Ortalama

Açılış sahnesi

Bir ilçe devlet hastanesinin enfeksiyon hastalıkları servisinde, perşembe öğleden sonra, bacağındaki selülit, yani cilt ve cilt altı dokunun bakteriyel enfeksiyonu için yatırılan Recai taburcu olmak için eşyalarını topluyor. Belediye parklarında bahçıvanlık yapıyor; enfeksiyon, budama sırasında kaval kemiğinin üstünde açılan bir çizikten başlamıştı ve pazartesi işe dönmek istiyor. Koridordaki kalite panosunda bir satır gözüne takılmış: "Geçen ay selülit nedeniyle yatan hastaların ortalama kalışı: 4 gün." Kendisi üçüncü gününde çıkıyor ve servis hemşiresi Didem'e soruyor: "Ortalamanın altında çıkıyorum, erken mi gönderiyorsunuz beni?"

Elindeki tahlil kâğıdında da aynı türden bir kaygı var. Potasyum satırında sonucu 4,9, yanında laboratuvarın bildirdiği referans aralığı: 3,5 ile 5,1 arası. Değer aralığın içinde ama üst sınıra yakın, ve Recai aralığın tam ortasını kafasında çoktan hesaplamış. "Ortada olsaydım daha mı iyi olurdu?" diye ekliyor. İki soru aynı alışkanlıktan geliyor: bir gruptan çıkarılmış bir sayıyı, tek bir kişi için bir hedef ya da bir normal sanmak. Bu ders o sayının neyi tarif ettiğini, neyi tarif etmediğini gösteriyor.

Bu derste ne olacak

Önce panodaki dört günün nereden geldiğini, dokuz hastanın kalış süreleriyle elle hesaplayacağız ve ortalamanın neden bir denge noktası olduğunu göreceğiz. Sonra aynı dokuz kalışın ortadaki değerini bulup iki özetin ayrılmasının neyi işaret ettiğini, neyi işaret edemediğini konuşacağız. Ardından tahlil kâğıdına dönüp referans aralığının ortasındaki sayının nereden geldiğini açacağız. Son bölümde bir ortalamanın cevapladığı soruyla cevaplamadığı soruyu ayıracağız.

Sıfır noktası

Ortalamanın hiç kimsenin değeri olmak zorunda olmadığını bu akademide iki kez gördün. Bernoulli dağılımı dersinde "yanıt verdi mi" sütununa 1 ve 0 yazılınca sütunun ortalaması 0,3 çıkmıştı ve hiçbir hasta 0,3 değildi. Kesikli ve sürekli veri dersinde on kadının ortalama gebelik sayısı 2,3'tü ve hiçbir kadın 2,3 kez gebe kalmamıştı. İki sayı da hesap olarak doğruydu, ama ikisi de tek bir kişiyi tarif etmiyordu. Geriye cevaplanmamış bir soru kalıyor ve tanımlayıcı istatistik tam oradan başlıyor: ortalama bireyi tarif etmiyorsa neyi tarif ediyor?

Tanımdaki "sıralı kategorilerde değil" kaydı, nominal ve ordinal ölçek dersinden geliyor: adet ağrısının şiddetini hafif, orta ve şiddetli diye kaydeden bir formda basamaklar arasındaki uzaklık bilinmediği için o basamaklara 1, 2, 3 yazıp ortalamasını almak güvenli değildi. Bu derste yalnız sayısal ölçümlerle, burada günlerle ve bir kan değeriyle çalışacağız.

Mekanizma

Ortalama, sapmaların sıfırlandığı nokta

Panodaki satırın arkasında geçen ay selülit nedeniyle yatan dokuz hasta var. Kalış süreleri, gün olarak: 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4 ve 14. Son hastada enfeksiyon derin dokulara yayılmış, bir apse cerrahi olarak boşaltılmış ve hasta iki haftaya yakın yatmış. Toplam 36, gözlem sayısı 9 ve ortalama 36 ÷ 9 = 4. Panodaki sayı doğru hesaplanmış.

Şimdi her değerin 4'ten sapmasını yaz: −2, −2, −2, −1, −1, −1, −1, 0 ve +10. Bunları topladığında sıfır çıkıyor; yedi küçük eksi, tek bir büyük artıyı tam olarak karşılıyor. Bu bir tesadüf değil, tanımın kendisi. Ortalama, sapmaların birbirini götürdüğü tek nokta, bir terazinin dengeye geldiği yer. Dokuz kalışı bir kirişin üzerine ağırlık gibi dizsen, kiriş dördüncü günün altına konan bir destek üzerinde dengede durur.

Denge noktası olmasının iki sonucu var ve ikisi aynı özelliğin iki yüzü. Birincisi, hiçbir gözlem dışarıda kalmıyor: on dört günlük kalış hesaba bütün büyüklüğüyle giriyor. İkincisi, tam bu yüzden yalnız ortalama, gözlem sayısıyla çarpıldığında toplamı geri verir: 4 × 9 = 36 yatak-günü. Aynı çarpımı birazdan göreceğin ortadaki değerle yaparsan 3 × 9 = 27 bulursun ve dokuz yatak-günü kaybolur. Bir yatak planı, bir toplam iş yükü ya da bir kaynak dağıtımı sorulduğunda ortalamanın tek başına cevapladığı soru budur.

Cevaplamadığı soru ise şu: bu 36 gün dokuz kişiye nasıl dağılmıştı? Dokuz hastanın dokuzunun da tam dört gün kaldığı bir ay düşün. Toplam yine 9 × 4 = 36, ortalama yine 4. Ortalama iki ayda da doğru ve ikisini birbirinden ayırmıyor. Recai'nin sorusuna cevap da buradan çıkıyor: dokuz hastanın yedisi dört günden kısa kalmış, yani üç günde taburcu olmak bu servisin olağan akışı. Panodaki dört, tek bir uzun kalışın sayıyı yukarı çekmesinden doğuyor.

Ortalama ile medyanın arası bir işaret

Dokuz kalışı sıraya dizdiğinde ortada duran, beşinci sıradaki değer 3 gün. Buna ortadaki değer, yani medyan diyoruz ve bir sonraki dersin konusu o. Burada yalnız şunu gör: ortalama 4, ortadaki değer 3 ve iki sayı birbirinden ayrılmış. Herkesin dört gün kaldığı öbür ayda ise ortalama da ortadaki değer de 4; ayrılma yok. Ölçüt buradan çıkıyor: ortalama ile medyan birbirinden uzaklaşıyorsa değerler bir yana yığılmış, öbür yana uzanan bir kuyruk var demektir. Sağlık veri setini tanımlarken ağrılı gün sütununda 2,71 ile 2'nin ayrıldığını, yaşta ise 43,4 ile 43'ün neredeyse çakıştığını görmüştün; o farkın adı bu.

Ayrılmanın bir yönü de var. On dört günlük kalışı, daha ağır seyreden bir hastayı düşünerek kırk güne çıkar. Toplam 62 olur ve ortalama 62 ÷ 9 ≈ 6,89'a fırlar. Sıraya dizdiğinde ise beşinci sıradaki kişi yine aynı kişi, değeri yine 3. Ortalama uçtaki büyüklüğü her gün için hissediyor, ortadaki değer onu hiç görmüyor; iki özet arasındaki açıklık bu yüzden kuyruğun uzunluğuyla birlikte büyüyor.

Ama ölçütün kendi yanlış pozitifi var. Bir başka ay düşün: sekiz kalış 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3 ve 4 gün, dokuzuncusu gerçekte bir buçuk gün. Doğru kayıtta ortalama yaklaşık 2,61 ve ortadaki değer 3. Bir buçuk günlük kalış ondalık virgülü kayarak 15 diye girilirse ortalama yaklaşık 4,11'e çıkar, ortadaki değer yine 3 kalır. Ölçüt "değerler bir yana yığılmış, uzun bir kuyruk var" der; gerçek ise "bir kayıt hatalı" idi. Bu yüzden ayrılma bir bulgu değil, bir bakma emri: kayıtlara dön ve ayrılmayı neyin ürettiğini gör.

Dağılımın biçimi bilindiğinde hangi özetin bildirileceği ayrı bir konu ve log-normal dağılım dersinde ele alındı (L02-P02-M02-D05): sağa çarpık ölçümlerde aritmetik ortalamanın gözlemlerin çoğundan büyük kaldığını orada görmüştün. Buradaki iş ondan önce geliyor. Biçimini bilmediğin bir sayıya bakarken, elindeki iki özetin arasından biçim hakkında ne söylenebileceğini görmek.

Aralığın ortasındaki sayı nereden geliyor

Şimdi Recai'nin tahlil kâğıdına dönebiliriz. Aralığın ortası (3,5 + 5,1) ÷ 2 = 4,3 ve onun sonucu 4,9, yani ortanın 0,6 üstünde, üst sınırın 0,2 altında. Aralığın sınırları, sağlıklı kabul edilen bir referans grubunun değerlerinin nereye yığıldığından çıkarılıyor; genellikle o grubun ortadaki yüzde doksan beşlik dilimi alınıyor. Aralığın ortası da o yığılmanın merkezi, yani yine bir grup özeti. Ortaya yakın durmak, o grubun kalabalık olduğu yerde durmak demek; iyi olduğun yerde durmak demek değil.

Kartın notundaki sınırı atlamamak gerekiyor. Aralığın ortasının bir hedef olmaması, sınıra yakın her değerin önemsiz olduğu anlamına gelmiyor; bir değerin o kişi için ne anlama geldiği, önceki sonuçları, aldığı ilaçlar ve genel durumu bilinerek, hekimiyle konuşularak değerlendirilir. Bu dersin söylediği daha dar bir şey: aralığın ortasındaki 4,3 bir grup özeti olduğu için, tek başına ne Recai için bir hedef ne de onun sonucunu ölçmek için bir cetvel.

Klinik gerçeklik

Bir ortalamayla karşılaştığında elinde iki ayrı soru var. Birincisi toplamla ilgiliyse, yani bu grup ne kadar yatak, ne kadar zaman, ne kadar kaynak tutuyor diye soruyorsan, ortalama gözlem sayısıyla birlikte o soruyu tek başına cevaplıyor. İkincisi konumla ilgiliyse, yani değerler nereye yığılmış ve önündeki kişi bu yığılmanın neresinde duruyor diye soruyorsan, ortalama cevap vermiyor ve vermediğini de söylemiyor. Sessiz kalması cevabın "evet" olduğu anlamına gelmiyor.

Didem'in Recai'ye verebileceği dürüst cevap da bu ayrımdan çıkıyor. Panodaki dört gün servisin geçen ay ne kadar yatak-günü kullandığını anlatıyor, kimin kaç günde çıkması gerektiğini değil; taburculuk kararı Recai'nin kendi iyileşmesine bakılarak verildi. Bir raporda yalnız ortalama görüyorsan sorulacak ilk ek soru, en uzun ve en kısa değerlerin ne olduğu ve ortadaki değerin ortalamadan ne kadar uzakta durduğudur.

Kendini sına

1. Dokuz kalış süresinin ortalamadan sapmaları toplandığında neden sıfır çıkıyor ve bu sonuç ortalamanın hangi tanımından geliyor?
2. Ortalamanın "her gözlemi bütün büyüklüğüyle içine alması" hangi soruyu cevaplamasını sağlıyor, hangi soruyu cevaplayamaz hâle getiriyor?
3. Herkesin dört gün kaldığı ay ile panodaki ay aynı ortalamayı veriyor. Bu neyi gösteriyor?
4. On dört günlük kalış kırk güne çıktığında ortalama ve ortadaki değer kaç olur? Neden biri değişip öbürü değişmiyor?
5. Ortalama ile medyanın ayrılması hangi ölçütü kuruyor ve bu ölçüt hangi durumu eliyor?
6. Aynı ölçütün yanlış pozitifi neydi? Bir buçuk günün 15 diye girildiği örnekte ortalama ne kadar kaydı?
7. Referans aralığının ortasındaki sayı neden bir hedef olarak okunamıyor? Aralığın kuruluşunda eksik olan adım hangisi?
8. Bir raporda yalnız ortalama varken, planlama yapan kişinin ek olarak sorması gereken soru ne?

Bir sonraki derse köprü

Kırk günlük kalış ortalamayı neredeyse yedi güne taşıdı, ortadaki değeri ise yerinden kıpırdatamadı; çünkü o değer büyüklüklerden değil, sıradaki konumdan tanımlanıyor. Bu farkın bir sonucu daha var: ortadaki değeri bulmak için her gözlemin büyüklüğünü bilmek gerekmiyor, yalnız sırasını bilmek yetiyor. Sıradaki derste bazı kişilerin değeri hiç bilinmeyen bir izlem kaydıyla karşılaşacaksın. Orada ortalamanın neden yarıda kaldığını, sıraya dizmekle çalışan özetin ise neden yine bir sayı verebildiğini göreceksin; ama o özetin neyi görmeyi bıraktığını da.