Güvenilirlik aralığı

Açılış sahnesi

Hastane kantinindeki iki arkadaş, on atışta yedi tura gelen parayla hâlâ masada. Peçetede beş değerin sonsal ağırlıkları yazıyor: 0,1 için neredeyse sıfır, 0,3 için 0,020, 0,5 için 0,260, 0,7 için 0,592, 0,9 için 0,127. Birinci arkadaş istatistik dersinden hatırladığı bir formülle bir aralık hesaplamış: 0,42 ile 0,98 arası, "yüzde doksan beş güvenle". İkinci arkadaş peçeteye bakıp başka bir cümle kuruyor: "Paranın eğiliminin 0,5 ile 0,7 arasında olma olasılığı yüzde 85."

İki cümle de bir aralık ve bir yüzde taşıyor, ikisi de aynı yedi turadan çıkıyor. Ama biri gerçek değer hakkında bir olasılık söylüyor, öteki söylemiyor. Güven aralığını işleyen L01-P04-M02-D02'de bir aralığın sezgisel okuması ile teknik tanımı arasındaki farkı görmüştün: "gerçek değer yüzde doksan beş olasılıkla burada" cümlesi, o aralık için teknik olarak yanlıştı. Bu ders o cümleyi kurabilen aralığı, güvenilirlik aralığını, peçetedeki sayılarla elle kuruyor.

Bu derste ne olacak

Önce iki aralığı tanımlayacak ve olasılığın her birinde neye ait olduğunu ayıracağız. Sonra birinci arkadaşın güven aralığını ve ikinci arkadaşın güvenilirlik aralığını aynı yedi turadan hesaplayıp yan yana koyacağız. Ardından aynı sonsaldan birden çok aralık çıkabildiğini, en yüksek yoğunluklu aralık ile eşit kuyruklu aralığın peçetede nasıl ayrıştığını göreceğiz. Son bölümde aralığın söylemediği şeylere ve bir aralığı karar için okumanın doğru yoluna geleceğiz.

Sıfır noktası

Bu tanımda olasılık aralığa aittir, gerçek değere değil. Paranın gerçek eğilimi sabit bir sayıdır ve sıklıkçı bakışta ona bir olasılık verilmez; dalgalanan şey, her yeni on atışla yeniden hesaplanan aralıktır. "Yüzde 95", aralığı üreten yöntemin başarısıdır: yöntemi yüz ayrı masada uygulasan, üretilen aralıkların yaklaşık doksan beşinin gerçek değeri kapsaması hedeflenir. Elindeki tek aralığın o doksan beşten biri mi yoksa kaçıran beşten biri mi olduğunu aralığa bakarak bilemezsin.

Bu aralık hakkında kurulabilen cümle doğrudandır: gerçek değerin bu aralıkta olma olasılığı şu kadar. Olasılık burada gerçek değere aittir, çünkü Bayesçi bakışta bilinmeyen bir parametre, hakkındaki bilgimizi bir dağılımla taşıyan bir niceliktir. İki aralık farklı sorulara cevap veriyor. Sonsal dağılımı işleyen L02-P02-M03-D03'ün kartında geçmişti: yaygın "yanlış yorum", aslında ikinci aralığın cevabı.

Mekanizma

Aynı yedi tura, iki aralık

Birinci arkadaşın formülü, bir oran için en yaygın kaba güven aralığıdır. Gözlenen oran 7 ÷ 10 = 0,7; standart hatası √(0,7 × 0,3 ÷ 10) ≈ 0,145; aralık 0,7 ± 1,96 × 0,145, yani 0,7 ± 0,284, yaklaşık 0,42 ile 0,98 arası. Bu aralık hiçbir önsel kullanmıyor ve cümlesi şöyle kurulmalı: bu yöntem, uzun vadede üretilen aralıkların yaklaşık yüzde 95'inde gerçek değeri kapsamayı hedefler. On atış gibi küçük bir örneklemde bu kaba formül hedefine tam ulaşmaz bile; ama asıl mesele bu değil, mesele cümlenin öznesi.

İkinci arkadaşın aralığı peçetedeki sonsaldan kesiliyor. En olası değerden başlayıp ağırlıkları toplayarak kümeyi genişletiyor. Yalnız 0,7 alınırsa küme olasılığın 0,592'sini kapsar. 0,5 eklenirse 0,592 + 0,260 = 0,852 olur; bu, en az yüzde 80'lik bir aralık. 0,9 da eklenirse 0,852 + 0,127 = 0,979; en az yüzde 95'lik bir aralık. Cümle doğrudan kurulur: eşit önsel ve bu yedi tura altında paranın eğiliminin {0,5; 0,7; 0,9} kümesinde olma olasılığı yaklaşık 0,98.

İki aralığın sayıları birbirine yakın: biri 0,42 ile 0,98 arası, öteki 0,5 ile 0,9 arası değerler. Ama cümleleri farklı. Birincisi "bu yöntem yüz masanın doksan beşinde isabet eder" diyor, ikincisi "bu masadaki para için gerçek değer yüzde 98 olasılıkla burada" diyor. Okurların çoğunun bir güven aralığından duymak istediği cümle ikincisidir ve o cümle bir önsel olmadan kurulamaz. Önsel değişirse ikinci aralık değişir; hilesizliği kayıran bir önselle aynı yedi tura 0,5'e çok daha büyük bir pay verir ve küme kayar.

Neden ikisi karışıyor

Karışmanın ilk nedeni sayıların çoğu zaman benzer çıkmasıdır: bol veri ve zayıf bir önselle iki aralık birbirine çok yaklaşır, peçetedeki gibi. İkinci neden, güvenilirlik aralığının cümlesinin sezgisel olmasıdır; insanlar bir aralıktan doğal olarak "gerçek değer burada" anlamını çıkarmak ister. Üçüncü neden de güven aralığının cümlesinin kurulmasının zor olmasıdır: "yöntem tekrarlansa" ifadesi bir düşünce deneyi gerektirir ve tek bir çalışmada karşılığı yoktur. Sonuçta doğru sayı yanlış cümleyle okunur.

Kartın bulgusu bu dersin gerekçesi. Hata bilgisizlikten değil, soruların karışmasından geliyor: okur bir sorunun cevabını, başka bir sorunun cümlesiyle okuyor. Çözüm yanlış yorumu yasaklamak değil, hangi aralığın hangi soruyu cevapladığını açıkça yazmaktır.

Aralık nasıl kesiliyor

Sonsal bir dağılım var ve aralık ondan kesiliyor; ama nasıl kesileceği bir seçimdir ve birden çok yol vardır. Peçetedeki beş çubukla iki yolu yan yana deneyebilirsin.

İkinci arkadaşın kurduğu küme en yüksek yoğunluklu aralıktı: en ağır değerden başlayıp aşağı indi. Şimdi yüzde 80'lik bir eşit kuyruklu aralık kurmaya çalış. Her iki uçtan en fazla 0,10 bırakabilirsin. Alt uçta 0,1 ve 0,3'ün toplam ağırlığı 0,020, bu yüzden ikisi de dışarıda kalabilir. Üst uçta ise 0,9'un ağırlığı tek başına 0,127 ve 0,10'u aşıyor, dolayısıyla 0,9 dışarıda bırakılamaz. Eşit kuyruklu aralık {0,5; 0,7; 0,9} olur ve olasılığın 0,979'unu kapsar; en yüksek yoğunluklu aralık ise aynı yüzde 80 hedefi için {0,5; 0,7} ile, 0,852'yle yetiniyordu.

Fark sonsalın çarpıklığından geliyor. Peçetedeki sonsal 0,7 etrafında simetrik değil: sağda 0,9'un 0,127'lik ağırlığı, solda 0,3'ün 0,020'lik ağırlığı var. Simetrik bir sonsalda iki aralık aynı çıkar; çarpık bir sonsalda eşit kuyruklu aralık daha geniş olabilir ve kimi zaman dışarıda bıraktığı bazı değerlerden daha az olası değerleri içine alır. En yüksek yoğunluklu aralıkta bu olmaz.

Bu, akademide birçok kez karşına çıkan bir yapının yeni bir örneği: sonlanım seçiminde, merkezî eğilimin hangi ortalamayla özetlendiğinde, dağılımın nasıl varsayıldığında ve şimdi aralığın nasıl kesildiğinde. Özet seçimi hiçbir zaman tarafsız değildir ve seçimin kendisi bildirilmelidir.

Aralığın söylemediği

Aralık modele koşulludur. Güvenilirlik aralığı, önselin ve olabilirliğin doğru kurulduğu varsayımıyla hesaplanır; sonsal öngörü kontrolünün sınadığı şey tam olarak budur ve model veriyi üretemiyorsa aralık da yanlıştır. Aralık kendi içinde bir model uyarısı taşımaz. Peçetedeki aralık, yalnız beş değere izin veren bir önselden geliyor; paranın eğilimi 0,8 ise bu aralık onu hiçbir zaman gösteremez.

Darlık da kesinlik anlamına gelmez. Dar bir aralık güçlü veriden de gelebilir, dar bir önselden de. Sonsal dağılım dersinde, yalnız 0,5 ve 0,7'ye izin veren bir önselin aynı yedi turayla dar ve kendinden emin bir sonsal ürettiğini görmüştün; o darlık veriden değil, önsele baştan konan sınırdan geliyordu. Üçüncüsü, aralık bir karar vermez. Bir değerin aralık içinde olması o değerin kabul edildiği anlamına gelmez; karar, aralığın neresinde durduğuna ve o büyüklüğün ne kadar önemli olduğuna bakar. İstatistiksel sonuç ile klinik önem ayrı sorulardır.

Aralığın gerçek kullanımı

Bir aralık okunurken sorulacak şey "sıfırı içeriyor mu?" değildir. Bu soru sürekli bir bilgiyi ikili bir karara indirir ve Bernoulli dağılımı dersindeki kanıt kartının uyardığı ikileştirme kaybına düşer. Sorulacak şey, aralığın iki ucunun farklı kararlar gerektirip gerektirmediğidir. Güven aralığı dersi bunu sınır sınavı diye adlandırmıştı ve aynı sınav güvenilirlik aralığı için de geçerlidir.

İki uç da önemsiz büyüklükteyse, veri etkinin küçük olduğunu söyler. İki uç da önemliyse, veri etkinin var ve önemli olduğunu söyler. Uçlar farklı kararlar gerektiriyorsa veri karar için yetersizdir ve bu "etki yok" demek değildir. Değerlendirilemez bir sonuç ile etkisiz bir müdahale farklı cevaplardır; ilki daha fazla veri ister, ikincisi bir sonuç bildirir.

Klinik gerçeklik

Bir makalede ya da raporda bir aralıkla karşılaştığında önce hangi aralık olduğunu sor: güven aralığı mı, güvenilirlik aralığı mı? Çoğu klinik çalışma güven aralığı bildirir ve onun için kurulabilecek cümle yöntem hakkındadır; gerçek değer hakkında bir olasılık cümlesi istiyorsan, bir önsel ve bir sonsal gerekir. Bayesçi bir çözümleme okuyorsan, aralığın türünü ve önselin nereden geldiğini ara, çünkü darlık önselden de gelebilir.

Sonra aralığın uçlarına tek tek bak ve her birinin klinik anlamını sor. İki uç aynı kararı gösteriyorsa aralık bilgi veriyordur; farklı kararları gösteriyorsa, aralık ne kadar etkileyici bir nokta tahmini taşırsa taşısın, karar için yetersizdir. Bir aralığın bütün bilgisi uçlarındadır ve "sıfırı içeriyor mu?" sorusu o bilginin çoğunu atar.

Kendini sına

1. İki aralığı ayır. Her birinde olasılık neye ait ve hangi cümleler kurulabiliyor?
2. Birinci arkadaşın güven aralığını elle yeniden hesapla. On atışta sekiz tura gelseydi aralık ne olurdu?
3. Peçetedeki sonsaldan en az yüzde 50'lik ve en az yüzde 80'lik en yüksek yoğunluklu kümeleri kur. Her birinin kapsadığı olasılık kaç?
4. Yüzde 80'lik eşit kuyruklu aralık neden 0,9'u dışarıda bırakamadı? Bu, sonsalın biçimi hakkında ne söylüyor?
5. Karışmanın üç nedenini say. B rozetli ilk kartın gerekçe cümlesi ne?
6. Aralığın söylemediği üç şeyi say. Peçetedeki aralık paranın eğilimi 0,8 ise neden onu gösteremez?
7. Sınır sınavı nedir? Uçlar farklı kararlar gerektirdiğinde ne söylenebilir, ne söylenemez?
8. Vakadaki iki aralık neden aynı kutuya konuyor? Fark ne?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste tek bir parametrenin, paranın eğiliminin, nerede olduğunu bir aralıkla söyledin. Sıradaki derste soru değişiyor: parametrenin değeri değil, iki modelden hangisinin veriyle daha uyumlu olduğu. "Para hilesiz" ile "para hileli" arasında aynı yedi tura hangisini ne kadar destekliyor? Orada hileli modelin ne kadar geniş tanımlandığının sonucu nasıl değiştirdiğini ve verinin bir modeli ötekine göre kaç kat desteklediğini ölçen sayıyı hesaplayacaksın.