Log-normal dağılım

Açılış sahnesi

Bir mikrobiyoloji laboratuvarında sabah on altı tüp yan yana duruyor ve her birine yüz bin hücre ekilmiş; bu derste bütün tüp sayıları bin hücre cinsinden. Bir düşünce deneyi olarak şunu varsay: dört dönem boyunca her tüpteki hücre sayısı, her dönemde yazı-tura atılmış gibi, ya ikiye katlanıyor ya yarıya iniyor. Dört dönemin sonunda bir tüpte 6.250 hücre kalmış, bir başkası 1,6 milyona ulaşmış. On altı tüpün ortalaması 244 bin çıkıyor, ama tüplerin on birinde 100 bin ya da daha az hücre var.

Histogramı çizdiğinde değerlerin solda toplandığını, sağa doğru tek bir yüksek tüpe uzanan bir kuyruk olduğunu görürsün. İlk yorum genellikle "bir aykırı değer var" olur ve çoğu zaman yanlıştır. Bu biçim bir kusur değil, çarpımsal bir sürecin doğal imzasıdır. Bu ders o biçim hakkında: adı log-normal dağılım.

Bu derste ne olacak

Önce log-normal dağılımı tanımlayacağız ve tüplerdeki sayıları kendin hesaplayarak biçimin nereden geldiğini göreceksin. Sonra aynı sürecin toplamsal hâlini kurup iki sonucu yan yana koyacağız. Ardından üç okumaya geleceğiz: hangi ortalama, hangi aralık, hangi aykırı değer. Her birini tüplerin ve Logaritma dersindeki titrelerin sayılarıyla yapacağız.

Sıfır noktası

Tanım bu kadar kısa, çünkü bütün işi logaritma yapıyor. Logaritma dersinde (L02-P01-M02-D04) gördüğün temel kural, logaritmanın çarpmayı toplamaya çevirmesiydi. Normal dağılım dersinde (L02-P02-M02-D04) ise çok sayıda küçük ve bağımsız katkının toplamının normale yaklaştığını görmüştün. İki kuralı birleştirince log-normalin nedeni ortaya çıkar: çok sayıda küçük ve bağımsız katkının çarpımı, logaritması alındığında bir toplama dönüşür ve bu yüzden log-normale yaklaşır.

Tüplerle elle kontrol et. Dört dönemde her tüp ya ×2 ya ×½ alıyor; kaç kez ikiye katlandığına göre beş sonuç var. Dört katlanma 100 × 16 = 1600, üç katlanma bir yarılanma 100 × 4 = 400, ikişer ikişer 100 × 1 = 100, bir katlanma üç yarılanma 100 ÷ 4 = 25, dört yarılanma 100 ÷ 16 = 6,25 verir. On altı eşit olasılıklı yoldan bu sonuçlara sırasıyla 1, 4, 6, 4 ve 1 tüp düşer. Değerler 6,25'ten 1600'e uzanıyor ve 100'ün altı ile üstü hiç de simetrik görünmüyor.

Şimdi aynı sayıların iki tabanlı logaritmasını 100'e göre al, yani her tüpün kaç kez net ikiye katlandığını say. Sonuçlar −4, −2, 0, 2 ve 4; tüp sayıları yine 1, 4, 6, 4, 1. Bu dizi sıfırın iki yanında birebir simetrik. Doğrusal ölçekte çarpık olan dağılım, logaritmik ölçekte düzgün bir çan başlangıcına dönüştü.

Karşılaştırmak için aynı süreci toplamsal kur: her dönemde hücre sayısına ya 20 ekleniyor ya 20 çıkarılıyor. Sonuçlar 20, 60, 100, 140 ve 180, tüp sayıları yine 1, 4, 6, 4, 1. Bu kez dağılım doğrusal ölçekte simetrik ve ortalama 100. İki sürecin tek farkı toplama ile çarpma; biri çan verir, öteki çarpık bir kuyruk.

Mekanizma

Biçimin üç özelliği

Log-normal biçimin ilk özelliği sağa çarpık olması. Sol tarafta bir sınır var, çünkü nicelik sıfırın altına inemez; tüpler yarılana yarılana 6,25'e iner ama hiçbir zaman negatif olmaz. Sağ tarafta ise sınır yok, her katlanma bir sonrakini büyütür.

İkinci özellik, ortalamanın ortancadan büyük olması. Tüplerin toplamı 1 × 6,25 + 4 × 25 + 6 × 100 + 4 × 400 + 1 × 1600 = 3906,25; on altıya bölünce ortalama 244,1 çıkar. Ortanca ise 100, çünkü sıralanmış on altı tüpün ortadaki ikisi de 100'lük gruptadır. Tek bir 1600'lük tüp ve dört 400'lük tüp, ortalamayı tüplerin çoğundan yukarı çekiyor.

Üçüncü özellik en sonuçlusu: uçlar normalden kalındır. Normal dağılımda ortalamadan uzaklaştıkça olasılık hızla düşer; log-normalde ise çok yüksek değerler normalin öngördüğünden belirgin biçimde daha sık görülür.

Tüplerle ölç. On altı değerin standart sapması yaklaşık 380. Normal varsayımıyla kurulan "ortalama artı iki standart sapma" üst sınırı 244 + 2 × 380 = 1004 eder. Normal bir dağılımda gözlemlerin yaklaşık yüzde 2,3'ü bu sınırın üstüne çıkar. Burada 1600'lük tüp sınırı aşıyor ve on altıda bir, yani yüzde 6,25. Normal varsayımıyla hesaplanan bir üst sınırın log-normal bir nicelikte sık aşılması sürpriz değil, varsayımın kusurudur.

Hangi ortalama

Logaritma dersindeki titre örneği bu sorunun en kısa hâliydi: beş titrenin aritmetik ortalaması 292, geometrik ortalaması 80 çıkmıştı. Aynı hesap tüplerde de geçerli. Tüplerin iki tabanlı logaritmalarının ortalaması (−4 × 1 + −2 × 4 + 0 × 6 + 2 × 4 + 4 × 1) ÷ 16 = 0; geri çevirince 100 × 2⁰ = 100. Geometrik ortalama 100, ortanca da 100, aritmetik ortalama ise 244.

Bu eşitlik rastlantı değil. Log-normal dağılımda geometrik ortalama ile ortanca birbirine eşittir, çünkü logaritmik ölçekte dağılım simetriktir ve simetrik bir dağılımda ortalama ile ortanca çakışır. Pratikte bu çok işe yarar: bir log-normal niceliğin geometrik ortalaması, "tipik gözlem ne?" sorusuna doğrudan cevap verir.

Üç ölçünün her biri farklı bir soruyu cevaplar. Aritmetik ortalama toplamın önemli olduğu durumda doğru ölçüdür: on altı tüpteki toplam hücre yükünü soruyorsan 244,1 × 16 = 3906 bin hücreyi veren odur. Geometrik ortalama tipik çarpımsal değeri, ortanca ise uç değerlerden en az etkilenen tipik gözlemi verir.

Akademide sonlanım, maruziyet ölçüsü ve ağırlıklandırma seçiminde karşına çıkan yapı burada merkezi eğilim için tekrarlanıyor. Özet ölçüsü hiçbir zaman tarafsız değildir; neyi özetlediğini seçer.

Aralıklar

İkinci okuma daha az bilinir. Normal dağılımda aralık toplamalı kurulur: merkezin altında ve üstünde eşit uzaklıklar. Log-normal dağılımda ise aralık çarpımsal kurulur: merkezin belirli bir bölümünden belirli bir katına.

Tüplerde merkez 100 ve logaritmik ölçekte iki birimlik, yani dört katlık bir aralık seç. Alt sınır 100 ÷ 4 = 25, üst sınır 100 × 4 = 400 olur ve bu aralık 25, 100 ve 400'lük gruplardaki 4 + 6 + 4 = 14 tüpü, on altının on dördünü kapsar. Doğrusal ölçekte alt sınır merkeze 75 uzak, üst sınır 300 uzak; logaritmik ölçekte ikisi de tam iki birim.

Bu, araştırma raporlarında bazı güven aralıklarının neden asimetrik göründüğünü açıklar. Risk oranı gibi göreli ölçüler çarpımsaldır ve log ölçekte çözümlenir; aralık orada simetrik kurulur, geri çevrildiğinde doğrusal ölçekte bir yana uzun, öbür yana kısa görünür.

Aykırı değer mi, kuyruk mu

Üçüncü okuma en sonuçlusu. Çarpık bir dağılımda yüksek değerler görüldüğünde iki yorum mümkündür: bunlar ölçüm hatası ya da başka bir sürecin ürünü olan aykırı değerlerdir, ya da dağılımın beklenen ve gerçek kuyruğudur. Ayrım önemlidir, çünkü birinci yorum onları atmayı meşrulaştırır.

Logaritma dersindeki titreleri bu gözle yeniden oku. Titreler 20'den başlayan ikişer katlı seyreltmelerle ölçülür, bu yüzden her titrenin 20'ye göre kaç katlanma olduğunu sayabilirsin: 20, 40, 40, 80 ve 1280 için 0, 1, 1, 2 ve 6. Doğrusal ölçekte ortanca 40'tan aşağı 20, yukarı 1240 birim uzanılıyordu; iki uzaklığın oranı 1240 ÷ 20 = 62. Logaritmik ölçekte ortanca 1'den aşağı 1, yukarı 5 adım var; oran 5 ÷ 1 = 5. Logaritma çarpıklığı 62'den 5'e indirdi ve geometrik ortalamayı da doğrudan verdi: 0, 1, 1, 2, 6'nın ortalaması 2, 20 × 2² = 80.

Ama 1280 logaritmik ölçekte bile öbür dört değerden dört adım uzakta duruyor. Beş kişilik bir veride bunun kalın bir kuyruğun parçası mı, yoksa farklı bir sürecin ya da bir ölçüm hatasının ürünü mü olduğunu yalnız sayıya bakarak söyleyemezsin. Bir gözlemin hata olup olmadığı büyüklüğünden değil, ölçüm sürecinden anlaşılır: numune doğru mu etiketlendi, seyreltme dizisi doğru mu okundu, o kişi başka bir nedenle yakın zamanda uyarılmış mı? Hangi gözlemlerin çıkarılacağı da veri görülmeden, önceden yazılmış bir ölçütle belirlenmelidir.

Kartın söylediğini titrelerde kendin gör. 1280'i çıkarırsan kalan dört değerin aritmetik ortalaması (20 + 40 + 40 + 80) ÷ 4 = 45 olur, yani tek bir gözlem ortalamayı 292'den 45'e indirir. Bu kadar büyük bir değişikliğin, gerekçesi önceden yazılmamış bir kararla yapılması sonucu seçime bağlar.

Klinik gerçeklik

Bir laboratuvar raporunda ya da makalede çarpık bir ölçümle karşılaştığında önce niceliğin çarpımsal bir süreçle üretilip üretilmediğini sor. Hücre çoğalması, seyreltme dizileri ve oranların birikmesi gibi süreçler katlarla işler ve log-normal biçim beklenir. Ardından hangi ortalamanın bildirildiğine bak: aritmetik ortalama tipik gözlemi değil toplamı tarif eder ve çarpık veride gözlemlerin çoğundan büyük çıkar.

Aralığın simetrik olup olmadığı en hızlı kontroldür. Çarpımsal bir nicelik için "ortalama artı eksi" biçiminde verilmiş bir aralık bir uyarı işaretidir; alt sınır sıfırın altına iniyorsa varsayımın yanlış olduğu kesinleşir. Son olarak uç gözlemlerin çıkarılıp çıkarılmadığını ve çıkarma ölçütünün veri görülmeden tanımlanıp tanımlanmadığını sor. Titre örneğinde tek bir gözlemin ortalamayı 292'den 45'e çektiğini gördün; o kararın gerekçesi raporda yazılı olmalı.

Kendini sına

1. Log-normal dağılımı tanımla. Logaritmanın hangi kuralı onu açıklıyor?
2. Normal dağılım dersindeki toplam cümlesini çarpma için yeniden yaz. Tüplerdeki toplamsal ve çarpımsal süreçleri karşılaştır.
3. Her dönemde ×3 ya da ×⅓ alan üç dönemlik bir süreçte, yüz bin hücreyle başlayan sekiz tüpün değerlerini ve tüp sayılarını yaz. Üç tabanlı logaritmaları simetrik mi?
4. Tüplerin aritmetik ortalamasını, ortancasını ve geometrik ortalamasını hesapla. Log-normalde hangi ikisi eşit ve neden?
5. Kalın kuyruğun pratik sonucu ne? Tüplerde "ortalama artı iki standart sapma" sınırı kaç tüp tarafından aşılıyor?
6. 100 merkezli, sekiz katlık bir çarpımsal aralığın sınırlarını hesapla. Doğrusal ölçekte neden asimetrik?
7. Titreleri 20'ye göre katlanma sayısına çevir. Logaritma çarpıklığı ne kadar azalttı? 1280 hakkında karar vermek için neye bakarsın?
8. Bir gözlemin hata olup olmadığı neye bakılarak belirleniyor? Çıkarma ölçütü ne zaman yazılmalı?

Bir sonraki derse köprü

Buraya kadar tek tek ölçümlerin, yani niceliklerin dağılımına baktın: tüplerin, titrelerin nasıl yayıldığına. Sıradaki derste bakış değişiyor ve bir örneklemden hesaplanan tahminin kendisinin dağılımına, yani örnekleme dağılımına geçiyoruz. Aynı tüpleri yeniden ekseydin başka bir ortalama bulurdun; t dağılımı bu dalgalanmayı, yayılım da aynı veriden tahmin edildiğinde ortaya çıkan ek belirsizlikle birlikte tarif ediyor (L02-P02-M02-D06).