Ki-kare dağılımı

Açılış sahnesi

Bir aile sağlığı merkezinin aylık kalite toplantısında hemşire tahtaya dört kutulu bir tablo çiziyor. Gidişi bozulmuş açlık kan şekeri olan yüz kişi altı ay önce iki gruba ayrılmış: elli kişi haftalık grup programına katılmış, elli kişi olağan öneriyi almış. Altı ayın sonunda programdaki elli kişiden otuzunun değeri hedef aralığa inmiş, olağan öneri grubunda ise yirmisinin. Yüzde altmış ile yüzde kırk yan yana duruyor ve masadaki herkes aynı şeyi soruyor: bu fark program yüzünden mi, yoksa iki grup arasında hiçbir gerçek fark olmasaydı da böyle bir tablo çıkabilir miydi? (Tablodaki sayılar bu ders için kurgulandı.)

Bu soruya cevap vermenin bir yolu, gözlenen dört sayıyı "hiçbir fark olmasaydı" beklenecek dört sayıyla karşılaştırmaktır. Ki-kare, iki tablo arasındaki uzaklığı tek bir sayıya çeviren ölçüdür. Bu derste o sayıyı elle hesaplayacak, sonra büyüklüğünün ne söylediğini ve daha önemlisi ne söylemediğini göreceksin.

Bu derste ne olacak

Önce beklenen sayı fikrini kurup toplantıdaki tablo için dört beklenen değeri hesaplayacağız. Sonra her hücrenin katkısını bulup toplayacak, çıkan sayıyı standart tablo değeriyle karşılaştıracağız. Ardından bu karşılaştırmanın neden işe yaradığını, ki-karenin bir standart normalin karesi olmasıyla açıklayacağız. Son bölümde üç sınırı sayılarla göreceksin: örneklem büyüdükçe ölçünün büyümesi, küçük hücrelerde yaklaşımın bozulması ve ölçünün bir etki büyüklüğü olmaması.

Sıfır noktası

Tablonun iki kenarında toplamlar var. Satırlarda her grupta elli kişi, sütunlarda toplam elli kişi hedefe inmiş, elli kişi inmemiş, genel toplam yüz. Şimdi programın hiçbir etkisi olmadığını varsay. O zaman bir kişinin hedefe inme olasılığı hangi grupta olduğuna bağlı olmaz ve L02-P02-M01-D05'te kurulan çarpma kuralı devreye girer: bağımsız iki olayın birlikte görülme olasılığı, olasılıklarının çarpımıdır.

Hesabın kuralı kısa: satır toplamı × sütun toplamı ÷ genel toplam. Programda olup hedefe inen hücre için 50 × 50 ÷ 100 = 25. Tablo simetrik olduğu için dört hücrenin dördünde de beklenen sayı 25 çıkıyor. Yani fark olmasaydı her grupta yirmi beş kişinin hedefe inmesini bekleyecektik; programda otuz, olağan öneride yirmi gördük.

Mekanizma

Dört hücre, dört katkı

Her hücre için aynı işlemi yapıyorsun: gözlenen eksi beklenen, karesini al, beklenene böl. Programda hedefe inenler için (30 − 25)² ÷ 25 = 25 ÷ 25 = 1. Programda hedefe inmeyenler için (20 − 25)² ÷ 25 = 1. Olağan öneri grubunun iki hücresi de aynı biçimde birer katkı veriyor. Dört katkının toplamı 1 + 1 + 1 + 1 = 4 ve toplantıdaki tablonun ki-kare değeri bu.

Bu iki işlemin her birinin bir gerekçesi var. Kare alınıyor, çünkü sapmalar iki yönde olabiliyor ve doğrudan toplanırsa birbirini götürüyorlar: yukarıdaki dört sapma +5, −5, −5 ve +5, toplamları sıfır. Beklenen sayıya bölünüyor, çünkü aynı büyüklükteki bir sapma küçük bir gözde büyük bir gözden çok daha fazla şey anlatır. Bu ikinci kararı ayrı bir örnekle görmek gerekiyor, çünkü simetrik tabloda bütün hücreler eşit olduğu için görünmüyor.

Aynı merkezde programı yarıda bırakanları sayalım: iki grupta yüzer kişi, programda sekizi, olağan öneride ikisi bırakmış. Toplam on kişi bırakmış, yüz doksanı devam etmiş. Beklenen sayılar bırakanlar için 100 × 10 ÷ 200 = 5, devam edenler için 100 × 190 ÷ 200 = 95. Dört hücrenin dördünde sapma 3 kişi. Ama bırakanlar hücresinin katkısı 9 ÷ 5 = 1,8 iken devam edenlerinki 9 ÷ 95 ≈ 0,095; aynı üç kişilik fark, küçük hücrede on dokuz kat daha ağır basıyor. Toplam 1,8 + 1,8 + 0,095 + 0,095 ≈ 3,79.

Beklenen beş kişiyken üç kişilik sapma yüzde altmışlık bir kaymadır, beklenen doksan beş kişiyken yüzde üçten biraz fazladır. Ki-kare ölçüsü bu sezgiyi hesabın içine gömüyor.

Serbestlik derecesi ve 3,84

Bir 2 × 2 tabloda satır ve sütun toplamları sabitken kaç hücreyi serbestçe doldurabilirsin? Programda hedefe inenleri 30 diye yazdığın anda programın diğer hücresi 50 − 30 = 20 olmak zorunda, olağan öneride hedefe inenler 50 − 30 = 20, son hücre de 50 − 20 = 30. Tek bir sayı bütün tabloyu belirliyor. Genel kural (satır sayısı − 1) × (sütun sayısı − 1) ve burada (2 − 1) × (2 − 1) = 1. t dağılımı dersinde gördüğün serbestlik derecesi fikri burada da aynı: tahminin kaç bağımsız bilgi parçasına dayandığı.

Bir serbestlik dereceli ki-kare dağılımında, hiçbir ilişki yokken değerlerin yüzde doksan beşi yaklaşık 3,84'ün altında kalır. Bu sayı bir çalışmanın bulgusu değil, her istatistik kitabının ekindeki standart tablo değeridir. Toplantıdaki tablo 4 verdi, sınırın hemen üstünde; yarıda bırakma tablosu 3,79 verdi, sınırın hemen altında. İkisi arasındaki fark, ondalıklarla ifade edilecek kadar küçük ve bu yakınlık, tek bir eşiğe bakarak karar vermenin ne kadar kırılgan olduğunu gösteriyor.

Neden bir standart normalin karesi

3,84 sayısı tanıdık gelebilir: yüzde doksan beşlik güven aralıklarında kullanılan 1,96'nın karesi, 1,96 × 1,96 ≈ 3,84. Bu bir rastlantı değil. Tek serbestlik dereceli ki-kare dağılımı, standart normal bir değişkenin karesinin dağılımıdır. Standart normal değerin yüzde doksan beşi −1,96 ile +1,96 arasında kalıyorsa, karesinin yüzde doksan beşi de 3,84'ün altında kalır.

Bunu toplantıdaki tabloda doğrudan görebilirsin. İki oranın farkı 0,6 − 0,4 = 0,2. Fark olmasaydı ortak oran 0,5 olurdu ve farkın standart hatası √(0,5 × 0,5 × (1/50 + 1/50)) = √(0,25 × 0,04) = √0,01 = 0,1. Farkı standart hatasına bölünce 0,2 ÷ 0,1 = 2 standart normal birim çıkıyor ve 2² = 4, yani dört hücreden topladığın ki-kare değerinin ta kendisi. Yarıda bırakma tablosunda da aynı: ortak oran 0,05, standart hata yaklaşık 0,0308, fark 0,06, oran 0,06 ÷ 0,0308 ≈ 1,95 ve karesi yaklaşık 3,79.

Daha çok serbestlik derecesi, bu karelerin birden fazlasının toplanması demek. Aynı fikir ki-karenin ikinci bir kullanımını da açıklıyor: bir örneklemden hesaplanan varyans, ortalamadan sapmaların karelerinin toplamı olduğu için onun dalgalanması da ki-kare dağılımıyla tarif ediliyor. t dağılımı dersindeki "yayılım tahmininin de dalgalanması" bu dağılımın işi. Özetle t dağılımı merkezin, ki-kare yayılımın belirsizliğini tarif ediyor.

Örneklem büyüdükçe ölçü büyüyor

Şimdi dersin en sonuçlu hesabı. Aynı merkez programı on kat büyüklükte bir ilçeye yaymış olsun: her grupta beş yüz kişi, programda üç yüzü, olağan öneride iki yüzü hedefe inmiş. Oranlar hiç değişmedi, yine yüzde altmış ile yüzde kırk. Beklenen sayılar 500 × 500 ÷ 1000 = 250, her hücrede sapma 50 ve her hücrenin katkısı 50² ÷ 250 = 2500 ÷ 250 = 10. Toplam 40, yani ilk tablonun tam on katı.

Formüle bakınca neden böyle olduğu görünüyor. Bütün sayılar on katına çıktığında sapma on katına, karesi yüz katına çıkıyor; paydadaki beklenen sayı ise yalnız on katına. Yüzün ona bölümü on. Aynı hesap tersine de işler: grup başına yirmi kişide on iki ile sekiz, aynı yüzde altmış ile yüzde kırk, beklenen sayılar 10, her katkı 2² ÷ 10 = 0,4 ve toplam 1,6. Fark aynı yirmi yüzde puanı; ki-kare yirmi kişide 1,6, elli kişide 4, beş yüz kişide 40.

Bu, L01-P04-M02-D03'te kurulan istatistiksel anlamlılık ile klinik önem ayrımının aritmetik temeli. Kırk değerindeki bir ki-kare, dörtlükten on kat daha büyük bir program etkisi bildirmiyor; aynı etkinin on kat daha kalabalık bir tabloda ölçüldüğünü bildiriyor. Farkın büyüklüğünü sormak istiyorsan yirmi yüzde puanlık oran farkına ve onun aralığına bakman gerekiyor.

Kartın son cümlesi bir okuma kuralına dönüşüyor. Bir makalede yalnız "ki-kare 40, anlamlı" yazıyorsa, farkın yirmi puan mı yoksa iki puan mı olduğunu bilemezsin; ikisi de yeterince kalabalık bir tabloda aynı değeri verebilir.

Küçük gözler sorunu

Ki-kare dağılımı sürekli bir eğri, oysa tablodaki sayılar tam sayı ve ayrık adımlarla ilerliyor. İkisi ancak beklenen sayılar yeterince büyükken örtüşüyor; binom dersindeki karekök kuralını hatırla, küçük sayılar oransal olarak çok daha oynaktır ve düzgün bir eğriyle iyi tarif edilemez. Beklenen sayılar küçüldükçe yaklaşım bozuluyor ve ölçü yanıltıcı hâle geliyor. Yarıda bırakma tablosunda beklenen sayı 5'ti; sık kullanılan pratik kurallar tam bu civarda uyarı verir.

B rozetinin anlamı şu: yön net, ama eşiğin tam yeri tartışmalı. Bir tabloda en küçük beklenen sayıyı kendin hesaplayabilirsin ve bu, raporda hangi yöntemin kullanıldığı yazmadığında bile sorulacak soruyu sana verir.

Klinik gerçeklik

Bir yayında ya da raporda sayım tablosu karşılaştırması gördüğünde ilk bakacağın şey oranların kendisidir: hangi grupta yüzde kaç, aradaki fark kaç puan ve bu farkın aralığı verilmiş mi? Ki-kare değeri ancak bunun ardından okunur. Sonra örneklem büyüklüğüne bak, çünkü ölçü onunla doğru orantılı büyüyor; binlerce kişilik bir tabloda çok büyük bir ki-kare, klinik açıdan önemsiz bir farkı taşıyor olabilir.

Ardından en küçük beklenen sayıyı kendin hesapla: satır toplamı × sütun toplamı ÷ genel toplam, en küçük satır ile en küçük sütun için. Beşin altındaysa tam bir yöntemin kullanılıp kullanılmadığını sor. Son olarak "anlamlı değil" ifadesini gördüğünde onu "fark yok" diye aktarmadan önce örneklemin o farkı ayırt edecek kadar büyük olup olmadığını düşün. Toplantıdaki hemşireye verilecek dürüst cevap da buradan çıkıyor: yirmi puanlık fark umut verici, ki-kare sınırın hemen üstünde ve elli kişilik gruplarla bu sonucun sağlamlığı sınırlı.

Kendini sına

1. Grup başına kırk kişi, programda yirmi sekiz, olağan öneride on iki kişi hedefe inmiş olsun. Dört beklenen sayıyı hesapla.
2. Aynı tablonun ki-kare değerini hücre hücre hesapla. 3,84 ile karşılaştır.
3. 2 × 2 tabloda serbestlik derecesi neden 1? Tek bir hücreyi yazınca diğer üçünün nasıl belirlendiğini göster.
4. 1,96 ile 3,84 arasındaki ilişki nedir? Bu ilişki ki-kare dağılımı hakkında ne söylüyor?
5. Yarıda bırakma tablosunda aynı üç kişilik sapma neden bir hücrede 1,8, diğerinde 0,095 katkı veriyor?
6. Oranlar aynı kalırken örneklem dört katına çıkarsa ki-kare kaç katına çıkar? Neden?
7. A rozetli kartın okuma kuralını kendi cümlenle yaz.
8. Vakadaki iki çalışma neden çelişkili görünüyor? Çelişkiyi ne ortadan kaldırır?

Bir sonraki derse köprü

Bu dersteki bütün hesaplar sessiz bir kabule dayandı: yüz kişinin her biri tabloya bir kez girdi ve birinin hedefe inmesi ötekini etkilemedi. Aynı kişiyi iki kez sayarsan ya da hastalar aynı grup seansından birbirini etkilediyse, tablodaki yüz kişi yüz bağımsız bilgi taşımaz ve ki-kare olduğundan büyük çıkar. Sıradaki ders bu türden kabulleri tek bir ad altında topluyor: her dağılım seçiminin verinin nasıl üretildiği hakkında bir iddia olduğunu ve bu iddia bozulduğunda hatanın neden hep aynı yöne, belirsizliği olduğundan küçük gösterme yönüne gittiğini göreceksin (L02-P02-M02-D08).