t dağılımı

Açılış sahnesi

Bir tekstil atölyesinin iş sağlığı biriminde hemşire Derya Hanım, masasındaki el dinamometresinin yanına beş satırlık bir liste koymuş. Dikiş makinesi operatörleri altı haftadır vardiya aralarında kısa bir el ve bilek egzersizi molası veriyor ve Derya Hanım ilk beş gönüllünün kavrama gücündeki değişimi kaydetmiş. Kilogram cinsinden değişimler şöyle: 0, 0, 4, 8, 8. Ortalama artış 4, ve müdür yardımcısı kapıdan başını uzatıp soruyor: "Yani işe yarıyor mu?"

Derya Hanım'ın elinde bir sayı var, ama bu sayı başka beş operatörle başka çıkardı. Başka bir beşlide ortalama 2 de olabilirdi, 6 da. Bu derste ortalamanın kendisinin nasıl dalgalandığını ve Derya Hanım'ın o dalgalanmayı tarif ederken bir bilgi eksikliğini neden hesaba katması gerektiğini göreceksin: operatörlerin kavrama gücünün gerçekte ne kadar yayıldığını bilmiyor, onu da aynı beş satırdan tahmin ediyor.

Bu derste ne olacak

Önce veri dağılımı ile tahminin dağılımını ayıracak ve Derya Hanım'ın ortalamasının standart hatasını hesaplayacağız. Sonra aynı beş ölçümle iki aralık kuracağız, biri normal dağılımın 1,96 çarpanıyla, öteki t dağılımının çarpanıyla, ve ikisinin neden farklı sonuca vardığını göreceğiz. Ardından serbestlik derecesini elle sayacak ve örneklem büyüdükçe iki dağılımın nasıl birleştiğini hesaplayacağız. Son bölümde t dağılımının çözmediği sorunu, normallik varsayımını ele alacağız.

Sıfır noktası

Bu modülde buraya kadar gördüğün dağılımlar niceliklerin dağılımıydı: tüplerin, titrelerin, ölçümlerin nasıl yayıldığı. Bu ders ve sonraki, tahminlerin dağılımı hakkında. Derya Hanım'ın beş ölçümü bir veri dağılımıdır; onlardan hesaplanan 4 ise bir tahmin, ve bu tahminin de kendi dağılımı var.

İki dağılımın her birinin kendi yayılım ölçüsü var. Grafik okuma dersinde (L02-P01-M02-D08) bu ayrımı hata çubukları üzerinden kurmuştun: standart sapma ölçümlerin ne kadar yayıldığını, standart hata ortalamanın ne kadar belirsiz olduğunu anlatır. Derya Hanım'ın beş değişiminin ortalamadan sapmaları −4, −4, 0, 4 ve 4. Bunların kareleri toplamı 16 + 16 + 0 + 16 + 16 = 64; dörde bölüp karekök alınca standart sapma √(64 ÷ 4) = 4 çıkıyor. Standart hata bunu örneklem büyüklüğünün kareköküne böler: 4 ÷ √5 ≈ 1,79.

Standart sapma operatörlerin birbirinden ne kadar farklı olduğunu söylüyor ve daha çok operatör ölçtükçe pek değişmeyecek. Standart hata ise Derya Hanım'ın 4'ünün ne kadar oynak olduğunu söylüyor ve örneklem büyüdükçe küçülecek. Şimdi asıl soru şu: bu 1,79'u bir aralığa çevirirken hangi çarpanı kullanmalı?

Mekanizma

Neden normalden kalın kuyruklu

Bir ortalamanın belirsizliğini hesaplamak için iki şey gerekiyor: ortalamanın kendisi ve yayılımın büyüklüğü. Operatörlerin gerçek standart sapmasını bilseydin, ortalama normal dağılımı izlerdi ve normal dağılım dersinde (L02-P02-M02-D04) gördüğün 1,96 çarpanı yeterdi. Ama Derya Hanım gerçek yayılımı bilmiyor. Onu da aynı beş satırdan tahmin etti ve o tahmin de dalgalanıyor: başka bir beşlide standart sapma 2 de çıkabilirdi, 6 da.

Yani iki ayrı kaynaktan gelen bir belirsizlik var. Ortalama dalgalanıyor, ve bu dalgalanmayı ölçmekte kullandığın cetvel de dalgalanıyor. Beş gibi küçük bir örneklemde yayılım tahmini şans eseri küçük çıkarsa aralık haksız yere dar görünür; t dağılımı bu ihtimali kalın kuyruklarıyla karşılar.

Farkı Derya Hanım'ın sayılarıyla gör. Normal çarpanla yüzde 95 aralığın yarı genişliği 1,96 × 1,79 ≈ 3,51 ve aralık 4 − 3,51 = 0,49 ile 4 + 3,51 = 7,51 arası. Sıfır aralığın dışında kalıyor ve müdür yardımcısına "evet, artış var" demek cazip. Beş ölçümle doğru çarpan ise t tablosundan geliyor, 2,776: yarı genişlik 2,776 × 1,79 ≈ 4,97 ve aralık −0,97 ile 8,97 arası. Artık sıfır aralığın içinde. Aynı beş satır, iki çarpan, iki farklı cevap.

Serbestlik derecesi

Beş ölçümden kaç tanesi yayılım hakkında gerçekten bağımsız bilgi taşıyor? Sapmalara geri dön. Ortalamadan sapmaların toplamı her zaman sıfırdır, çünkü ortalama tam da bu toplamı sıfırlayan noktadır. İlk dört sapmayı bildiğinde beşincisi kendiliğinden belirlenir: −4 + (−4) + 0 + 4 + x = 0 ise x = 4. Beş sayıdan yalnız dördü serbest, bu yüzden standart sapmayı hesaplarken de beşe değil dörde böldün.

Tek bir ortalama için serbestlik derecesi gözlem sayısının bir eksiği, ve t dağılımının biçimi bu sayıya göre değişir. Derya Hanım ölçümü on operatöre, sonra otuz operatöre çıkarsın ve standart sapma yine 4 çıksın. On operatörde standart hata 4 ÷ √10 ≈ 1,26, serbestlik derecesi 9, t çarpanı 2,262; yarı genişlik normal çarpanla 2,48, t çarpanıyla 2,86. Otuz operatörde standart hata ≈ 0,73, serbestlik derecesi 29, t çarpanı 2,045; yarı genişlikler 1,43 ve 1,49, neredeyse aynı.

İki çarpanın oranı bu yakınlaşmayı tek sayıyla özetliyor. Beş ölçümde 2,776 ÷ 1,96 ≈ 1,42, yani t aralığı yüzde 42 daha geniş. On ölçümde 2,262 ÷ 1,96 ≈ 1,15, otuz ölçümde 2,045 ÷ 1,96 ≈ 1,04. Az serbestlik derecesinde yayılım tahmini oynak, kuyruklar kalın, aralık geniş; çok serbestlik derecesinde yayılım tahmini kararlı ve t dağılımı normale oturuyor. t dağılımı, normal dağılımın küçük örneklem hâlidir ve örneklem büyüdükçe ikisi birbirine karışır.

Pratik okuma buradan çıkıyor. Büyük örneklemlerde t ile normal arasındaki fark önemsizdir, küçük örneklemlerde ise önemlidir ve göz ardı edilmesi aralıkları olduğundan dar gösterir. Derya Hanım 1,96'yı kullansaydı, beş kişilik bir listeden gerçekte taşımadığı bir kesinlik çıkarmış olurdu.

Normallik varsayımı burada da var

Sık atlanan bir uyarı var. t dağılımının kullanımı, temeldeki verinin normale yakın dağıldığını ya da örneklemin, ortalamaların normale yaklaşmasına yetecek kadar büyük olduğunu varsayar. Bu iki koşul ters yönde çalışır. Örneklem küçükse t gerekir, ama beş ölçümle verinin normal dağılıp dağılmadığını sınamak neredeyse imkânsızdır; örneklem büyükse normallik daha az önemlidir, ama o zaman t ile normal zaten aynıdır.

Yani t dağılımı en çok gerektiği yerde varsayımını en az sınanabilir durumdadır. Bu bir kusur değil, bilinmesi gereken bir sınırdır. Derya Hanım'ın listesinde iki sıfır ve iki sekiz var; beş sayıyla bunun simetrik bir çan mı yoksa iki ayrı gruba mı işaret ettiğini söylemek mümkün değil.

Kartın son cümlesi akademide sık karşına çıkan bir ayrımın bu dersteki hâli. "Sınamada bir bozulma bulunamadı" ile "bozulma yok" farklı cevaplardır. Beş ölçümlük bir normallik sınamasının sessiz kalması, varsayımın sağlandığını değil, sınamanın bakacak kadar veri bulamadığını söyler.

Ne söylüyor, ne söylemiyor

t dağılımı sık yanlış anlatıldığı için bir netleştirme gerekiyor. Söylediği şu: varsayımlar geçerliyse, bu tahmin bu genişlikte bir belirsizlik taşır. Söylemediği ise verinin gerçekten o dağılımdan geldiğidir. Dağılım bir araçtır, verinin bir özelliği değil; değişken ve denklem dersinden hatırlayacağın gibi, bir modelin en büyük varsayımı genellikle yazdığı değil, yazmadığı şeydir.

Kartın son cümlesi iki ayrı olguyu birleştiriyor. Küçük bir çalışmada ortalama zaten geniş dalgalanır, dolayısıyla bazı küçük çalışmalar şans eseri büyük bir etki bulur. Yayın yanlılığı da büyük etki bulanların yayımlanma şansını artırır. Küçük çalışmalarda büyük etki görülmesi bu yüzden iki nedenden birden beklenir.

Klinik gerçeklik

Bir ortalama ve yanında bir aralık gördüğünde ilk soru, çubuğun ya da ± işaretinin veri dağılımını mı yoksa tahminin dağılımını mı gösterdiği olmalı. Standart sapma ile standart hata en sık karışan çift ve aralarında örneklem büyüklüğünün karekökü kadar fark var; beş kişide bu 2,2 katı, yüz kişide on katı. Ardından örneklemin kaç kişi olduğuna bak, çünkü serbestlik derecesi hangi çarpanın doğru olduğunu belirler.

Örneklem küçükse aralığın t çarpanıyla mı yoksa 1,96 ile mi kurulduğunu sor; beş kişide ikisi arasındaki fark yüzde 42'lik bir genişlik farkıdır ve Derya Hanım'ın örneğinde olduğu gibi sıfırın içeride mi dışarıda mı kaldığını değiştirebilir. Sonra temel dağılımın biçiminin bildirilip bildirilmediğine bak, çünkü t normalliği varsayar ve küçük örneklemde bu varsayım sınanamaz. Yalnız bir nokta tahmini verilmişse, bildirim eksiktir.

Kendini sına

1. Veri dağılımı ile örnekleme dağılımını ayır. Derya Hanım'ın örneğinde hangi sayı hangisine karşılık geliyor?
2. Beş değişimin (0, 0, 4, 8, 8) standart sapmasını ve standart hatasını elle hesapla.
3. t dağılımı neden normalden kalın kuyruklu? İki belirsizlik kaynağını yaz.
4. Aynı beş ölçümle 1,96 ve 2,776 çarpanlarıyla iki aralık kur. Hangisi sıfırı içeriyor ve bu neden önemli?
5. Serbestlik derecesi ne? Beş sapmadan neden yalnız dördü serbest?
6. On ve otuz operatörde t çarpanının 1,96'ya oranını hesapla. t ile normal ne zaman aynılaşıyor?
7. t dağılımının sınırı ne? İki koşul neden ters yönde çalışıyor?
8. İkinci kart hangi iki olguyu birleştiriyor? "t bir düzeltmedir" neden yanlış?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste tek bir ortalamanın belirsizliğine baktın ve yayılımı tahmin etmenin kendi bedeli olduğunu gördün. Sıradaki ders sayım tablolarına geçiyor: iki grupta kaç kişinin hedefe ulaştığını gösteren dört kutulu bir tabloda, gözlenen sayıların "hiç fark olmasaydı" beklenecek sayılardan ne kadar uzaklaştığını tek bir ölçüye çeviren dağılım. O ölçünün neden bir standart normalin karesi gibi davrandığını ve bu derste yayılım tahmininin dalgalanması dediğimiz şeyle nasıl bağlandığını orada göreceksin.