Sonsal dağılım

Açılış sahnesi

Kantindeki iki arkadaş, on atışta yedi tura gördükleri madeni parayı masaya bırakıp bir peçeteye beş sayı yazıyor: 0,1, 0,3, 0,5, 0,7 ve 0,9. Bunlar paranın tura gelme eğilimi p için aklarına gelen beş değer ve atışlardan önce hiçbirini ötekinden üstün görmedikleri için her birine beşte bir ağırlık vermişlerdi. Şimdi soru şu: yedi turayı gördükten sonra bu beş ağırlık ne olmalı? Hesabın sonunda 0,7'nin payı beşte birden yaklaşık 0,59'a çıkacak, 0,1'inki ise neredeyse sıfıra inecek.

Bir önceki derste verinin ne söylediğini olabilirlikle ölçtün, ondan önceki derste de veriden önceki bilgiyi önsel dağılım olarak yazdın. Bu derste ikisini tek bir hesapta birleştireceğiz. Çıkan şeyin adı sonsal dağılım ve bu dersin geri kalanı peçetedeki o beş sayının nasıl yeniden boylandığı hakkında.

Bu derste ne olacak

Önce önseli ve olabilirliği bir tabloda çarpıp toplama bölerek sonsalı elle kuracağız. Sonra aynı veriyi farklı önsellerle işleyip önselin ne zaman sonucu belirlediğini, ne zaman silindiğini göreceğiz; bunun için on atışı yüz atışa çıkaracağız. Ardından bir değeri baştan dışlamanın ve aynı veriyi iki kez saymanın bedelini hesaplayacağız. Son bölümde sonsalın ne söylediğine ve neyi söylemediğine geleceğiz.

Sıfır noktası

Birleştirme kuralı yeni değil. Bayes teoremini işleyen L02-P02-M01-D07'de tek bir olasılık için kurulmuştu: gözlemden sonraki olasılık, gözlemden önceki olasılık ile gözlemin o durumda ne kadar beklendiğinin çarpımına dayanıyor. Burada aynı kural beş değerin hepsine birden uygulanıyor.

Kural kısaca şöyle yazılır: sonsal, önsel ile olabilirliğin çarpımıyla orantılıdır. "Orantılı" sözcüğü bir adımı gizliyor. Çarpımlar toplanınca 1 etmez, bu yüzden her çarpım bütün çarpımların toplamına bölünür ve ağırlıklar yeniden bire tamamlanır. Peçetedeki hesap tam olarak bu üç adımdan oluşuyor: çarp, topla, böl.

Mekanizma

Peçetedeki tablo

Olabilirlik dersinde on atışta yedi turanın her p değeri altındaki olasılığını hesaplamıştın. Bunları önsel ağırlıklarla çarpıp toplama böldüğünde tablo şöyle oluyor.

0,7 satırını elle izle: 0,2 × 0,267 ≈ 0,0534 ve 0,0534 ÷ 0,0901 ≈ 0,592. 0,5 satırında 0,2 × 0,117 ≈ 0,0234 ve 0,0234 ÷ 0,0901 ≈ 0,260. Önsel her satırda aynı olduğu için sonsal aslında olabilirliğin kendi toplamına bölünmüş hâli: 0,267 ÷ 0,450 de yaklaşık aynı sonucu verir. Sonsal ortalama, her p'nin ağırlığıyla çarpılıp toplanmasıyla bulunur: 0,3 × 0,020 + 0,5 × 0,260 + 0,7 × 0,592 + 0,9 × 0,127 ≈ 0,665.

Bir oran daha dikkat çekiyor. Sonsalda 0,7 ile 0,5'in oranı 0,592 ÷ 0,260 ≈ 2,28 ve bu, olabilirlik dersinde bulduğun 0,267 ÷ 0,117 ≈ 2,28'in aynısı. Önsel oran 1 olduğu için sonsal oran doğrudan olabilirlik oranına eşit çıkıyor. Genel kural şu: sonsal oran, önsel oran ile olabilirlik oranının çarpımıdır.

Tablodaki 0,1 satırı bunun küçük bir örneği. Önsel ona beşte bir vermişti, ama olabilirlik neredeyse sıfır ve çarpım da neredeyse sıfır. Bir değer ancak hem önselde makul hem veriyle uyumluysa sonsalda ağırlık kazanıyor.

Kim kazanıyor

Üçüncü bir arkadaş itiraz ediyor: "Kantindeki paraların neredeyse hepsi hilesizdir." Ona göre 0,5'e 0,6, öteki dört değere 0,1 ağırlık vermek gerekir. Aynı yedi turayla çarpımlar 0,6 × 0,117 ≈ 0,0703 ve 0,1 × 0,267 ≈ 0,0267 çıkıyor; dört çarpımın toplamı yaklaşık 0,1036. Sonsalda 0,5'in payı 0,0703 ÷ 0,1036 ≈ 0,68, 0,7'ninki ≈ 0,26. Oran kuralıyla da aynı yere varırsın: önsel oran 0,1 ÷ 0,6 = 1/6, bunu 2,28 ile çarpınca ≈ 0,38 ve gerçekten 0,26 ÷ 0,68 ≈ 0,38. On atışlık veri, güçlü bir önselin karşısında sonucu çeviremedi; burada önsel baskın.

Şimdi para yüz kez atılsın ve yetmiş tura gelsin. Bu kez 0,7'nin olabilirliği 0,5'inkinin yaklaşık 3.700 katı. Eşit önselle sonsalın ≈ 0,9997'si 0,7'ye gidiyor. Hilesizliği kayıran önselle aynı hesap 1/6 × 3.700 ≈ 620'lik bir oran veriyor ve 0,7'nin payı ≈ 0,998. İki arkadaşın önselleri on atışta 0,7 için çok farklı iki pay vermişti, biri 0,59 ve öteki 0,26; yüz atışta ikisi de 0,7'de birleşti. Önsel dağılım dersindeki ilk kanıt kartının söylediği bu: veri arttıkça önsele duyarlılık azalıyor.

Üçüncü durum en yaygını: ikisi de katkı veriyor ve sonsal ikisinden de dar. Eşit önselin yayılımını standart sapmayla ölç: beş değerin 0,5'ten sapmalarının karelerinin ortalaması (0,16 + 0,04 + 0 + 0,04 + 0,16) ÷ 5 = 0,08 ve karekökü ≈ 0,28. Yedi turadan sonra sonsalın standart sapması ≈ 0,13, yani yarıdan fazla daralmış. İki bilgi kaynağı birleşince tek başına her birinden daha kesin bir sonuç çıkıyor, ama bunun bir koşulu var ve aşağıda o koşulun bozulduğu yeri hesaplayacağız.

Dışlanan değer geri gelmez

Dördüncü bir arkadaş daha kestirme bir yol öneriyor: "Ya hilesizdir ya da biraz turaya yatkındır." Önseli yalnız 0,5 ve 0,7'ye yarı yarıya veriyor, öteki üç değere sıfır. Yedi turayla çarpımlar 0,5 × 0,117 ≈ 0,0586 ve 0,5 × 0,267 ≈ 0,1334; sonsal 0,5 için ≈ 0,31, 0,7 için ≈ 0,69, ortalama ≈ 0,64. Sonuç eşit önselin sonucuna yakın görünüyor, ama 0,9'un tablodaki 0,127'lik payı hiçbir yerde yok.

Bunun bedelini görmek için paranın gerçekte 0,9 eğilimli olduğunu ve yüz atışta doksan tura geldiğini düşün. Veri 0,9'u açıkça gösteriyor, ama önselde 0,9'un ağırlığı sıfır ve sıfır, hangi olabilirlikle çarpılırsa çarpılsın sıfır kalıyor. Dar önselin sonsalı bütün ağırlığı 0,7'ye veriyor, çünkü elindeki iki değerden veriye en yakın olan o. Hesap hatasız, sonuç yanlış. Hiçbir gözlemin fikrini değiştiremeyeceği bir inanç, dünya hakkında bir görüş değil, önceden verilmiş bir karardır.

Aynı veriyi iki kez saymak

Sonsalın daralması, iki kaynağın birbirinden bağımsız olmasına dayanıyor. Diyelim ki biri, yedi turadan sonra bulunan sonsalı "önceki bilgi" diye yeniden önsel olarak kullanıp aynı on atışı bir kez daha işliyor. Hesap yapılabilir: 0,7'nin payı 0,592'den ≈ 0,81'e çıkıyor, sonsalın standart sapması 0,13'ten ≈ 0,085'e iniyor. Oysa masada hâlâ on atış var; yeni bir bilgi gelmedi.

Bağımsızlık dersinde birbirine bağlı gözlemlerin sayıları kadar bilgi taşımadığını görmüştün; bu onun Bayesçi hâli. Bu yüzden bir çözümlemede önselin nereden geldiği yazılmalı ve kaynağın çözümlenen veriden bağımsız olduğu gösterilmeli.

Sonsal ne söylüyor

Sonsalın en sık anılan kazancı, doğrudan sorulmak istenen soruyu cevaplaması. Tablodan okuyabilirsin: eşit önsel ve yedi tura altında paranın en az 0,5 eğilimli olma olasılığı 0,260 + 0,592 + 0,127 ≈ 0,98. Bu, "parametrenin şu aralıkta olma olasılığı" türünden bir cümle.

Sıklıkçı bir güven aralığı başka bir şey söyler: aynı yöntem benzer çalışmalarda tekrar tekrar uygulansa, üretilen aralıkların belirli bir oranı gerçek değeri kapsardı. Olasılık orada yönteme aittir, tek bir aralığa değil. Sonsal aralık ise gerçek değerin bu aralıkta olma olasılığını doğrudan verir. İnsanların güven aralığından anlamak istediği çoğu zaman ikincisidir.

Kartın son bölümü dersin merkezî gözlemlerinden birini taşıyor: yaygın "yanlış yorum", aslında sorulmak istenen sorunun kendisi. İki aralığın ayrımı modülün güvenilirlik aralığı dersinde ayrıntısıyla kurulacak.

Sonsal ne söylemiyor

Sonsal, modelin doğru olduğunu göstermiyor. Peçetedeki bütün hesap "para her atışta aynı p ile, bağımsız olarak düşüyor" modeline dayanıyor; model yanlışsa sonsal da yanlış olur ve bunu kendi içinde haber vermez. Dar bir sonsal da tek başına kesinlik anlamına gelmiyor: dar önselin sonsalı 0,09'luk bir standart sapmayla eşit önselinkinden daha dar çıktı, ama bu darlık verinin değil önselin eseriydi.

Sonsal bir karar da vermiyor. 0,98'lik bir olasılık, bir tedavi seçiminde ya da bir test kararında ne yapılacağını söylemez; bunun için sonuçların ne kadar önemli olduğunu tartan bir değer yargısı gerekir. Olasılık sorusu ile değer sorusu ayrı sorulardır ve birinin cevabı ötekinin yerini tutmaz.

Kartın ilk yarısının arkasındaki mekanizmayı bu derste gördün: yüz atışta önselin payı o kadar küçüldü ki farklı önseller aynı sonuca vardı, ve önselin silindiği yerde Bayesçi sonuç sıklıkçı sonuca yaklaşır. Son cümlesi ise bir karışıklığı engelliyor; sayılar benzeşse de iki yaklaşımın kurduğu cümleler farklı.

Klinik gerçeklik

Kantindeki p'nin yerine bir tedavinin yanıt oranını koyduğunda aynı hesap bir klinik çalışmanın Bayesçi çözümlemesine dönüşür. Böyle bir sonuçla karşılaştığında önce sonsalın daha çok önselden mi yoksa veriden mi geldiğini sor. Küçük bir çalışmada güçlü bir önsel, on atışta hilesizliği kayıran önselin yaptığını yapar ve sonuç büyük ölçüde varsayımın ürünü olur.

Sonra önselin kaynağına bak: aynı çalışmanın verisinden ya da onunla örtüşen bir kaynaktan türetildiyse bilgi iki kez sayılmış olabilir. Önselin bazı değerlere sıfır verip vermediğini kontrol et, çünkü dışlanan bir değer hiçbir veriyle geri gelmez. Son olarak raporlanan olasılığın bir karar olmadığını hatırla; bir tedavinin işe yarama olasılığı ile onu uygulamaya değip değmeyeceği ayrı sorulardır.

Kendini sına

1. Eşit önsel ve on atışta yedi tura için 0,9 satırının çarpımını ve sonsalını elle hesapla.
2. Sonsal oranın önsel oran ile olabilirlik oranının çarpımı olduğunu hilesizliği kayıran önselle göster.
3. Çarpımın kesişim etkisi ne demek? Tablodaki 0,1 satırı bunu nasıl gösteriyor?
4. On atışta ayrışan iki önsel yüz atışta neden birleşti? Önsel dağılım dersindeki hangi kartın söylediğini hesaplamış oldun?
5. Dar önsel neden gerçek değer 0,9 iken 0,9'u bulamıyor? Sıfır önsel tuzağını kendi cümlenle yaz.
6. Aynı veriyi iki kez saymak sonsalın standart sapmasını nasıl değiştirdi? Bu neden bir hata?
7. "p en az 0,5'tir" cümlesinin sonsal olasılığını tablodan hesapla. Güven aralığı bu türden bir cümle kurabilir mi?
8. Sonsalın söylemediği üç şeyi yaz.

Bir sonraki derse köprü

Bu derste önselin sonsalı ne kadar biçimlendirdiğini gördün: on atışta iki farklı önsel iki farklı sonuç verdi ve 0,9'u dışlayan önsel hiçbir veriyle düzeltilemedi. Ama peçetedeki eşit ağırlıklı önselin kendisi makul muydu? Bunu anlamanın bir yolu veri gelmeden sormaktır: bu önsel ve bu model, on atış yapılmadan önce hangi sonuçları bekliyor? Sıradaki ders önselden sahte veri kümeleri üretip onları gerçekte görülebilecek şeylerle karşılaştıran kontrolü kuruyor (L02-P02-M03-D04).