Kesikli ve Sürekli Veri

Açılış sahnesi

Bir ilçenin toplum sağlığı merkezinde yıllık ana-çocuk izlem raporu basılmadan önce son kez okunuyor. Raporu hazırlayan ebe Sibel, izlemdeki kadınların doğurganlık öyküsünü özetleyen tabloyu ilçe meclisinden gelen bir üyeye gösteriyor. Tablonun ilk satırında "ortalama gebelik sayısı 2,3" yazıyor. Üye kaşlarını kaldırıyor: "2,3 gebelik diye bir şey olmaz. Ya biri yanlış saymış ya da program bozuk, bunu basmadan düzeltin."

İtiraz ilk bakışta haklı görünüyor, çünkü hiçbir kadın 2,3 kez gebe kalmamış. Ama Sibel'in tablosunda hata yok. Tablonun hemen altındaki satırda yeni doğan bebeklerin ortalama ağırlığı var ve o sayının da kesirli olmasına kimse itiraz etmiyor. İki satır da kesirli bir ortalama taşıyor, ama biri itiraz uyandırıyor, öteki uyandırmıyor. Aradaki fark, sayıların nereden geldiğinde: biri sayılarak, öteki ölçülerek bulunmuş.

Bu derste ne olacak

Bu ders sayısal verinin içindeki bir ayrımı kuruyor: sayılan ve yalnızca belirli değerler alabilen kesikli veri ile ölçülen ve iki değer arasında sonsuz ara basamak taşıyabilen sürekli veri. Önce Sibel'in iki satırını elle hesaplayacağız ve kesirli bir ortalamanın neden hata olmadığını göreceğiz. Sonra aynı ortalamanın yalnız başına bırakıldığında nasıl yanlış bir "tipik kadın" imgesi yaratabildiğine bakacağız. Son bölümde, kayıt biçiminin bir değişkenin doğasını nasıl gizleyebildiğini tartışacağız.

Sıfır noktası

Kategorik ve sayısal veri dersindeki kan grubu ortalamasında işlemin kendisi geçersizdi: kodlar bir miktar taşımıyordu ve numaralar değişince "ortalama kan grubu" da değişiyordu. Bu derste o sorun yok. Gebelik sayısı gerçek bir miktar, sıfırı gerçekten "hiç gebelik yok" demek, ve ortalaması meşru bir hesap. Burada sorulan başka: meşru bir hesabın sonucu, tek bir kişinin taşıyamayacağı bir değer çıktığında onu nasıl okumalısın?

Ayırt etmenin kısa yolu bir soru sormak: bu değeri sayarak mı buldum, yoksa bir aletle ölçerek mi? Sayarak bulunan değer tam sayılarla ilerler ve iki komşu değerin arası boştur. Ölçülen değerin ise arası hiç boş değildir; ne kadar ince bir aletin varsa o kadar çok ara basamak görürsün.

Mekanizma

Kesirli bir ortalama, hatalı bir ortalama değildir

Sibel'in tablosunun arkasındaki sayıları küçük bir örnekle kuralım (kurgu değerler). İzlemdeki on kadının gebelik sayıları şöyle olsun: 1, 2, 2, 2, 3, 1, 4, 2, 3, 3. Toplam 23 gebelik, ve ortalama 23 ÷ 10 = 2,3. On kadından hiçbiri 2,3 değerini taşımıyor; ikisi bir, dördü iki, üçü üç, biri dört gebelik geçirmiş. Ama hesap kusursuz ve sonuç gerçek bir şeyi, grubun toplam doğurganlığını kişi başına bölüştürüyor.

Kesirli ortalamanın işe yaradığını görmenin en kolay yolu onu geri çarpmak. Merkezin bir sonraki yıl bin kadını izleyeceğini ve oranların benzer kalacağını düşün. O zaman 2,3 × 1000 = 2300 gebelik öyküsüyle karşılaşmayı bekler; ebelerin iş yükünü, kayıt dosyalarını, danışmanlık saatlerini bu sayıya göre planlar. Ortalama 2 ya da 3 diye yuvarlansaydı tahmin yüzlerce gebelik şaşardı. Kesir, bir kişiye ait olmadığı için değil, bir gruba ait olduğu için orada duruyor.

Bu, kan grubu ortalamasından temelde farklı bir durum. Orada sayının kendisi hiçbir şeye karşılık gelmiyordu ve kodları değiştirmek sonucu değiştiriyordu. Burada 2,3 gerçek bir grup eğilimini gösteriyor ve bir ebe onu çarpıp gerçek bir iş planına dönüştürebiliyor. Kesirli olması yalnızca şunu söylüyor: bu sayı bir kişiyi değil, bir grubu anlatıyor.

Sürekli veride kesir zaten ölçümün doğasında

Şimdi ikinci satıra bak. Aynı merkezde doğan beş bebeğin ağırlığı kilogram cinsinden 3,25, 2,98, 3,61, 3,40 ve 3,06 olsun (kurgu değerler). Toplam 16,30 ve ortalama 16,30 ÷ 5 = 3,26. Bu kez kimse şaşırmıyor, çünkü bebeklerin kendi ağırlıkları da kesirli. Sürekli bir değişkende ortalamanın ara bir değere düşmesi, bireysel değerlerin de ara değerler olmasının doğal devamı.

Sürekli verinin bir inceliği daha var: kaydettiğin sayı, gerçek değerin yuvarlanmış hâlidir. Tartı on gramlık adımlarla okuyorsa 3,25 aslında 3,245 ile 3,255 arasında bir yerdir. Daha hassas bir tartı daha fazla basamak gösterir, ama hiçbir tartı "son" basamağa ulaşmaz. Kesikli veride böyle bir şey yok: bir kadının gebelik sayısı ne kadar dikkatli sayılırsa sayılsın iki ya da üçtür, arası yoktur.

Kayıt biçimi bu ayrımı bazen gizler. Yaş sürekli bir niceliktir, çünkü zaman kesintisiz akar; ama formlarda çoğu zaman tam yıl olarak yazılır ve tablo onu kesikli gibi gösterir. Tersine, bir kliniğin aylık yatış sayısı binlere ulaştığında sayılar o kadar sık dizilir ki bir grafik onu sürekli gibi çizer. Hangisinin hangisi olduğunu tablodaki görünüşe bakarak değil, değerin nasıl elde edildiğini sorarak bulursun: sayıldı mı, ölçüldü mü?

Bu gizlenmenin küçük ama ölçülebilir bir bedeli var. Formlar yaşı çoğu zaman doldurulmuş yıl olarak ister, yani otuz dördünü on bir ay geçmiş biri de 34 yazılır. Üç kişinin gerçek yaşları 34,9, 41,2 ve 29,6 olsun (kurgu değerler); ortalamaları 105,7 ÷ 3 = 35,23. Kayıtta ise 34, 41 ve 29 duruyor ve bunların ortalaması 104 ÷ 3 = 34,67. Aradaki yarım yıllık fark rastgele değil, her zaman aynı yönde: doldurulmuş yıl kaydı sürekli bir değeri hep aşağı yuvarlar ve büyük gruplarda ortalamayı yaklaşık yarım yıl aşağı çeker. Sürekli bir niceliği kesikli bir kalıba döktüğünde neyi kaybettiğini bilmek, bu küçük kaymayı gerektiğinde düzeltebilmeni sağlar.

Kesirli ortalama yanlış anlaşılmaya açık kalıyor

Ortalamanın kendisi geçerli olsa da, yalnız başına raporlanması yanlış bir izlenim bırakabiliyor. Meclis üyesinin itirazı aslında bunun bir belirtisi: "ortalama" kelimesini gören okur, zihninde tipik bir kadın canlandırıyor ve o kadının 2,3 gebelik geçirmiş olmasını saçma buluyor.

Sibel'in on kadınında dağılımı yazmak birkaç kelime alıyor: en az bir, en çok dört gebelik; en sık görülen değer iki, on kadının dördünde. Bu iki bilgi eklendiğinde okur artık "2,3 gebelik geçirmiş bir kadın" aramıyor. Ortalamanın grubu, dağılımın ise kişileri anlattığını görüyor. İkisi birbirinin yerine geçmiyor, birbirini tamamlıyor.

Klinik gerçeklik

Kesikli bir değişkenin ortalamasını gördüğünde onu "kimse bu değeri taşımıyor olabilir, ama grubun eğilimini doğru yansıtıyor" diye oku. Böyle bir ortalamanın en dürüst kullanımı planlamadır: kişi sayısıyla çarpılıp beklenen toplam olaya dönüşür. Tek bir hastaya dair bir beklenti kurmak içinse dağılımı, yani en küçük ve en büyük değeri ve en sık görülen değeri iste.

Sürekli bir değişkenin ortalamasında kesir zaten beklenir; orada sorulacak soru kesrin varlığı değil, ölçümün kaç basamak hassasiyetle yapıldığıdır. İki ondalık basamakla okuyan bir tartıdan gelen değerleri dört ondalık basamaklı bir ortalamayla raporlamak, ölçümde olmayan bir kesinliği varmış gibi gösterir. Bir tabloda bir sayı gördüğünde bu dersin sorusunu da ekle: bu değer sayıldı mı, ölçüldü mü?

Kendini sına

1. On kadının gebelik sayıları 1, 2, 2, 2, 3, 1, 4, 2, 3, 3. Ortalamayı hesapla. Meclis üyesinin "2,3 gebelik olmaz" itirazı neden haksız?
2. Merkez gelecek yıl bin kadın izlerse kaç gebelik öyküsü bekler? Ortalamayı yuvarlamak bu tahmini nasıl bozar?
3. Kesikli veriyi sürekli veriden ayıran şey tam olarak nedir — iki değer arasında ne var, ne yok?
4. Beş bebeğin ağırlık ortalamasını hesapla. Bu ortalamanın kesirli olması neden kimseyi şaşırtmıyor?
5. Kesirli bir ortalamanın geçerliliğini gösteren bulgu, bu durumu kan grubu ortalamasındaki hatadan nasıl ayırıyor?
6. Tam yıl olarak kaydedilen yaş kesikli mi, sürekli mi? Neden?
7. Yalnızca ortalama vermenin okuyucuda yaratabileceği yanlış izlenim ne? B rozetli kartın sınırı ne?
8. Vakadaki yazar ikinci soruya (en sık gebelik sayısı) hangi değeri ekleyerek cevap verdi?

Bir sonraki derse köprü

Bu dersteki her gözlem tamdı: her kadının gebelik sayısı sayılmış, her bebeğin ağırlığı tartılmıştı ve ortalama tam bilinen değerlerin üzerine kuruldu. Ama bir süreyi ölçerken işler her zaman böyle bitmiyor. İzlem sona erdiğinde beklenen olay henüz yaşanmamışsa elindeki sayı gerçek değer değil, yalnızca bir alt sınırdır. Sıradaki derste böyle yarım kalmış gözlemlere ad veriliyor ve onları tam değer gibi toplamanın ortalamayı hangi yöne kaydırdığını göreceksin (L02-P03-M01-D05).