Olabilirlik

Açılış sahnesi

Bir öğle arasında, hastanenin kantininde iki arkadaş bir madeni parayı on kez havaya atıyor. Yedi kez tura geliyor. Biri hemen soruyor: "Hilesiz bir parayla bu sonucu görme ihtimali ne?" Öteki başka bir soruyla karşılık veriyor: "Bu yedi turayı gördük; paranın turaya yatkın olduğu fikri mi, hilesiz olduğu fikri mi bu sonucu daha iyi açıklıyor?"

İki soru aynı on atıştan, aynı formülden besleniyor ama başka yöne bakıyor. İlki paranın özelliğini sabit tutup sonucu değişken sayıyor; bu bir olasılık sorusu. İkincisi sonucu sabit tutup paranın özelliğini değişken sayıyor; bu bir olabilirlik sorusu. Bu derste bu iki sorunun neden karıştırılmaması gerektiğini, kantindeki yedi turayı elle hesaplayarak göreceksin.

Bu derste ne olacak

Önce olabilirliği tanımlayacak ve yazı-tura örneğiyle bir olasılık gibi davranmadığını sayılarla göstereceğiz. Sonra olabilirlik eğrisinin tepesini ve genişliğini okuyacak, neden yalnız iki olabilirliğin oranının anlam taşıdığını göreceğiz. Ardından bu oranın, tanısal testlerde kullandığın olabilirlik oranıyla aynı kavram olduğunu bir test üzerinden hesaplayacağız. Son bölümde olabilirlikten olasılığa geçmek için neyin eksik olduğuna geleceğiz.

Sıfır noktası

Paranın tura gelme eğilimine p diyelim; bilinmeyen bu sayı bizim parametremiz. Hilesiz bir parada p = 0,5. On atışta tam yedi tura görmenin olasılığı üç parçadan kurulur: yedi turanın on atışa kaç farklı sırayla dağılabileceği (120 yol), her turanın olasılığı p ve her yazının olasılığı 1 − p. Hilesiz para için 120 × 0,5¹⁰ = 120 ÷ 1024 = 0,117 çıkar, yani yaklaşık yüzde 12.

Şimdi p'yi sabit tutup sonucu değiştir. Sıfır turadan on turaya kadar on bir olası sonucun olasılıklarını toplarsan tam 1 elde edersin, çünkü bu sonuçlardan biri mutlaka gerçekleşecek. Olasılığın temel özelliği budur: sabit bir parametre altında bütün olası verilerin olasılıkları bire tamamlanır.

Şimdi tersini yap: veriyi, yani yedi turayı sabit tut ve p'yi değiştir. Aynı formül p = 0,3 için 0,009, p = 0,5 için 0,117, p = 0,7 için 0,267, p = 0,9 için 0,057 verir. Bu dört sayının toplamı 0,009 + 0,117 + 0,267 + 0,057 = 0,450 ediyor, bir değil. Araya p = 0,6 ve 0,8'i eklesen toplam büyür, çıkarsan küçülür; bire tamamlanma diye bir kural yok. İşte ilk uyarı bu: olabilirlik, parametrenin olasılığı değildir.

İkinci uyarı da aynı sayılardan çıkıyor. p = 0,7 için bulunan 0,267 tek başına büyük mü, küçük mü? Bunu söyleyemezsin, çünkü bu sayının kendi başına bir ölçeği yok. Ancak 0,117 ile yan yana konduğunda bir anlam kazanıyor, ve bu karşılaştırma dersin geri kalanının konusu.

Mekanizma

Şekil ne söylüyor

Yedi tura için olabilirliği 0 ile 1 arasındaki bütün p değerleri için çizersen tek tepeli bir eğri elde edersin. Tepe p = 0,7'de: p = 0,6'da değer 0,215, p = 0,8'de 0,201, ikisi de 0,267'nin altında. Tepe noktası veriyle en uyumlu parametre değeridir ve sıklıkçı yaklaşımdaki "en olabilir tahmin" tam olarak bu noktadır. Burada sonuç sezgine de uyuyor: 7 ÷ 10 = 0,7.

Eğrinin ikinci özelliği genişliği, yani verinin ne kadar ayırt edici olduğu. Aynı oranı yüz atışta, yetmiş tura olarak görseydin tepe yine 0,7'de olurdu ama eğri çok daha dar olurdu. Nedenini sayıyla görebilirsin. On atışta p = 0,7 ile p = 0,5'in olabilirlik oranı 2,28; yüz atış, on atışlık bu gözlemin on kez tekrarı gibi davrandığı için oran 2,28'in onuncu kuvvetine, yani yaklaşık 3.745'e çıkıyor. Az veri iki değeri zar zor ayırıyor, çok veri birini neredeyse tamamen eliyor.

Uç bir örnek düşün: parayı yalnız iki kez atıyorsun ve bir tura, bir yazı geliyor. Hilesiz para için olabilirlik 2 × 0,5 × 0,5 = 0,50, turaya yatkın para (p = 0,7) için 2 × 0,7 × 0,3 = 0,42. Oran 0,42 ÷ 0,50 = 0,84, bire çok yakın. Bu eğri düzdür ve iki hipotez altında aşağı yukarı aynı beklenen bir gözlemin bilgi taşımadığını matematiksel olarak söyler. Dikkat et: düz bir olabilirlik "para hilesiz" demiyor, "bu veri iki parayı ayırt etmiyor" diyor.

Yalnız oranlar anlamlı

Sıfır noktasındaki formülde bir çarpan vardı: yedi turanın on atışa dağılabileceği 120 yol. Bu çarpan her p değeri için aynıdır. Olabilirliği onunla ya da onsuz yazman eğrinin yüksekliğini değiştirir, şeklini değiştirmez. Çarpansız hâliyle p = 0,7 için 0,7⁷ × 0,3³ = 0,00222, p = 0,5 için 0,5¹⁰ = 0,00098 elde edersin; oran 0,00222 ÷ 0,00098 = 2,28, yani çarpanlı hâlle birebir aynı.

Olabilirliğin mutlak büyüklüğü bu yüzden keyfî bir çarpana bağlıdır. Çarpan iki değeri de aynı ölçüde etkilediği için oran alındığında yok olur ve geriye yalnız karşılaştırma kalır. Bilgi taşıyan tek şey budur.

Kantindeki yedi tura, "p = 0,7" fikrini "p = 0,5" fikrine göre 2,28 kat daha çok destekliyor. Bu bir destek derecesidir; paranın hileli olduğunun olasılığı değildir.

Tanıdık bir kavramın genel hâli

Bu oranı daha önce tanısal testlerde gördün. Tanısal olabilirlik oranlarını işleyen L01-P05-M02-D06 dersinde pozitif olabilirlik oranı, duyarlılığın (1 − özgüllük) değerine bölünmesiyle bulunuyordu. Duyarlılığı yüzde 90, özgüllüğü yüzde 80 olan bir test düşün. Pozitif sonuç, durumu olanların yüzde 90'ında, durumu olmayanların yüzde 20'sinde görülüyor. Olabilirlik oranı 0,90 ÷ 0,20 = 4,5.

Şimdi bu hesabı bu dersin diliyle oku. Veri sabit: test pozitif çıktı. İki hipotez var: "durum var" ve "durum yok". Birinci hipotez altında bu veriyi görmenin olabilirliği 0,90, ikincisinin 0,20. Oranları 4,5; yani pozitif sonuç, "durum var" hipotezini "durum yok" hipotezine göre 4,5 kat daha çok destekliyor. Yazı-turadaki 2,28 ile testteki 4,5 aynı işlemin iki uygulaması.

Oran ne kadar büyük olmalı

Burada akla hemen bir eşik sorusu gelir, ama oranın kendisi bir eşik gerektirmez. Sürekli bir kanıt gücü ölçüsüdür: bire yakın bir oran, örneğin 0,84, verinin ayırt etmediğini, 4,5 orta bir desteği, 3.745 çok güçlü bir desteği bildirir. İkili "anlamlı ya da anlamlı değil" kararı ise bu sürekli ölçüyü iki kutuya indirir ve 4,5 ile 3.745'i aynı kutuya koyabilir. Olabilirlik oranı o indirgemeyi yapmaz; kanıtı derece derece bildirir.

Kartın son cümlesi pratik bir ayrım çiziyor. Tedavi başlatmak ya da başlatmamak gibi bir karar sonunda ikili olabilir, ama o karara giden çözümlemenin ikili olması gerekmez. Sınırda bir sonuç ile çok belirgin bir sonuç, karar anına kadar farklı ağırlıklarla taşınmalıdır.

Olabilirlik ile olasılık karışması

Bu ayrım karıştığında ortaya çıkan hata, koşullu olasılıkta tersine çevrilmiş koşul hatasıyla aynı ailedendir. Testin duyarlılığı yüzde 90 olduğu için "pozitif çıkan birinin durumu yüzde 90 ihtimalle var" demek cazip gelir. Oysa yüzde 90, durumu olanlar arasında pozitif çıkma olasılığıdır; pozitif çıkanlar arasında durumu olanların oranı başka bir sayıdır.

Farkı bin kişilik bir grupla hesapla. Durumun bu grupta yüzde 10 sıklıkla görüldüğünü varsay: 100 kişide var, 900 kişide yok. Durumu olan 100 kişinin 100 × 0,90 = 90'ı pozitif çıkar; durumu olmayan 900 kişinin 900 × 0,20 = 180'i de pozitif çıkar. Pozitif çıkan 270 kişinin 90'ında durum var: 90 ÷ 270 = 0,33, yani yüzde 33, yüzde 90 değil. Aynı test, durumun yüzde 50 sıklıkta görüldüğü bir grupta uygulansaydı 450 ÷ (450 + 100) = 0,82 verirdi. Olabilirlik oranı iki durumda da 4,5; değişen tek şey baştaki bilgi, yani önsel. Önseli sonucla birleştiren kural bir sonraki dersin konusu.

Buradan akademide sık tekrarlanan bir hatanın kaynağı da görünüyor. Bir sonucun bir varsayım altında beklenmedik olması, alternatifin doğru olduğunu göstermez, çünkü alternatif altında da beklenmedik olabilir.

Klinik gerçeklik

Bir raporda ya da makalede kanıt gücüne dair bir ifade gördüğünde önce onun bir olabilirlik mi yoksa bir olasılık mı olduğunu sor. "Durumu olanların yüzde 90'ında pozitif" bir olabilirlik cümlesidir; "pozitif çıkanın yüzde 33 ihtimalle durumu var" bir olasılık cümlesidir ve yanında bir önsel taşır. Ardından karşılaştırmanın yapılıp yapılmadığına bak, çünkü tek bir hipotez altında hesaplanmış bir beklenirlik hiçbir yönü desteklemez.

Karşılaştırma yapılmışsa olabilirlik oranını bul ya da kendin hesapla. Bire yakın bir oran, örneğin 1,2 ya da 0,84, verinin ayırt etmediğini söyler; uzaklaştıkça destek güçlenir. Son olarak, bir tahmin sunuluyorsa eğrinin dar mı düz mü olduğunu düşün: iki atışlık bir veri ile yüz atışlık bir veri aynı tepe noktasını verebilir ama aynı güveni vermez.

Bu soruların ikincisi, yani karşılaştırmanın yapılıp yapılmadığı, dersin asıl ölçütü. Rakip hipotezleri birlikte değerlendirme kuralının sayısal hâli budur.

Kendini sına

1. Açılıştaki iki soruyu ayır. Hangisi veriyi, hangisi parametreyi değişken sayıyor?
2. Hilesiz bir parayla on atışta tam yedi tura görme olasılığını hesapla. Sonra p = 0,7 için aynı veriyi hesapla ve iki değerin oranını bul.
3. Neden p = 0,3, 0,5, 0,7 ve 0,9 için olabilirliklerin toplamı bire eşit çıkmak zorunda değil? Olabilirliğin iki uyarısını yaz.
4. Olabilirlik fonksiyonunun tepe noktası ve genişliği ne söylüyor? Yüz atışta yetmiş tura görmek eğriyi nasıl değiştirir?
5. İki atışta bir tura, bir yazı için p = 0,5 ile p = 0,7 arasındaki olabilirlik oranını hesapla. Bu düz olabilirlik ne söylüyor, ne söylemiyor?
6. 120'lik çarpan neden oranda yok oluyor?
7. Duyarlılığı yüzde 80, özgüllüğü yüzde 95 olan bir testin pozitif olabilirlik oranını hesapla. Durumun yüzde 10 sıklıkta görüldüğü bin kişilik grupta pozitif çıkanların kaçında durum vardır?
8. Vakadaki atlanan soru ne? Olabilirlik oranı kaç çıktı ve bu ne anlama geliyor?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste verinin ne söylediğini ölçtün ve bunun bir olasılık olmadığını, yalnız karşılaştırmada anlam kazanan bir destek derecesi olduğunu gördün. Bir önceki derste ise veri gelmeden önceki bilgiyi önsel dağılım olarak yazmıştık. Sıradaki derste ikisi birleşiyor: sonsal dağılımın önsel ile olabilirliğin çarpımıyla orantılı olduğunu, ve bu çarpımın ancak ikisinin de desteklediği bölgede yükseldiğini göreceksin (L02-P02-M03-D03).