Dağılım varsayımı

Açılış sahnesi

Bir değerlendirme toplantısında sekiz haftalık bir nefes ve hareket programının sonuçları perdeye yansıtılıyor. Program on ayrı grupta yürütülmüş, her grupta yirmi katılımcı var; toplam iki yüz kişi. Hedefe ulaşan katılımcıların oranı 0,30 ve raporda yüzde doksan beşlik aralık 0,24 ile 0,36 arasında yazıyor. Aralık dar, sonuç kesin görünüyor.

Toplantıdaki eğitmenlerden biri bir ayrıntı hatırlatıyor. Katılımcılar her hafta aynı grupla, aynı eğitmenle, aynı salonda buluştu. Bir grupta iki kişi erken bırakınca öteki katılımcıların hevesi de düştü; başka bir grupta eğitmenin anlatımı herkesi sürükledi. Yani aynı gruptaki yirmi kişi birbirinden bağımsız yirmi deneme değildi. Aralığı hesaplayan formül ise tam tersini kabul etmişti ve bu kabul raporun hiçbir yerinde yazmıyordu. Bu ders, o yazılmayan kabulün adını ve bedelini sayılarla anlatıyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu modülde kurduğun dağılımların her birinin, verinin nasıl üretildiği hakkında hangi iddiayı taşıdığını bir tabloda toplayacağız. Sonra bağımsızlık bozulduğunda ne olduğunu açılıştaki iki yüz kişiyle hesaplayacak, etkin örneklem büyüklüğünü ve aralığın gerçekte ne kadar geniş olması gerektiğini bulacağız. Ardından varsayımla başa çıkmanın yollarına, sınamaya, dönüştürmeye ve dağılım biçimi varsaymayan yöntemlere geçeceğiz. Son bölümde modülü kapatan kurala geleceksin: varsayım bildirilir.

Sıfır noktası

Değişken ve denklem dersinde (L02-P01-M02-D01) bir modelin en büyük varsayımının genellikle yazdığı değil, yazmadığı şey olduğunu görmüştün. Dağılım seçimi bu kuralın en saf örneğidir. Raporda yalnız bir yöntem adı ya da bir aralık yazar; arkasındaki "bu veri şu süreçle üretildi" cümlesi yazmaz. Açılıştaki aralık da bir binom modeline dayanıyordu ve o model, iki yüz katılımcının her birinin aynı olasılıkla ve ötekilerden bağımsız olarak hedefe ulaştığını söylüyordu.

Mekanizma

Her dağılım bir süreç iddiası

Tablonun son sütununa bak: beş satırın dördünde bağımsızlık ya da homojenlik geçiyor. Bu iki varsayım modülün bütün dağılımlarının ortak zeminidir ve bozulduklarında sonuç şaşırtıcı biçimde tek yönlüdür. t ve ki-kare dağılımları tabloda yok, çünkü onlar verinin değil tahminlerin dağılımıdır; ama hesaplandıkları veri yine bu iki kabule dayanır. Ki-kare dersindeki tablonun her kişiyi bir kez ve bağımsız sayması bunun bir örneğiydi.

Bağımsızlık bozulduğunda: tasarım etkisi

Açılıştaki veride katılımcılar gruplar hâlinde kümelenmiş. Aynı gruptakiler birbirine, farklı gruptakilerden daha çok benziyor. Bu benzerliğin gücü grup içi korelasyon denen bir sayıyla ölçülür ve ρ harfiyle gösterilir: 0 ise aynı gruptan olmak hiçbir şey değiştirmez, 1 ise bir gruptaki herkes aynı sonucu verir. Buradaki kurgu değer ρ = 0,05, yani küçük bir benzerlik.

Her grupta yirmi kişi olduğu için m = 20. Tasarım etkisi 1 + (20 − 1) × 0,05 = 1 + 19 × 0,05 = 1,95. Bu, oranın varyansının bağımsızlık varsayımıyla hesaplanandan neredeyse iki kat büyük olduğu anlamına gelir. Aynı bilgiyi başka bir biçimde de söyleyebilirsin: iki yüz kümelenmiş katılımcı, 200 ÷ 1,95 ≈ 103 bağımsız katılımcı kadar bilgi taşıyor.

Şimdi aralığı yeniden hesapla. Bağımsızlık varsayımıyla oranın standart hatası √(0,30 × 0,70 ÷ 200) ≈ 0,032 ve yüzde doksan beşlik aralığın yarı genişliği 1,96 × 0,032 ≈ 0,063; rapordaki 0,24 ile 0,36 buradan geliyor. Varyans 1,95 kat büyükse standart hata √1,95 ≈ 1,4 kat büyüktür: 0,032 × 1,4 ≈ 0,045. Doğru aralık 0,30 ± 1,96 × 0,045, yani yaklaşık 0,21 ile 0,39. Rapordaki aralık gerçek belirsizliği yaklaşık 1,4 kat küçük gösteriyordu.

Bunun bir bedeli var ve o da hesaplanabilir. Yüzde doksan beş diye yazılan dar aralık, gerçek standart hatanın yalnız 1,96 ÷ 1,4 ≈ 1,4 katı genişliğinde. Bu genişlikteki bir aralık, tekrarlanan çalışmalarda gerçek değeri yüzde doksan beş değil, yaklaşık yüzde seksen dört oranında kapsar. Grup içi benzerlik 0,10 olsaydı tasarım etkisi 1 + 19 × 0,10 = 2,9 olur, iki yüz kişi yaklaşık 69 bağımsız kişiye iner ve kapsama yüzde yetmiş beşe düşerdi.

Formülün küme büyüklüğüne ne kadar duyarlı olduğunu da gör. Aynı ρ = 0,05 ile iki yüz kişi tek bir büyük grupta toplansaydı tasarım etkisi 1 + 199 × 0,05 ≈ 10,95 ve etkin örneklem yaklaşık 18 kişi olurdu. Herkes ayrı ayrı izlenseydi m = 1, tasarım etkisi 1 + 0 × 0,05 = 1 ve hiçbir kayıp olmazdı. Küçük bir benzerlik, büyük kümelerde büyük bir bilgi kaybına dönüşür.

Binom dağılımını işleyen L02-P02-M02-D02'de aşırı yayılımı, poliklinikler arasındaki gerçek farklılıkların gözlenen yayılımı modelin öngördüğünün birkaç katına çıkarması olarak görmüştün. Tasarım etkisi o gözlemi bir düzeltme yöntemine çeviriyor: yayılımın ne kadar büyüdüğünü tek bir çarpana bağlıyor ve aralığı o çarpanın kareköküyle genişletiyor. Homojenliğin bozulduğu durumda da mantık aynıdır, çünkü gruplar arasındaki gerçek fark, grup içindeki benzerliğin öteki yüzüdür.

Hata neden hep aynı yöne gidiyor

Tasarım etkisi formülünde ρ sıfırdan küçük olmadıkça sonuç 1'den küçük çıkmaz. Gerçek kümelenmiş verilerde ρ neredeyse her zaman pozitiftir, çünkü aynı ortamı paylaşan kişiler birbirine benzer. Bu yüzden bağımsızlığı yanlış yere varsaymak aralığı rastgele genişletip daraltmaz; hemen her zaman daraltır. Varsayım hataları rastgele değil, sistematik olarak aşırı güven üretir.

Bu aşırı güven üç biçimde görünür ve üçü birbirine bağlıdır. Aralıklar dar çıkar, açılıştaki 0,24 ile 0,36 aralığı gibi. Dar aralıklar yüzünden rastlantısal farklar gerçek fark sanılır ve yanlış pozitif oranı yükselir. Sonra aynı soruyu soran bir sonraki çalışma aynı sonucu bulamaz, çünkü ilk sonuç baştan olduğundan kesin görünüyordu. Akademinin bilimsel okuryazarlık düzeyinde sık karşına çıkan tekrarlanabilirlik sorununun kaynaklarından biri budur.

Kartın notundaki son cümle, açılıştaki rapora yöneltilecek soruyu veriyor. Kümelenmeyi hesaba katan bir yöntem kullanılmış mı, kullanılmışsa hangisi? Rapor yalnız bir aralık yazıp bunu söylemiyorsa, aralığın 0,24 ile 0,36 mı, yoksa 0,21 ile 0,39 mu olduğunu bilemezsin.

Varsayımla başa çıkmanın üç yolu

İlk yol varsayımı sınamaktır. Grafiklerle ve sayısal sınamalarla verinin varsayılan biçime uyup uymadığına bakılır. Ama bu sınamaların ters işleyen bir zayıflığı var. Küçük örneklemde sınamanın gücü düşüktür ve varsayım bozuk olsa da yakalanamaz; oysa tam da küçük örneklemde varsayım en çok önemlidir. Büyük örneklemde ise sınama önemsiz sapmaları bile "bozuk" diye işaretler, oysa orada varsayım en az önemlidir.

Bu yüzden sınama tek başına karar vermez; grafiğe bakmak ve verinin nasıl toplandığını bilmek onunla birlikte kullanılır. Açılıştaki kümelenmeyi hiçbir normallik sınaması yakalamazdı. Onu ortaya çıkaran, eğitmenin katılımcıların gruplar hâlinde buluştuğunu hatırlatmasıydı, yani alan bilgisiydi.

İkinci yol dönüştürmektir. Log-normal dersinde gördüğün gibi, çarpımsal bir nicelik logaritma alınarak simetrik hâle getirilebilir. Kazancı gerçektir, ama bir bedeli vardır. Dönüştürülmüş ölçekte hesaplanan ortalama geri çevrildiğinde geometrik ortalamaya dönüşür, aritmetik ortalamaya değil. Dönüşüm sorunu çözmez, sorulan soruyu değiştirir ve bu değişiklik bildirilmelidir.

Üçüncü yol, dağılım biçimi varsaymayan yöntemlerdir: sıralamaya dayananlar ve veriden yeniden örnekleme yapanlar. Bazı durumlarda daha az güçlüdürler ve bazı sorulara cevap vermezler. Daha önemlisi, adlarının düşündürdüğü kadar varsayımsız değildirler. Yeniden örnekleme yöntemi açılıştaki iki yüz kişiyi bağımsız birer birim gibi karıştırırsa, aynı dar aralığı yeniden üretir.

Kümelenme söz konusu olduğunda doğru yol çoğu zaman bir dördüncüsüdür: kümeyi modele açıkça yazmak. Tasarım etkisiyle düzeltme bunun en basit hâlidir. Daha gelişmiş yöntemler grupları ayrı bir düzey olarak modelleyip aynı düzeltmeyi veriden tahmin eder.

Modülün asıl kuralı

Üç yol da aynı yere çıkıyor: hangi dağılımın varsayıldığı ve verinin nasıl kümelendiği bildirilmelidir. Bildirilmediğinde okuyucu, sonucun hangi iddiaya dayandığını bilemez. Genellikle yöntemin adı yazılır, arkasındaki iddia yazılmaz.

Klinik gerçeklik

Bir çözümleme sonucuyla karşılaştığında önce hangi dağılımın varsayıldığını sor; yöntemin adını değil, arkasındaki süreç iddiasını. Sonra verinin nasıl toplandığına bak: katılımcılar gruplar, klinikler, aileler ya da tekrarlı ölçümler hâlinde kümelenmiş mi? Kümelenmişse küme büyüklüğünü bul ve raporun bunu hesaba katıp katmadığını ara. Yirmi kişilik gruplarda küçük bir benzerlik bile standart hatayı 1,4 kat büyütebildiğine göre, bu soru aralığın kendisi kadar önemlidir.

Ardından dönüşüm yapılıp yapılmadığını ve bildirilen merkezin hangi ölçü olduğunu kontrol et. Son olarak aralığın bir ucunun imkânsız bir değere inip inmediğine bak. İniyorsa varsayılan dağılım veriye uymuyordur ve bu kontrolün güzelliği, doğru cevabı bilmeden çalışmasıdır. Boyut analizi gibi o da geçilmesi zorunlu ama tek başına yeterli olmayan bir sınamadır.

Kendini sına

1. Bir dağılım seçmek ne iddia eder? Açılıştaki aralık hangi iddiaya dayanıyordu?
2. Tablodaki beş dağılımda en sık bozulan iki varsayım hangileri?
3. On grupta yirmişer kişi ve ρ = 0,05 için tasarım etkisini ve etkin örneklem büyüklüğünü hesapla.
4. Aynı çalışmada her grupta beş kişi olsaydı, kırk grup ve aynı ρ ile tasarım etkisi kaç olurdu? Bu sonuç çalışma tasarımı için ne söylüyor?
5. Standart hata neden tasarım etkisinin kendisiyle değil, kareköküyle büyür? Açılıştaki aralık nasıl değişti?
6. Varsayım hataları neden hep belirsizliği küçük gösterme yönüne gider? Üç görünümünü açıkla.
7. Sınamanın ters duyarlılığı nedir? Açılıştaki kümelenmeyi neden bir normallik sınaması yakalayamazdı?
8. Varsayımsızlığın sınırı nedir? "Aynı veri, üç yöntem" vakasındaki üç sonuç neden çelişkili görünüyor?

Modülün kapanışı

Bu modülde yedi dağılım biçimi kurdun: Bernoulli, binom, Poisson, normal, log-normal, t ve ki-kare. İlk beşi niceliklerin, son ikisi tahminlerin dağılımıydı; t dağılımı dersinde kurulan bu ayrım, modülün ikinci yarısını taşıdı. Hepsinin altında aynı cümle duruyor: bir dağılım seçmek, verinin nasıl üretildiği hakkında bir iddiada bulunmaktır. Bu, akademide sonlanım seçiminde, maruziyet ölçüsü seçiminde ve merkezilik ölçüsü seçiminde de karşına çıkan yapının en genel hâli: seçim veriden çıkmaz, yapılır ve bildirilir.

Modüle özgü ikinci bulgu da bu derste sayıya döküldü. Varsayım hataları rastgele değildir; neredeyse hepsi aynı yöne çalışır ve belirsizliği küçük gösterir. Açılıştaki iki yüz kişi 103 kişilik bilgi taşıyordu ve rapor bunu söylemiyordu.

Sıradaki modül, Bayesçi düşünme, bu tabloyu tersinden ele alıyor. Her çözümleme bir varsayım taşıyorsa, o varsayımlardan birini, çalışmadan önce ne bildiğini, açıkça yazıya dökmek mümkün mü? İlk ders önsel dağılımı, yani bir verinin görülmeden önceki bilginin nasıl bir dağılım olarak yazıldığını kuruyor ve adı konmamış bir önselin de yine bir önsel olduğunu gösteriyor.