği yeri bir tansiyon listesiyle hesaplayacağız.

Saymaktan başka işlem yok

Bu modülün ilk iki dersi hesap isteyen özetlerdi. Ortalama toplama ve bölme istedi. Medyan toplamayı istemedi ama sıraya dizmeyi istedi. Üçüncüsü ikisini de istemiyor.

Emine'nin listesinde sayım şöyle: 0 beş kez, 1 iki kez, 2, 3, 5 ve 9 birer kez. En yüksek sayım beş ve onu taşıyan değer 0, dolayısıyla mod 0. Medyan dersindeki yedi bekleme süresine, 1, 2, 2, 3, 5, 8 ve 40 güne, aynı gözle bak: iki kişinin süresi ikişer gün ve başka hiçbir değer tekrarlanmıyor. Ortalama o tekrarı toplamın içinde eritmiş, medyan sıraya bakıp üçüncü günü seçmişti; hiçbiri bir değerin kaç kez geçtiğini saymamıştı. Mod sayar ve 2 der, iki kişiyle.

Saymanın yeterli olmasının bir sonucu nominal ve ordinal ölçek dersinde kurulmuştu (L02-P03-M01-D02): sıralanamayan kategorilerde, kan grubu, başvuru yakınması ya da meslek gibi, sayım ve mod dışında hiçbir merkezî eğilim ölçüsü anlamlı değil. Hastanenin iki binasına gelen başvurularda "merkez bina" cevabını en sık görülen kategori olarak söyleyebiliyordun, ama binaları küçükten büyüğe dizemiyordun. Burada sorulan başka: sayma dışında hiçbir şey yapmayan bir özetin, hesap yapan iki özette bulunmayan hangi özellikleri var? İki tane var ve ikisi de hem kazanç hem kayıp olarak okunabiliyor.

Modun verdiği garanti

Mod, bildirdiği sayının gerçekten gözlenmiş olduğunu garanti ediyor; öteki iki özet bunu garanti etmiyor. Kesikli ve sürekli veri dersinde bir rapor kesirli bir gebelik sayısını ortalama olarak bildiriyordu ve o değeri taşıyan tek bir kadın yoktu. On kadının gebelik sayıları 1, 2, 2, 2, 3, 1, 4, 2, 3 ve 3'tü; ortalama 23 ÷ 10 = 2,3. Aynı listeyi say: 1 iki kez, 2 dört kez, 3 üç kez, 4 bir kez. Mod 2 ve arkasında dört kadın var; o derste dağılımı anlatırken "en sık görülen değer iki, on kadının dördünde" diye yazılan cümle tam olarak bu sayımdı.

Medyan dersinde de gözlem sayısı çift olduğunda medyanın ortadaki iki gözlemin arasına düştüğünü, yani kimsede bulunmayan bir değer olabileceğini gördün. Modda böyle bir durum yok: bir sayım en yüksekse, o sayımı üreten en az bir kayıt var. Bu, klinik okumada işe yarayan bir özellik. Bir mod bildirildiğinde onun yanına "kaç kişi?" sorusu sorulabiliyor ve cevabı her zaman sıfırdan büyük. Ortalamanın yanına aynı soru sorulduğunda cevap çoğu kez sıfır; Emine'nin listesinde 1,9 başvurulu kimse yok.

Ama garantinin sınırı da aynı sayımda duruyor. Emine'nin 0'ı gerçekten beş kişinin değeri, fakat bu beş kişi listenin en alt ucunda. Ekip "tipik köylü hiç acile inmiyor" deyip kışı buna göre planlarsa, dokuz kez inen kişiyi ve onun gibi birkaç kişiyi en baştan gözden çıkarmış olur.

Modun veremediği garanti

Ortalama ve medyan her veri kümesinde tam olarak bir sayı veriyor; mod vermeyebiliyor. Bütün değerlerin birbirinden farklı olduğu bir kümede hiçbir değer ötekilerden daha sık geçmiyor ve mod tanımsız kalıyor. Birden fazla değerin aynı en yüksek sayımı paylaştığı kümede ise mod tek değil, birkaç tane. Emine'nin listesinde sıfırlardan biri ve 2 yazılan değer aslında 1 olsaydı, 0 ve 1 dörder kez geçerdi ve "en sık görülen değer" sorusunun tek bir cevabı kalmazdı.

Kartın notundaki okuma sonucu klinik raporlarda sık karşına çıkar. Tek bir ad yazıldığında, o adın arkasındaki sayım ile ikinci sıradaki sayım arasındaki uzaklık görünmez olur. Aşağıdaki vaka bunun en yalın hâli.

Sayımın kaydı taklit ettiği yer

Modun tek işlemi saymak olduğu için, saydığı şeyin kaydedilme biçimine tümüyle bağımlı. Bu, sürekli ölçümlerde bir soruna dönüşüyor. Elle okunan ve yazılan ölçümlerde değerler sık sık yuvarlanıyor; kan basıncı okumalarının son rakamının sıfıra çekilmesi bilinen bir örnek. Yuvarlama olduğunda sayımlar yuvarlama noktalarında toplanıyor ve o noktalardan biri "en sık görülen değer" olarak çıkıyor.

Gezici ekibin aynı ziyarette on iki kişinin büyük tansiyonunu ölçtüğünü düşün. Otomatik cihazın ekranında okunan değerler 128, 131, 133, 134, 136, 137, 138, 139, 141, 142, 144 ve 146. On iki değerin hiçbiri tekrarlanmıyor, dolayısıyla bu listede mod yok. Şimdi aynı okumaları kâğıda en yakın ona yuvarlayarak yazan bir ekip üyesi düşün: dört kişi 130, yedi kişi 140, bir kişi 150 olur. Mod birden ortaya çıkar, 140, yedi kişiyle. Ortalama ise 137,42'den 137,5'e kıpırdar, yani yuvarlama onu ancak onda birkaç basamak oynatır. Ortaya çıkan mod, ölçülen tansiyonun değil, kaydın bir özelliği.

Okurken sınanacak şey şu: bildirilen mod, kaydın yuvarlandığı basamağa oturuyor mu? Oturuyorsa o mod ölçümün değil kalemin olabilir. Ölçüt her veriye uymuyor, ayırdığı bir durum var: sıralanamayan kategorilerde yuvarlama diye bir işlem yok. Başvuru yakınması ya da kan grubu sayılırken bir değer "aşağı yuvarlanamıyor", dolayısıyla ölçüt o modları temize çıkarıyor ve orada çıkan kalabalık gerçek bir kalabalık.

Yanılabildiği yer ise şurası. Bir izlem çalışmasında kontrol randevuları protokol gereği belirli bir haftaya veriliyorsa, "kaç hafta sonra gelindi" değişkeninin modu tam o haftaya oturur ve o hafta yuvarlak bir sayıdır. Ölçüt "kayıt eseri" der. Oysa yoğunlaşma gerçek; yalnız kaynağı biyoloji değil, randevu defteri. Ölçüt sayının nereden geldiğini değil, nereye oturduğunu görüyor.

Klinik gerçeklik

Bir raporda "en sık görülen değer" ifadesini gördüğünde sorulacak iki şey var ve ikisi de sayıyla ilgili: o değerin sayımı kaç ve ikinci sıradaki sayım ondan ne kadar uzak. Birinci soru modun arkasındaki kalabalığı görünür kılıyor, ikincisi tek bir adın altında ikinci bir kalabalığın saklanıp saklanmadığını. İkisi de cevaplanmadığında elde kalan şey bir özet değil, bir ad.

Emine'nin ekibi için dürüst özet üç sayıyı birlikte taşır: on bir kişiden beşi geçen yıl hiç acile inmemiş, ortadaki kişi bir kez inmiş, ama iki kişi beş ve dokuz kez inmiş. Kış ziyareti için asıl işe yarayan bilgi ne mod ne medyan; listenin ucundaki o iki ev. Mod kalabalığı gösterir, kimin yardıma en çok ihtiyaç duyduğunu göstermez.

Kendini sına

1. Emine'nin listesinde üç özet üç farklı sayı verdi. Hangisi bir kişinin gerçek değeri değildi ve neden?
2. Mod hangi tek işlemle bulunuyor ve bu işlem sadeliği ona hangi veri türünde tek seçenek olma özelliği kazandırıyor?
3. "Mod her zaman gözlenmiş bir değerdir" cümlesi ortalama ve medyan için neden kurulamıyor? Her biri için birer karşı durum yaz.
4. On kadının gebelik sayılarında mod kaç ve arkasında kaç kadın var? Aynı listenin ortalamasını kaç kadın taşıyor?
5. En sık görülen değer dizinin en küçüğü olabiliyorsa, mod bir "merkez" ölçüsü sayılabilir mi?
6. Bir veri kümesinde mod hangi iki durumda tek bir sayı olarak bildirilemez?
7. Tansiyon listesinde yuvarlamadan önce mod neden yoktu, yuvarlamadan sonra neden 140 çıktı? Aynı yuvarlama ortalamayı ne kadar oynattı?
8. Modun kayıt eseri olup olmadığını sınayan ölçüt neydi ve hangi durumda gerçek bir yoğunlaşmayı yanlışlıkla kayıt eseri ilan ediyor?

Bir sonraki derse köprü

Emine'nin listesinin yanına başka bir köyün listesini koy: 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 8 ve 9. Toplam yine 21, ortalama yine yaklaşık 1,9; ortadaki kişi yine 1, en sık görülen değer yine 0. Üç özet birebir eşleşiyor. Ama ikinci köyde dokuz kişi neredeyse hiç inmemiş, iki kişi çok sık inmiş; birinci köyde ise başvuru sayıları basamak basamak yükseliyor. Üç özet de nerede durulduğunu söylüyor, hiçbiri değerlerin o merkezden ne kadar uzağa dağıldığını söylemiyor. Sıradaki derste bu uzaklığı tek bir sayıya çevirmenin ilk yolunu kuracaksın ve iki köyün, aynı merkeze rağmen, o sayıda nasıl ayrıldığını hesaplayacaksın.