Önsel dağılım

Açılış sahnesi

Pazartesi sabahı, bir ilçe hastanesinin kulak burun boğaz polikliniğinde dil ve konuşma terapisti Selin Hanım bir kâğıda dört sayı yazıyor. Yeni bir ses terapisi programına ilk öğretmen grubu çarşamba başlayacak; hepsi aylardır süren ses kısıklığıyla gelmiş, hepsinin gırtlağı önce hekim tarafından muayene edilmiş. Selin Hanım'ın merak ettiği tek bir büyüklük var: sekiz haftanın sonunda öğretmenlerin ne kadarında sesin belirgin biçimde düzeleceği. Bunu henüz kimse bilmiyor, ama o boş bir kâğıtla başlamıyor.

Yıllardır benzer programlar yürütmüş ve çok parlak ilk sonuçların sonradan sönükleştiğini görmüş. Kâğıda "yüzde 20, yüzde 40, yüzde 60, yüzde 80" diye dört olası yanıt oranı yazıyor ve her birinin yanına ne kadar makul bulduğunu gösteren bir ağırlık koyuyor: 0,2, 0,4, 0,3 ve 0,1. Dört ağırlığın toplamı tam 1. Bu küçük tablo, bu dersin konusudur: veri gelmeden önce bildiğini bir dağılım olarak yazmak.

Bu derste ne olacak

Önce önselin neden tek bir sayı değil de bir dağılım olduğunu kuracak, Selin Hanım'ın tablosunun merkezini elle hesaplayacağız. Sonra en yaygın itiraza, öznelliğe geleceğiz. Ardından üç önsel türünü ve "bilgi taşımayan önsel" fikrinin neden bir sayıyla çöktüğünü göreceğiz. Son bölümde aynı küçük veriyi iki farklı önselle işleyip önselin tahmini nasıl dizginlediğini hesaplayacağız.

Sıfır noktası

Test sonrası olasılık dersinde (L01-P05-M03-D02) güncellemeyi zaten yapmıştın. Bir hastanın ön test olasılığını yüzde 30 almış, bunu odds'a çevirmiş ve olabilirlik oranıyla çarpmıştın. Orada bilinmeyen şey iki değerliydi: hastalık ya vardı ya yoktu, ve başlangıçtaki bilgin tek bir sayıya sığıyordu. Selin Hanım'ın sorusu öyle değil. Yanıt oranı yüzde 20 de olabilir, yüzde 60 da; bilinmeyen büyüklüğün birçok olası değeri var ve her birine ayrı bir güven düzeyi düşüyor.

Böyle bir büyüklük hakkında olasılık konuşabilmek için olasılığın hangi yorumunu kullandığını bilmen gerekiyor. Olay ve olasılık dersinde (L02-P02-M01-D02) iki yorumu ayırmıştın: sıklık ve inanç. Sıklık yorumunda programın gerçek yanıt oranı sabit bir sayıdır ve onun "yüzde 30 olasılıkla 0,4 olması" anlamsızdır. İnanç yorumunda ise olasılık, o sayı hakkındaki bilgimizin ne kadar kesin olduğunu tarif eder. Bu modül ikinci yorumu açıkça benimsiyor.

Tanımın son cümlesi bu modülde en sık yanlış anlaşılan yer, bu yüzden baştan somutlaştıralım. Selin Hanım'ın programının gerçek bir yanıt oranı var ve o oran pazartesiden çarşambaya değişmiyor. Kâğıttaki dört ağırlık o oranın dalgalandığını söylemiyor; Selin Hanım'ın onu ne kadar bildiğini söylüyor. Dağılım doğanın değil, bilginin dağılımıdır.

Mekanizma

Neden bir dağılım, tek bir sayı değil

Önsel bilgi nadiren "tam şu kadar" biçimindedir; çoğu zaman "şu aralıkta, şuraya daha yakın" biçimindedir. Bir dağılım tam olarak bunu yazar ve üç bilgi taşır. Merkez en makul görülen değeri, yayılım ne kadar emin olunduğunu, biçim de belirsizliğin simetrik mi yoksa bir yana çarpık mı olduğunu gösterir. Selin Hanım'ın tablosunda ağırlık yüzde 40 çevresinde toplanmış ve yüksek oranlara doğru inceliyor, yani hafifçe çarpık bir önsel.

Merkezi elle bulalım. Her olası değeri ağırlığıyla çarpıp toplarsın: 0,2 × 0,2 + 0,4 × 0,4 + 0,6 × 0,3 + 0,8 × 0,1 = 0,04 + 0,16 + 0,18 + 0,08 = 0,46. Selin Hanım'ın önsel beklentisi, öğretmenlerin kabaca yarısından biraz azında belirgin düzelme. Ama aynı merkez çok farklı güven düzeylerinden çıkabilir.

Yayılımın neden en önemli bilgi olduğunu bir karşılaştırma gösteriyor. Selin Hanım'ın bir meslektaşı yalnız "yüzde 40 ile yüzde 60 arası" demiş ve ağırlığı bu iki değere 0,5 ve 0,5 diye bölmüş olsun; merkezi 0,4 × 0,5 + 0,6 × 0,5 = 0,5 çıkar, Selin Hanım'ınkine yakın. Ama bu önsel yüzde 20'yi ve yüzde 80'i baştan dışlıyor, yani çok daha fazla bilgi iddia ediyor. Geniş bir önsel az bilgi, dar bir önsel çok bilgi bildirir; ne kadar bilgi iddia edildiği de sonucu doğrudan etkiler.

Öznellik itirazı

Bu yaklaşıma en sık yöneltilen itiraz şu: önsel seçmek özneldir, o hâlde sonuç da özneldir. İtirazın doğru bir çekirdeği var. Selin Hanım'ın ağırlıkları bir seçim, meslektaşınınki başka bir seçim, ve aynı veri iki önselden farklı sonuçlar üretecek. Bunu dersin sonunda sayıyla göreceksin.

Yine de itiraz iki noktada eksik kalıyor. Birincisi, alternatif önselsizlik değil, gizli önseldir. Önselsiz görünen bir çözümleme de varsayım taşır: dağılımın biçimi, gözlemlerin bağımsızlığı, modelin nasıl kurulduğu. Dağılım varsayımı dersinde bu kuralı görmüştün; değişken ve denklem dersinden gelen biçimiyle, bir modelin en büyük varsayımı genellikle yazdığı değil, yazmadığı şeydir. Bayesçi yaklaşımın farkı bir varsayım daha eklemesi değil, varsayımlardan birini kâğıda yazıp görünür kılmasıdır.

İkinci nokta, öznelliğin etkisinin ölçülebilmesi. Farklı ama makul önsellerle aynı hesabı tekrarlayıp sonucun ne kadar oynadığını gösterebilirsin. Sonuç pek değişmiyorsa önsel seçimi önemsizdir; çok değişiyorsa bu da okurun bilmesi gereken bir bulgudur.

Akademinin tekrar eden kuralı burada bir adım ileri gidiyor. Seçim veriden çıkmıyor, bildiriliyor; Bayesçi çözümlemede ayrıca seçimin etkisi de ölçülüyor.

Kartın bulgusu bir okuma kuralı veriyor: önselin ne kadar önemli olduğu, verinin ne kadar güçlü olduğuna bağlıdır. Bol veride önsel neredeyse silinir, az veride belirleyici olur. Tam da az veri olduğunda önselin bildirilmesi bu yüzden şarttır.

Önsel türleri

Önseller taşıdıkları bilgi miktarına göre üç türe ayrılır. Selin Hanım'ın tablosu ortada duruyor; meslektaşının iki değerli önseli bir uca yakın.

Üçüncü tanımdaki uyarı az bilinir ve bir hesapla açıkça görünür. Selin Hanım "hiçbir fikrim yok" deyip yanıt oranının 0 ile 1 arasındaki her değerine eşit ağırlık versin. Aynı bilgiyi odds ölçeğinde yazalım: oran 0,5 iken odds 0,5 ÷ 0,5 = 1, oran 0,75 iken 0,75 ÷ 0,25 = 3. Düz önsel, ağırlığın yarısını 0 ile 1 arasındaki odds değerlerine, dörtte birini 1 ile 3 arasına, kalan dörtte birini de 3'ün üzerindeki sınırsız aralığa veriyor. Odds ölçeğinde bu hiç de düz değil.

Logaritma dersinde (L02-P01-M02-D04) ölçek değiştirmenin ortalamayı nasıl değiştirdiğini görmüştün; burada aynı şey belirsizliğin kendisine oluyor. "Bilgi taşımayan önsel" diye bir şey yok, yalnız hangi ölçekte az bilgi taşıdığı seçilmiş önseller var. Pratikte bu yüzden en çok önerilen ikinci türdür: imkânsızı eleyen ama fazlasını iddia etmeyen önsel.

Önsel nereden geliyor

Selin Hanım'ın ağırlıkları havadan gelmiyor ve bir önselin meşru kaynakları sınırlı sayıda. En güçlüsü önceki çalışmalardır; kanıt sentezinde öğrendiğin gibi birden çok çalışmanın birleştirilmiş sonucu tek bir sayıdan fazlasını, bir aralığı verir. Fiziksel ve biyolojik sınırlar ikinci kaynaktır: bir yanıt oranı 1'i aşamaz, bir süre negatif olamaz. Yapılandırılmış biçimde toplanmış alan uzmanlığı, yani birkaç terapistin ayrı ayrı sorulup cevaplarının birleştirilmesi, üçüncü kaynaktır.

Dördüncü kaynak en sık atlananıdır: makul etki büyüklüğü aralığı. Sağlıkta çok büyük etkiler seyrektir ve bu bilginin kendisi bir önseldir. Selin Hanım'ın yüzde 80'e yalnız 0,1 ağırlık vermesinin nedeni de bu: parlak sonuçların sonradan küçüldüğünü defalarca görmüş.

Aynı küçük veri, iki önsel

Sekiz hafta sonra ilk grubun sonuçları geliyor: beş öğretmenin dördünde ses belirgin biçimde düzelmiş. Ham oran 4 ÷ 5 = 0,8, yani Selin Hanım'ın en iyimser değeri. Her aday oranın bu sonucu ne kadar iyi açıkladığını, dört düzelme ve bir düzelmeme görme şansıyla ölçebilirsin. Oran 0,8 için bu 0,8 × 0,8 × 0,8 × 0,8 × 0,2 ≈ 0,082, oran 0,6 için ≈ 0,052, oran 0,4 için ≈ 0,015, oran 0,2 için ≈ 0,001.

Önce "hiçbir fikrim yok" diyen belirsiz önselle işle: dört değere eşit, 0,25'er ağırlık. Her ağırlığı uyumla çarpıp çarpımları toplama bölersin; 0,8'in payı 0,25 × 0,08192 ≈ 0,0205 ve toplam 0,0376 olduğu için 0,0205 ÷ 0,0376 ≈ 0,54 çıkar. Güncellenmiş beklenti yaklaşık 0,69'a varıyor, verinin 0,8'ine yakın. Şimdi Selin Hanım'ın önseliyle aynı hesap: 0,8'in çarpımı 0,1 × 0,08192 ≈ 0,0082, 0,6'nınki 0,3 × 0,05184 ≈ 0,0156, dört çarpımın toplamı 0,0301. Paylar 0,8 için yaklaşık 0,27, 0,6 için 0,52 oluyor ve güncellenmiş beklenti 0,61'e iniyor.

Bu hesabın her adımını sonsal dağılım dersinde ayrıca kuracaksın; şimdilik sonuca bak. Aynı beş öğretmen, iki önsel, iki beklenti: 0,69 ve 0,61. İkinci çözümleme ham 0,8'i daha çok geri çekti, çünkü ek bir bilgi kullandı: bu alanda çok yüksek yanıt oranlarının seyrek olduğu bilgisini. Aynı hesabı elli öğretmenin kırkında düzelme görülen bir veriyle tekrarlarsan iki beklenti 0,80 ve 0,79 çıkıyor, neredeyse aynı. İlk kanıt kartının söylediği tam olarak bu: az veride önsel belirleyici, bol veride silikleşiyor.

Klinik gerçeklik

Bir Bayesçi sonuçla karşılaştığında ilk sorun önselin ne olduğu ve nereden geldiği olmalı. Önceki çalışmalardan mı, alan uzmanlarından mı, yoksa "varsayılan" diye bir yazılımdan mı geldi? Ardından önselin dar mı geniş mi olduğuna bak, çünkü darlık ne kadar bilgi iddia edildiğini söyler. Selin Hanım'ın meslektaşınınki gibi iki değere sıkışmış bir önsel, veri ne derse desin sonucu o iki değerin arasına hapseder.

Sonra duyarlılık çözümlemesinin yapılıp yapılmadığını ara ve verinin ne kadar güçlü olduğunu tart. Bu iki soru birbirine bağlı: elli kişilik bir veride iki önsel 0,80 ile 0,79 verdiyse duyarlılık çözümlemesi bir formalitedir, beş kişilik bir veride 0,69 ile 0,61 verdiyse asıl bulgudur. Verinin gücü, duyarlılık sorusunun ne kadar önemli olduğunu belirler.

Kendini sına

1. Önsel dağılımı tanımla. Neyin dağılımı: doğanın mı, bilginin mi?
2. Test sonrası olasılıkta ön test olasılığı tek bir sayıydı. Selin Hanım'ın sorusunda neden bir dağılım gerekiyor?
3. Selin Hanım'ın önselinin merkezini elle hesapla. Meslektaşının iki değerli önseliyle merkezleri yakın, yayılımları farklı; bu fark neyi değiştirir?
4. Öznellik itirazının doğru çekirdeği ne? İtirazın eksik kaldığı iki nokta ne?
5. Üç önsel türünü yaz. Oran ölçeğinde düz bir önselin odds ölçeğinde neden düz olmadığını sayılarla göster.
6. Bir önselin dört meşru kaynağını say. Selin Hanım'ın yüzde 80'e düşük ağırlık vermesi hangisinden geliyor?
7. Beş öğretmenin dördünde düzelme görüldüğünde belirsiz önselle 0,8'in payını hesapla. Selin Hanım'ın önseliyle bu pay neden küçülüyor?
8. Elli öğretmenlik veride iki beklentinin buluşması hangi kanıt kartının bulgusunu gösteriyor? Küçültme etkisi hangi kartın bulgusuna karşılık geliyor?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste veri gelmeden önceki bilgiyi yazdın ve son bölümde bir çarpanı neredeyse adını koymadan kullandın: her aday oranın beş öğretmenin sonucunu ne kadar iyi açıkladığını gösteren sayıları. Sıradaki ders o sayıların kendisini ele alıyor. Önseldeki ağırlıklar toplanınca 1 ediyordu; verinin her olası değeri ne kadar desteklediğini gösteren bu ölçünün neden bire tamamlanmak zorunda olmadığını, ve neden yalnız iki değerin oranı olarak anlam kazandığını orada göreceksin.