Poisson dağılımı

Açılış sahnesi

Bir hastanenin kalite biriminde ay sonu toplantısı yapılıyor. Duvardaki panoda seyrek görülen bir istenmeyen olayın aylık sayıları var; geçmiş yılların ortalaması ayda iki olay. Bu ay pano beş gösteriyor. Masada ilk cümle hemen kuruluyor: "Bir şey değişti, nedenini bulmamız gerek."

Belki öyle. Ama çok daha az konuşulan bir ikinci olasılık var: seyrek olaylar zaten kümelenir. Rastgele gelen olaylar düzgün aralıklarla gelmez; bazı aylar boş geçer, bazılarında art arda gelir ve göz o kümelenmeyi bir örüntü olarak okur. Bu derste, ayda ortalama iki olay beklenen bir birimde beş olaylık bir ayın rastlantıyla ne kadar sık görüleceğini elle hesaplayacaksın.

Bu derste ne olacak

Önce Poisson dağılımını ve tek parametresini kuracak, ayda ortalama iki olay için sıfır, bir, iki ve daha fazla olayın olasılıklarını hesaplayacağız. Sonra en ayırt edici özelliğe, ortalama ile varyansın eşitliğine geleceğiz ve bunu iki farklı on iki aylık kayıt üzerinde bir sınamaya çevireceğiz. Ardından rastlantısal kümelenme sezgisini ve bir kamu sağlığı okumasını sayılarla göreceğiz. Son bölümde değişen olay hızının neden kümelenme gibi göründüğünü hesaplayacağız.

Sıfır noktası

Tek parametresi var: beklenen olay sayısı, genellikle λ harfiyle yazılır. Binom dağılımı dersinde (L02-P02-M02-D02) belirli sayıda denemedeki başarı sayısını görmüştün. Poisson, bu binomun seyrek olay limitidir: deneme sayısı çok büyük, her denemedeki olasılık çok küçük ve çarpımları sabit kaldığında binom Poisson'a yaklaşır. Bir ayda bin hasta işlemi yapılan ve her işlemde olayın olasılığı binde iki olan bir birim düşün. Beklenen sayı 1000 × 0,002 = 2. Binomla hiç olay görülmeme olasılığı 0,998¹⁰⁰⁰ = 0,1351, Poisson'la e⁻² = 0,1353. İki sonuç dördüncü basamağa kadar örtüşüyor.

Poisson'da k olay görme olasılığı e⁻λ × λᵏ ÷ k! formülüyle bulunur ve λ = 2 için elle hesaplanabilir. e⁻² ≈ 0,135 olduğundan sıfır olay için 0,135 çıkar. Bir olay için 0,135 × 2 ÷ 1 = 0,271, iki olay için 0,135 × 4 ÷ 2 = 0,271, üç olay için 0,135 × 8 ÷ 6 = 0,180, dört olay için 0,135 × 16 ÷ 24 = 0,090. Ayların yaklaşık yedide biri hiç olaysız geçer ve bu, hızın değiştiğini değil, ortalaması iki olan bir sürecin olağan hâlini gösterir.

Bu hesap üç varsayıma dayanır. Olaylar birbirinden bağımsızdır, biri ötekini tetiklemez; olay hızı süre ya da alan boyunca sabittir; ve aynı anda iki olay olmaz. Üçü de gerçek veride bozulabilir; bir dağılım varsayımı bozulduğunda belirsizliğin nasıl olduğundan küçük tahmin edildiği dağılım varsayımı dersinde (L02-P02-M02-D08) ayrıca ele alınıyor.

Mekanizma

Ortalama ile varyansın eşitliği

Poisson'un en ayırt edici özelliği, beklenen olay sayısı ile varyansın birbirine eşit olmasıdır. λ = 2 için bunu olasılıklardan kontrol edebilirsin: her olay sayısının 2'den uzaklığının karesini olasılığıyla çarpıp topla. Sıfır olay 4 × 0,135 = 0,541, bir olay 1 × 0,271 = 0,271, üç olay 1 × 0,180 = 0,180, dört olay 4 × 0,090 = 0,361 katkı verir. Beş ile sekiz arası olaylar da eklenince toplam 1,99'a ulaşır ve kalan küçük kuyrukla tam 2 olur.

Bu eşitlik doğrudan bir sınama verir. Gerçek bir sayım dizisinin varyansını ortalamasına bölersin; Poisson varsayımı geçerliyse sonuç bire yakın çıkmalıdır.

İki on iki aylık kayıtla dene. Birinci birimin aylık sayıları 0, 2, 3, 1, 4, 2, 1, 2, 0, 3, 5, 1; toplam 24, ortalama 2. Her ayın 2'den sapmasının karesi 4, 0, 1, 1, 4, 0, 1, 0, 4, 1, 9, 1 ve bunların toplamı 26. Varyans 26 ÷ 12 = 2,17, yayılım oranı 2,17 ÷ 2 = 1,08. Bu birim, rastgele ve sabit hızla gelen olaylar gibi davranıyor.

İkinci birimin sayıları 0, 0, 0, 7, 0, 0, 5, 0, 1, 2, 4, 5; toplam yine 24, ortalama yine 2. Sapma kareleri 4, 4, 4, 25, 4, 4, 9, 4, 1, 0, 4, 9 ve toplamları 72, varyans 72 ÷ 12 = 6, yayılım oranı 6 ÷ 2 = 3. Aynı ortalama, üç kat varyans. Binom dersinde aşırı yayılım adıyla gördüğün durum burada sayısal bir ölçüye kavuşuyor.

Oran birden büyükse olaylar kümelenmiştir: ya bağımsızlık ya sabit hız varsayımı bozulmuştur. İkinci birimde altı olaysız ay var, Poisson ise 12 × 0,135 = 1,6 bekliyor; beş ya da daha fazla olaylı üç ay var, Poisson 12 × 0,053 = 0,6 bekliyor. Oran birden küçükse olaylar beklenenden düzenlidir ve bir düzenleyici mekanizmayı düşündürür. Her iki durumda da oran bir tanı aracıdır, çünkü verinin hangi varsayımı bozduğunu gösterir.

Rastlantı kümelenir

Şimdi açılıştaki panoya dön. Ortalama iki olan bir süreçte beş ya da daha fazla olay görme olasılığı 1 − (0,135 + 0,271 + 0,271 + 0,180 + 0,090) = 0,053, yani bir ay için yaklaşık yüzde 5. Kulağa nadir geliyor. Ama pano on iki ay boyunca izleniyor ve yıl içinde en az bir ayın beşe ulaşma olasılığı 1 − 0,947¹² = 0,48. Hiçbir şey değişmeden, yılların neredeyse yarısında böyle bir ay görülür.

Birinci birimin kaydı bunu zaten gösteriyordu. Yayılım oranı 1,08 olan, yani rastlantıyla tamamen uyumlu o dizide iki olaysız ay ve bir beş olaylı ay var. İnsan sezgisi ise tersini bekler.

Kartın bulgusu bir okuma kuralı veriyor. Bir kümelenme görmek, bir açıklama gerektirdiğinin kanıtı değildir. Önce rastlantı altında beklenen kümelenme hesaplanır, ancak gözlenen onu aşıyorsa açıklama aranır.

Kamu sağlığı okuması

Aynı mantık mekâna da uygulanır. Bir bölgede seyrek bir durumun beklenenden çok görülmesi ya gerçek bir nedenden ya da rastlantısal kümelenmeden kaynaklanabilir. Ayırt etmek için o bölgede beklenen sayı ve onun dalgalanması hesaplanır; Poisson bunu verir. Her birinde dönem başına iki olay beklenen yirmi bölge düşün. Tek bir bölgede altı ya da daha fazla olay görme olasılığı yaklaşık 0,017. Yirmi bölgeden en az birinde bunun görülme olasılığı ise 1 − 0,9834²⁰ ≈ 0,28, yani her dört dönemden birinden fazlasında bir bölge "üç kat fazla" görünecek.

Daha ince bir sorun da var. Bölgeler ve dönemler çoğu zaman veriden önce tanımlanmaz; küme görüldükten sonra onu kapsayacak biçimde çizilir.

Bu, alt grup avcılığının mekân ve zaman hâlidir ve çözümü de aynıdır: sınır, veriye bakılmadan önce çizilir. Çoklu karşılaştırmanın kuralı da burada geçerli. Yirmi bölgede bu olasılık yüzde 28'di; bölge ve dönem sayısı arttıkça bire yaklaşır ve yeterince geniş bir taramada bir yerde bir kümelenme çıkması neredeyse kesinleşir.

Kartın son cümlesi iki aşamayı ayırıyor. Rastlantıyı elemek, bir neden bulmak değildir. Birinci aşama "bu sayı şansla açıklanabilir mi?" sorusunu, ikinci aşama "açıklanamıyorsa ne neden oldu?" sorusunu cevaplar ve ikincisi kendi kanıtını ister.

Hız değişiyorsa

Poisson olay hızının sabit olduğunu varsayar, ama gerçekte hız mevsime, yaşa ya da döneme göre değişebilir. Değişen hızın ne yaptığını sayıyla gör. Bir birimde ayların yarısında beklenen sayı 1, yarısında 3 olsun; ortalama yine 2. Her ayın kendi içindeki Poisson dalgalanması ortalama olarak 2'lik bir varyans getirir. Buna hızın kendi dalgalanması eklenir: 1 ile 3'ün ortalamadan uzaklığı birer birim, kareleri birer, ortalamaları 1. Toplam varyans 2 + 1 = 3, yayılım oranı 3 ÷ 2 = 1,5.

Tek bir olay bile ötekini tetiklemediği hâlde oran birin üstüne çıktı. Değişen hız, kümelenme gibi görünür ve ikisi ayırt edilmeden yorum yapılamaz. Yayılım oranı bir şeylerin Poisson'dan saptığını söyler, ama bunun bağımsızlığın bozulmasından mı, hızın değişmesinden mi geldiğini tek başına söylemez.

Klinik gerçeklik

Bir sayım ya da kümelenme bildirimiyle karşılaştığında önce beklenen sayıyı sor, çünkü bir karşılaştırma olmadan "fazla" sözcüğü tanımsızdır. Beklenen sayı biliniyorsa gözlenen sayının rastlantı altında ne kadar olası olduğunu Poisson'la kendin hesaplayabilirsin; ortalaması iki olan bir süreçte beş olay, tek bir ay için yüzde 5, bir yıl içinde bir kez için yüzde 48 olasılık taşır. Geçmiş dönemlerin sayıları varsa yayılım oranını hesapla. Bire yakınsa rastlantı yeterli bir açıklamadır; belirgin biçimde büyükse kümelenme ya da değişen hız vardır ve bunlar ayrıca araştırılmalıdır.

Ardından sınırın ne zaman çizildiğini sor: bölge ve dönem veriden önce mi tanımlandı, yoksa küme görüldükten sonra onu kapsayacak biçimde mi? Son olarak kaç bölge ve dönemin incelendiğini öğren; yirmi bölgeden birinde üç kat fazlalık görmek, tek bir önceden belirlenmiş bölgede görmekten çok daha az şey söyler. Sınırın ne zaman çizildiği bu dersin asıl ölçütüdür ve en sık ihlal edilenidir.

Kendini sına

1. Poisson dağılımını ve tek parametresini tanımla. Binomla ilişkisi ne? Bin denemede binde iki olasılık için iki yöntemle sıfır olay olasılığını karşılaştır.
2. λ = 2 için sıfır, bir, iki, üç ve dört olay olasılıklarını hesapla.
3. Poisson'un üç varsayımını yaz.
4. En ayırt edici özellik ne? λ = 2 için varyansın 2'ye yaklaştığını ilk birkaç terimle göster.
5. 1, 1, 2, 3, 2, 3 aylık sayılarının yayılım oranını hesapla. Oranın üç durumunu açıkla.
6. Ortalaması iki olan bir süreçte on iki aylık bir yılda en az bir ayın beş ya da daha fazla olay göstermesi olasılığı neden yaklaşık yarı yarıya?
7. Sınırın sonradan çizilmesi hangi hatanın mekân hâli? B rozetli ikinci kartın ayırdığı iki aşama ne?
8. Beklenen sayısı ayların yarısında 1, yarısında 3 olan bir birimin yayılım oranı neden birden büyük? Vakadaki üçüncü açıklamayı bununla ilişkilendir.

Bir sonraki derse köprü

Buraya kadar sayımlara baktın: kaç tane, kaç kez. Poisson'un ve binomun değerleri tam sayılardı ve olasılıklar tek tek sayılar için hesaplanıyordu. Sıradaki derste sürekli niceliklere geçiyoruz ve karşına istatistiğin en çok kullanılan, en çok varsayılan biçimi çıkacak. Adındaki "normal" sözcüğünün olağan ya da sağlıklı anlamına gelmediğini ve referans aralığındaki "normal" ile karıştırılmaması gerektiğini de orada göreceksin (L02-P02-M02-D04).