Medyan

Açılış sahnesi

Bir aile hekiminin muayene odasında, cuma sabahı, bir hastanın kızı masaya katlanmış bir özet kâğıdı bırakıyor. Babasının hastalığıyla ilgili bir izlem çalışmasının özeti bu ve kalemle çizilmiş tek bir satır var: "medyan sağkalım otuz bir ay." Aynı özetin birkaç satır aşağısında başka bir bilgi duruyor: çalışma kapandığında katılımcıların üçte biri hâlâ hayattaydı. Kızın sorusu basit: "Ortalama ne kadar yaşıyorlar, bunu neden yazmamışlar?"

Hekim iki satırı yan yana okuyunca sorunun cevabını görüyor. O üçte birin sağkalım süresi bilinmiyor, çünkü çalışma bittiğinde onlar yaşıyordu. Bilinmeyen sayılar toplanamaz, toplanamayan sayılar bölünemez; bu gruptan bir ortalama çıkarmak mümkün değil. Ama medyan çıkarılmış. Bu ders o "nasıl" sorusunun peşinden gidiyor, çünkü cevabı medyanın hem en güçlü hem en kör yanını aynı anda açıklıyor.

Bu derste ne olacak

Önce medyanı tanımlayıp tek ve çift sayıda gözlemde elle bulacağız. Sonra açılıştaki özetin küçük bir kopyasını, dokuz kişilik bir izlemi kurup ortalamanın neden hesaplanamadığını, medyanın neden hesaplanabildiğini sayılarla göreceksin. Ardından medyanın ünlü direncine bakacağız: uçtaki değere karşı gerçekten dirençli, ama ortadaki bir hataya karşı değil. Son bölümde bir raporda medyan gördüğünde neyi bildiğini, neyi bilmediğini ayıracağız.

Sıfır noktası

Ortalama dersinde ortalamanın bütün gözlemlerin büyüklüğünü içine alan bir hesap olduğunu görmüştün. Orada bu bir kazanç olarak yazılmıştı, çünkü hiçbir gözlem dışarıda kalmıyordu. Burada aynı özellik bir ön koşul olarak geri geliyor: bir gözlemi içine almak için değerini bilmek gerekiyor. Tek bir gözlemin değeri bilinmiyorsa ortalama hesaplanamıyor. Medyanın tanımı bu ön koşulu taşımıyor ve bütün fark oradan çıkıyor.

Tek sayıda gözlemde ortadaki yer kolay bulunur. Yedi gözlem varsa ortadaki, (7 + 1) ÷ 2 = 4, yani dördüncü sıradaki gözlemdir: altında üç, üstünde üç kişi kalır. Çift sayıda gözlemde bu hesap bir kesir verir ve ortada tek bir kişi durmaz. On gözlemde (10 + 1) ÷ 2 = 5,5 çıkar; medyan beşinci ile altıncı gözlemin tam ortasıdır. Beşinci kişinin değeri 26, altıncınınki 31 ise medyan (26 + 31) ÷ 2 = 28,5 olur ve bu, dizideki hiç kimsenin değeri değildir.

Mekanizma

Bilinmeyen değerlerle çalışmak

Açılıştaki özetin küçük bir kopyasını kuralım. Dokuz kişi otuz altı ay izleniyor. Altısı izlem içinde olayı yaşıyor; süreleri ay olarak 4, 9, 14, 20, 31 ve 33. Kalan üçü çalışma kapandığında hâlâ hayatta, yani süreleri "en az 36". Sansürlü veri dersinde bu tür kaydı tanımlamıştın: gerçek süre bilinmiyor, ama "en az şu kadar" bilgisi elde duruyor. Dokuz kişinin üçü, tam açılıştaki gibi, grubun üçte biri.

Ortalamayı denersen hesap yarıda kalır. Bilinen altı sürenin toplamı 111. Üç sansürlü kişiye en küçük olası değeri, 36'yı versen bile toplam 111 + 108 = 219 olur ve 219 ÷ 9 ≈ 24,3 çıkar. Bu bir ortalama değil, ortalamanın alt sınırı: gerçek ortalama bundan büyük, ama ne kadar büyük olduğunu hiçbir satır söylemiyor. O üç kişi on yıl daha yaşarsa sayı büyük ölçüde değişir.

Medyan için bu bilgi yeter. Dokuz kişide ortadaki yer (9 + 1) ÷ 2 = 5, yani beşinci sıra. Sıraya diz: 4, 9, 14, 20, 31, 33 ve ardından üç tane "36'dan fazla". Beşinci kişi 31 ayda olayı yaşamış ve medyan sağkalım 31 ay. Sansürlü üç kişinin süresi bilinmiyor, ama hepsinin 31'in üstünde durduğu kesin, çünkü izlem penceresinin sonuna kadar olay gelmedi. Medyanın sorduğu soru bu kadar: her gözlemin değerini değil, ortadakinin hangi tarafında kaldığını bilmek yetiyor.

Burada bir ayrım şart, çünkü bütün sansürlü kayıtlar aynı değil. Çalışma kapandığı için sansürlenen kişide akıl yürütme doğrudan işliyor: pencerenin sonuna kadar izlendi, olay gelmedi, süresi pencereden uzun. İzlemden düşen kişide, bağlantısı çalışmanın ortasında kesilen birinde, böyle bir şey söylenemiyor; onun süresi ortadaki sürenin altında da olabilir üstünde de. O gözlemi hesaba katmak sıralamayı okumaktan fazlasını, sansüre uygun bir eğri hesabını gerektiriyor ve o hesap bu dersin değil, sağkalım analizinin konusu.

Kazancın sınırı da aynı hesapta görünüyor. Dokuz kişiden yalnız dördü olayı yaşamış olsaydı, beşinci sıra sansürlü birine düşerdi ve onun süresi bilinmediği için medyan da bilinemezdi. Ortadaki kişiye gelinmemişse medyan da yoktur.

Direncin bedeli: ortadaki gözlem

Medyanın uçtaki değeri okumaması genellikle bir dayanıklılık olarak anlatılır. Dayanıklılığın nereye kadar uzandığını görmek için yedi kişilik küçük bir kayda bakalım: bir test sonucunu bekleme süreleri, gün cinsinden 1, 2, 2, 3, 5, 8 ve 40. Ortadaki dördüncü gözlem 3, yani medyan üç gün. Toplam 61 ve ortalama 61 ÷ 7 ≈ 8,7.

Önce uçtaki değeri boz. En uzun bekleyenin süresi yanlışlıkla 40 yerine 400 yazılmış olsun. Toplam 421'e çıkar ve ortalama 421 ÷ 7 ≈ 60,1 olur; sayı neredeyse yedi katına fırladı. Medyan ise hâlâ üç, çünkü dördüncü sıradaki kişi aynı kişi. Direnç denen şey bu ve gerçek bir özellik: uçtaki bir değer ne kadar büyürse büyüsün, sırası değişmediği sürece medyana ulaşmıyor.

Şimdi uçtakini düzelt ve ortadakini boz. Dördüncü kişinin satırına yanlışlıkla başka birinin süresi geçmiş olsun: 3 yerine 6. Dizi 1, 2, 2, 5, 6, 8, 40 oluyor ve medyan 3'ten 5'e çıkıyor, iki günlük bir sıçrama. Ortalama 61 ÷ 7 ≈ 8,7'den 64 ÷ 7 ≈ 9,1'e çıkıyor, yarım günden az. Aynı tek hata, dirençli sayılan özeti öbüründen dört kattan fazla oynattı.

Sebebi yine tanımda. Ortalama o hatayı yedi gözleme bölerek seyreltiyor, medyan seyreltmiyor ve ortadaki gözlemin değerini olduğu gibi devralıyor. Küçük bir grupta medyan, tek bir kişinin ölçümüdür. Buradan bir okuma ölçütü çıkıyor: bir medyan, ortadaki gözlemlerin birbirine uzaklığı kadar kabadır. Kayda ortadakinden büyük tek bir gözlem eklensin, örneğin 10; gözlem sayısı sekize çıkar, medyan (3 + 5) ÷ 2 = 4 olur ve tek bir kişi özeti bir tam gün yürütür.

Bu ölçüt her kayda uyan bir cümle değil, ayırdığı bir durum var. Ortadaki gözlemler sıkışıksa, değerler 3, 3, 3 diye gidiyorsa, tek bir kişi eklemek medyanı kıpırdatmaz ve ölçüt o medyanı kaba saymaz. Ama ayırt ettiği yerde yanılabiliyor. Süreler tam güne yuvarlanarak kaydedilmişse ortadaki gözlemler yapay olarak üst üste biner ve ölçüt sağlam der; sıkışıklığın olduğunu görür, nereden geldiğini görmez.

Klinik gerçeklik

Bir raporda medyan gördüğünde bildiğin şey şu: grubun yarısı bu sayının altında, yarısı üstünde. Bilmediğin şey, üstündekilerin ne kadar üstünde olduğu. Dokuz kişilik izlemde sansürlü üç kişi 37 ayda da ölebilirdi, on beş yıl da yaşayabilirdi; medyan iki durumda da 31 ay yazardı. Bu iki cümle aynı tanımdan çıkıyor: medyanı yarısı bilinmeyen veride bile hesaplanabilir kılan özellik ile uçtaki uzaklığı gizleyen özellik aynı özellik ve ikisi birbirinden ayrılamıyor.

Açılıştaki kızın sorusuna hekimin verebileceği dürüst cevap da buradan çıkıyor. Ortalama yazılmamış, çünkü hesaplanamazdı; yazılan otuz bir ay, izlenen kişilerin yarısının olayı yaşadığı andır ve babasının tek başına ne kadar yaşayacağını söylemez. Uzun dönemi merak ediyorsa bakılacak yer, özetin başka satırlarındaki belirli zaman noktalarının oranları ya da eğrinin kendisidir. Bu yüzden bir medyanın önünde sorulacak şey onun ortalamadan iyi olup olmadığı değil, o gün verilecek kararın uçtaki uzaklığa bağlı olup olmadığıdır.

Aynı soru laboratuvarda da karşına çıkacak. Modülün sonundaki laboratuvar dağılımı özeti görevinde bir ölçümün ortalamasını ve ortancasını yan yana koyup hangisinin hangi soruya cevap verdiğine karar vereceksin. Oraya giderken bu dersten götürmen gereken, medyanın büyüklükleri değil sıraları okuduğudur.

Kendini sına

1. Açılıştaki özette ortalama sağkalım neden yazılmamıştı, medyan neden yazılabildi? Dokuz kişilik kurgu izlem üzerinden açıkla.
2. 5, 8, 12, 15, 40 dizisinin medyanı nedir? Diziye 20 eklenirse medyan kaç olur ve bu değer dizide var mı?
3. Dokuz kişilik izlemde ortalama için neden yalnız bir alt sınır (yaklaşık 24,3) hesaplanabildi?
4. Aynı izlemde yalnız dört kişi olayı yaşamış olsaydı medyana ne olurdu? Rapor bunu nasıl yazardı?
5. Bekleme süreleri kaydında 40'ın 400 olması medyanı neden hiç oynatmadı, ortadaki 3'ün 6 olması neden iki gün oynattı?
6. "Medyan dirençlidir" cümlesi hangi hata türü için doğru, hangisi için yanlış?
7. Bir medyanın ne kadar kaba olduğunu gösteren ölçüt neydi ve bu ölçütün yanlış pozitifi nasıl doğuyor?

Bir sonraki derse köprü

Yedi bekleme süresine bir kez daha bak: iki kişinin süresi aynı, ikişer gün. Ne ortalama ne medyan bu tekrarı gördü; biri toplama baktı, öteki sıraya, hiçbiri bir değerin kaç kez geçtiğini saymadı. Çift sayıda gözlemde medyanın kimsenin sahip olmadığı bir değere düşebildiğini de gördün. Sıradaki ders, yalnız sayarak çalışan ve bildirdiği değerin gerçekten birinde gözlendiğini garanti eden bir özeti ele alıyor; sıralanamayan kategorilerde geriye kalan tek merkez ölçüsünün de o olduğunu, ve bazı veri kümelerinde neden hiç cevap veremediğini orada göreceksin.