Normal dağılım

Açılış sahnesi

Bir laboratuvar raporunda tek bir satır var: ölçülen değer 130, referans aralığı 71–129, satırın yanında küçük bir yıldız. Raporu okuyan kişi aynı gün bir istatistik kitabının kapağında "normal dağılım" başlığını görüyor ve iki kelimeyi birbirine bağlıyor: değeri normal değilse, kendisi de normal değil. Oysa iki "normal" aynı şeyi söylemiyor ve bu satırdaki yıldız, kişinin sağlığından çok o dağılımın bir hesabıyla ilgili.

Bu dersin konusu olan dağılımın adı talihsiz. "Normal" sözcüğü olağan, beklenen ya da sağlıklı olanı ima ediyor ve bunların hiçbiri doğru değil. Normal dağılım bir biçimdir, çan eğrisi; bir niceliğin bu biçimde dağılması ne iyi ne kötüdür ve birçok biyolojik nicelik bu biçimde dağılmaz. Ama referans aralıklarının çoğu bu biçimin bir hesabıyla kurulur ve rapordaki 130'un neden yıldız aldığı, o hesabı elle yapınca görünür.

Bu derste ne olacak

Önce dağılımı ve iki parametresini kuracak, bir ölçümün ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu z-puanıyla hesaplayacağız. Sonra her normal dağılımda aynı kalan oranlara, 68, 95 ve 99,7 kuralına ve yüzde doksan beşin tam sınırı olan 1,96'ya geleceğiz. Ardından bu dağılımın neden bu kadar sık karşımıza çıktığını göreceğiz; cevap verinin kendisiyle değil, toplamayla ilgili. Son bölümde iki ayrı "normal" kullanımının nasıl karıştığını ve normal varsayımının nerede yanıldığını ele alacağız.

Sıfır noktası

Ortalama eğrinin merkezini, standart sapma genişliğini belirler. Biçim hep aynı kalır; ortalama değişince eğri sağa sola kayar, standart sapma değişince genişler ya da daralır. Bu dersin kurgu ölçümünde sağlıklı bir referans grubunun ortalaması 100, standart sapması 15 olsun.

Normal dağılımın üç özelliği var. Simetriktir: ortalamanın iki yanı birbirinin ayna görüntüsüdür. Ortalama, ortanca ve tepe noktası aynı yerdedir; bu kurgu ölçümde üçü de 100. Uçlar hızla incelir: ortalamadan uzaklaştıkça bir değeri görme olasılığı çok hızlı düşer. Üçüncü özellik en çok sonuç doğuranıdır, çünkü biyolojide birçok nicelik tam burada, uçlarda, normalden ayrılır.

Rapordaki 130 için z = (130 − 100) ÷ 15 = 2; değer ortalamanın iki standart sapma üstünde. 85 için z = (85 − 100) ÷ 15 = −1, bir standart sapma altında. 145 için z = (145 − 100) ÷ 15 = 3. z-puanı bir ölçümü kendi biriminden kurtarır ve onu her normal dağılımda aynı olan bir cetvele koyar.

Mekanizma

Her çanda aynı oranlar

Normal dağılımda standart sapma güçlü bir okuma aracıdır, çünkü biçim sabittir. Ortalamanın bir standart sapma altı ile üstü arasında gözlemlerin yaklaşık yüzde 68'i, iki standart sapma arasında yaklaşık yüzde 95'i, üç standart sapma arasında yaklaşık yüzde 99,7'si bulunur. Kurgu ölçümde bu, 100 − 15 = 85 ile 100 + 15 = 115 arasında yüzde 68, 70 ile 130 arasında yüzde 95, 55 ile 145 arasında yüzde 99,7 demektir. Bu oranlar ölçümün ne olduğundan bağımsızdır; yalnız biçimden gelir.

"Yüzde 95" kısaltması biraz yuvarlanmış bir sayıdır. İki standart sapma tam olarak yüzde 95,4'ü kapsar; tam yüzde 95'i kapsayan sınır ortalamanın 1,96 standart sapma altı ve üstüdür. Bu katsayı istatistikte her yerde karşına çıkacak: yüzde doksan beşlik güven aralıklarında, ki-kare dağılımının eşiğinde, anlamlılık sınamalarında. Kurgu ölçümde 1,96 × 15 = 29,4 ve aralık 100 − 29,4 = 70,6 ile 100 + 29,4 = 129,4 arasıdır. Rapordaki 71–129 aralığı bu hesabın yuvarlanmış hâli.

Şimdi yıldızın nereden geldiğini görebilirsin. Aralık, sağlıklı referans grubunun ortadaki yüzde 95'ini kapsayacak biçimde kurulduysa, sağlıklı kişilerin yüzde 5'i tanım gereği dışarıda kalır: yaklaşık yüzde 2,5'i alt sınırın altında, 2,5'i üst sınırın üstünde. Bin sağlıklı kişilik bir grupta 1000 × 0,05 = 50 kişi aralık dışı bir değer alır ve bunların yaklaşık 25'i rapordaki gibi üst uçtadır. z-puanı 2 olan 130, bu yirmi beş kişiden biri olabilir.

Laboratuvar birimlerini dönüştürmeyi işleyen L02-P01-M01-D08, referans aralığını bir sağlık ölçütü değil bir dağılım tarifi olarak tanımlamıştı. Burada o tarifin hesabını gördün: aralık, belirli bir grubun dağılımından 1,96 standart sapma ile kesilmiş bir dilimdir. Kesimin dışında kalmak bir sapma değil, dağılımın kuyruğunda olmaktır.

Neden bu kadar sık karşımıza çıkıyor

Normal dağılımın yaygınlığı biyolojinin bir özelliği değil, toplamanın bir özelliğidir. Bir ölçüm çok sayıda küçük katkının toplamıysa, katkıların her biri ne biçimde dağılırsa dağılsın, toplamın dağılımı çana yaklaşır. Boy uzunluğunu çok sayıda genin ve çevresel etkinin küçük katkılarının toplamı olarak düşünebilirsin; tek bir katkı eğriyi belirlemez, toplam belirler.

Bu davranışın iki sonucu var. Birincisi, ölçümlerin ortalamaları normale yaklaşır, ölçümlerin kendisi normal olmasa bile; bir ortalama da n tane ölçümün toplamının n'e bölünmesidir. Kurgu ölçümde yirmi beş kişilik örneklemlerin ortalamalarını düşün: tek tek değerler 15 standart sapmayla yayılırken, ortalamalar 15 ÷ √25 = 15 ÷ 5 = 3 standart hatayla yayılır. Ortalamaların yüzde 95'i 100 ± 1,96 × 3, yani yaklaşık 94,1 ile 105,9 arasına düşer. Standart sapma gözlemlerin yayılımını, standart hata ortalamanın belirsizliğini tarif eder ve ikisi karıştırıldığında aralıklar beş kat farklı çıkar. Bu, çıkarımsal istatistiğin temelidir.

İkinci sonuç, toplamsal süreçlerin normale, çarpımsal süreçlerin ise başka bir biçime yol açmasıdır. Etkiler toplanıyorsa çan çıkar; etkiler katlarla birikiyorsa, örneğin hücreler bölündükçe ya da oranlar birbirinin üstüne bindikçe, dağılım sağa çarpılır. Buradan bir okuma aracı çıkıyor: bir niceliğin normal dağılıp dağılmadığını, onu üreten sürecin toplamsal mı çarpımsal mı olduğuna bakarak önceden tahmin edebilirsin.

Kartın son cümlesi bir sınır çiziyor. "Örneklem büyükse normal varsayılabilir" kuralındaki "büyük"ün ne kadar büyük olduğu verinin biçimine bağlıdır ve sabit bir sayı yoktur. Hafif çarpık bir ölçümde yirmi beş kişinin ortalaması çana yakın durabilir; uç değerleri sık olan bir ölçümde yüzlerce kişi bile yetmeyebilir.

İki farklı "normal"

Açılıştaki karışıklığa dön. Aynı sözcük iki ayrı şeyi adlandırıyor ve ikisi birbirinden bağımsız.

Bir nicelik normal dağılabilir ve kişinin değeri aralık dışında olabilir; rapordaki 130 tam olarak böyle, normal dağılan bir ölçümün kuyruğunda bir değer. Hiç normal dağılmayan bir nicelikte de değer aralığın içinde olabilir. İstatistiksel normal ölçümün bütün grubu hakkında bir şey söyler, klinik normal tek bir değer hakkında. Karışma, "bu değer normal değil" cümlesini "bu kişi hasta" diye duymaya yol açar; oysa bin sağlıklı kişiden elli tanesi o cümleyi tanım gereği duyacaktır.

Normal varsayımı nerede yanılır

Buraya kadarki bütün oranlar, 68, 95, 99,7 ve 1,96, tek bir koşula bağlı: dağılım gerçekten normal olmalı. Çarpık ya da kalın kuyruklu bir dağılımda aynı hesap ciddi biçimde yanılır ve en çok uçlarda yanılır, yani referans aralıklarının kesildiği yerde. Normal varsayımıyla kurulan bir aralık, sağa çarpık bir ölçümde alt sınırı gereğinden aşağıya, üst sınırı ise yine gereğinden aşağıya koyar; üst uçta beklenenden çok daha fazla sağlıklı kişi aralık dışı kalır.

Klinik gerçeklik

Bir ortalama ve standart sapma bildirimiyle karşılaştığında önce dağılımın biçiminin verilip verilmediğine bak, çünkü iki sayı tek başına yetmez. Sonra niceliğin nasıl üretildiğini düşün: çok sayıda küçük katkının toplamı mı, yoksa katlarla büyüyen bir süreç mi? Toplamsalsa 68–95–99,7 okuması büyük olasılıkla işe yarar; çarpımsalsa uçlarda yanılacaktır.

Bir raporda "normal" ya da "aralık dışı" sözcüğünü gördüğünde hangi anlamda kullanıldığını sor: bir biçim mi, bir sınıflandırma mı? Aralık dışı bir değeri z-puanına çevirmek çoğu zaman sakinleştirici bir hesaptır; z = 2 olan bir değer, sağlıklı yüz kişiden yaklaşık ikisinin aldığı bir değerdir. Son olarak aralığın normal varsayımıyla mı kurulduğunu öğrenmeye çalış; kurulduysa ve ölçüm çarpıksa, üst uçtaki yıldızlar beklenenden sık yanacaktır. Kendi sonucunun anlamı, bu soruların cevabıyla birlikte hekiminle konuşulacak bir konudur.

Kendini sına

1. Normal dağılımın iki parametresini ve üç özelliğini yaz.
2. Ortalaması 100, standart sapması 15 olan kurgu ölçümde 70 ve 115 değerlerinin z-puanı kaç?
3. 68–95–99,7 kuralını kurgu ölçümün sınırlarıyla yaz. Tam yüzde 95'in sınırı neden 2 değil 1,96?
4. Referans aralığı sağlıklı grubun ortadaki yüzde 95'i ise, iki bin sağlıklı kişiden kaçı aralık dışı kalır? Kaçı üst uçta?
5. Normal dağılımın yaygınlığının nedeni ne? Merkezî limit davranışının iki sonucunu say.
6. Yirmi beş kişilik örneklemlerde ortalamaların standart hatası kaç? Standart sapma ile standart hatayı karıştırmak aralığı ne kadar değiştirir?
7. İstatistiksel ve klinik "normal"i ayır. Bağımlılar mı? Aralık dışılığın tanımsallığı ne demek?
8. Vakadaki iki grupta aynı olan ne, farklı olan ne? Normal varsayımıyla kurulan aralık ikinci grupta nerede yanılıyor?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste toplamsal süreçlerin ürettiği biçimi hesapladın: çok sayıda küçük katkı toplandığında çan çıkıyor ve oranlar her çanda aynı kalıyor. Sıradaki derste katkılar toplanmıyor, katlanıyor. Logaritmanın çarpmayı toplamaya çevirmesi o dersin anahtarı olacak: sayının kendisi sağa çarpık dağılırken logaritması bu dersteki çana döner ve 68–95–99,7 okuması ancak o logaritmik ölçekte yeniden işe yarar.