Binom dağılımı

Açılış sahnesi

Bernoulli dağılımı dersindeki fizik tedavi polikliniğine geri dönüyoruz. İlk turda on hastanın üçü yanıt vermişti; ikinci turda yine on hasta programı bitiriyor ve bu kez yalnız ikisi "en az 4 puan düşüş" eşiğini geçiyor. Aylık toplantıda sorumlu hekim tabloyu gösterip soruyor: "Yanıt oranı %30'dan %20'ye düştü. Program kötüleşti mi?"

Cevap için tek bir sayıya bakmak yetmiyor. Programın gerçek yanıt olasılığı hiç değişmemiş, hâlâ 0,3 olsa bile, on kişilik bir grupta tam iki yanıt görme olasılığı yaklaşık 0,23. Yani her dört-beş turdan birinde, hiçbir şey değişmeden bu tablo çıkar. Bu ders o dalgalanmanın büyüklüğünü hesaplamak hakkında, çünkü bir farkın gerçek mi yoksa dalgalanma mı olduğunu ancak dalgalanmanın ne kadar olduğunu bilerek söyleyebilirsin.

Bu derste ne olacak

Önce binom dağılımını ve iki parametresini tanımlayıp on hastalık grup için olasılıkları elle hesaplayacağız. Sonra beklenen sayının ve dalgalanmanın grup büyüdükçe nasıl değiştiğini, n = 10 ile n = 100'ü karşılaştırarak göreceğiz. Ardından bu modülün en kullanışlı sonucuna geleceğiz: küçük gruplarda oranlar neden bu kadar oynak? Son bölümde varsayımlar bozulduğunda ne olduğunu, yani aşırı yayılımı, yirmi poliklinikli bir örnekle ölçeceğiz.

Sıfır noktası

Bernoulli dersinde tek bir hastaya baktık: yanıt verir ya da vermez, başarı olasılığı 0,3. Binom aynı soruyu gruba sorar: bu on hastada kaç yanıt çıkacak?

İki parametresi var: deneme sayısı (burada 10) ve başarı olasılığı (burada 0,3). Bernoulli'nin taşıdığı varsayımlar tekrar sayısına genişletilerek aynen geçiyor. Her denemede olasılık aynı olmalı, yani Bernoulli dersindeki homojenlik varsayımı her hasta için geçerli. Denemeler, L02-P02-M01-D05'te kurulan anlamda birbirinden bağımsız olmalı ve deneme sayısı önceden belli olmalı. İlk ikisi sağlıkta sık bozuluyor ve her birinin bozulması ayrı bir iz bırakıyor.

Mekanizma

On hastada kaç yanıt: olasılıkları elle hesaplamak

Tam üç yanıt olasılığını adım adım kuralım. Belirli üç hastanın yanıt verip kalan yedisinin vermemesinin olasılığı 0,3 × 0,3 × 0,3 × 0,7⁷ = 0,027 × 0,0824 ≈ 0,00222. Ama hangi üç hastanın yanıt verdiği önemli değil ve on kişiden üç kişi seçmenin 120 yolu var. Bu yüzden 120 × 0,00222 ≈ 0,267. Açılıştaki gibi tam iki yanıt için aynı mantıkla 45 seçim yolu var ve olasılık 45 × 0,09 × 0,7⁸ ≈ 0,234 çıkıyor.

Tabloyu okurken dikkat et: en olası tek sonuç olan "tam üç" bile ancak dört turdan birinde çıkıyor. Gerçek olasılık 0,3'te sabitken bir turun %50 ya da üzerinde yanıt oranı göstermesi 0,103 + 0,047 = 0,15, yani yedi turdan birinde; %10 ya da altı göstermesi de 0,028 + 0,121 ≈ 0,15. Açılıştaki hekimin gördüğü %20, bu tablonun en sıradan satırlarından biri.

Beklenen sayı ve dalgalanma

Beklenen başarı sayısı sezgiseldir: deneme sayısı çarpı olasılık, 10 × 0,3 = 3. Varyans da Bernoulli varyansının deneme sayısıyla çarpımı: 10 × 0,3 × 0,7 = 2,1. Standart sapma bunun karekökü, yaklaşık 1,45 yanıt. Sezgisel olmayan kısım bu karekökte saklı ve dersin çekirdeği orada.

Grubu yüz hastaya büyütelim. Beklenen sayı 100 × 0,3 = 30, varyans 100 × 0,3 × 0,7 = 21, standart sapma yaklaşık 4,58. Deneme sayısı on katına çıktı ama dalgalanma yalnız √10 ≈ 3,2 katına çıktı. Şimdi aynı şeyi oran olarak yaz: oranın standart sapması, sayınınkinin deneme sayısına bölümü. On hastada 1,45 ÷ 10 ≈ 0,145, yani yaklaşık 14,5 yüzde puanı; yüz hastada 4,58 ÷ 100 ≈ 0,046, yani 4,6 yüzde puanı.

Kuralı sayılarla sına: yüz hastadan dört yüz hastaya geçtiğinde oranın standart sapması 4,6'dan yaklaşık 2,3 yüzde puanına iniyor, tam yarısına. Kesinliği iki katına çıkarmak için örneklemi dört katına çıkarmak gerekiyor. Bu tek hesap, büyük çalışmaların neden bu kadar pahalı, küçük çalışmaların neden bu kadar oynak olduğunu birlikte açıklıyor.

Küçük gruplarda oranlar neden oynak

On kişilik bir grupta tek bir hastanın yer değiştirmesi oranı 10 yüzde puanı kaydırıyor; yüz kişilik grupta aynı hasta oranı yalnız 1 puan oynatıyor. Bunun iki somut sonucu var. Birincisi, uç oranlar küçük gruplarda sık görülür: yukarıda hesapladığımız gibi, gerçek olasılık 0,3 iken on kişilik bir grubun %50 ya da üstü göstermesi 0,15. Yüz kişilik bir grupta aynı şeyin, yani en az elli yanıtın olasılığı yaklaşık 0,00002, yüz binde iki kadar.

İkinci sonuç sıralamalarda görünür. Aynı programı uygulayan ve gerçek yanıt olasılıkları aynı, 0,3 olan yirmi poliklinik düşün; her biri on hasta görüyor. Beklenen olarak 20 × 0,15 = 3 poliklinik %50 ya da üstüyle "en başarılılar" listesine, yaklaşık 3 poliklinik de %10 ya da altıyla "en başarısızlar" listesine girer. Aralarında hiçbir gerçek fark yok; sıralama, grup büyüklüğünün yarattığı dalgalanmayı yansıtıyor.

Bu, alt grup analizinin neden yanıltıcı olabildiğinin aritmetik temeli: alt gruplar küçüktür, dalgalanma büyüktür ve uç sonuç olasıdır. L01-P06-M01-D04'teki alt grup avcılığı tam bu aritmetiğin üzerine kurulu. Bir de yazım uyarısı var: on kişilik bir gruptan çıkan oranı "%20,0" diye yazmak, standart sapması 14,5 puan olan bir sayıya ondalık basamak eklemektir. L02-P01-M01-D01'de adı konan sahte kesinlik bu.

Sayım mı, oran mı

Bu iki hesap yan yana konunca sık karışan bir okuma ayrımı ortaya çıkıyor. Binom dağılımı bir sayıyı tarif ediyor, yani kaç kişide yanıt görüldüğünü; oran ise o sayının deneme sayısına bölünmüşü. On hastadan yüz hastaya geçerken sayının standart sapması 1,45'ten 4,58'e çıktı, oranınki 14,5 puandan 4,6 puana indi. İkisi çelişmiyor, çünkü biri mutlak, diğeri oransal dalgalanma. Bu yüzden hangisinin bildirildiği önemli: büyük bir çalışmada olay sayısı çok dalgalanıyor gibi görünebilir ama oran çok kararlıdır.

Varsayımlar bozulduğunda

Bağımsızlık ya da homojenlik bozulursa, gözlenen dalgalanma modelin öngördüğünden büyük çıkar. Bunu yirmi poliklinik örneğiyle ölçelim ama bu kez poliklinikler gerçekten farklı olsun: yarısında gerçek yanıt olasılığı 0,5, yarısında 0,1; ortalama yine 0,3. Poliklinik başına on hastada beklenen yanıt sayısı birinci yarıda 5, ikinci yarıda 1. Sayıların toplam varyansı iki parçadan oluşur: poliklinik içi dalgalanmanın ortalaması (10 × 0,5 × 0,5 + 10 × 0,1 × 0,9) ÷ 2 = (2,5 + 0,9) ÷ 2 = 1,7 ve poliklinikler arası farkın varyansı ((5 − 3)² + (1 − 3)²) ÷ 2 = 4.

Toplam 1,7 + 4 = 5,7, oysa tek olasılıklı binom 2,1 öngörüyordu; gözlenen yayılım öngörülenin 5,7 ÷ 2,1 ≈ 2,7 katı. Bernoulli dersinde homojenliğin bozulmasını tek kişinin tekrarlı ölçümünde görmüştük; burada aynı izi poliklinikler arasında görüyorsun. Tek başına bakıldığında her iki durumda da genel oran %30 ve yalnız yayılım farkı ele veriyor.

Bu bir tanı aracı: aşırı yayılım görüldüğünde yanlış olan veri değil, modeldir. Modülün dağılım varsayımı dersinde bu gözlem bir yönteme dönüşecek. Ters yönü daha az bilinir: gözlenen değişkenlik öngörülenden çok küçükse bu da bir işarettir, veri fazla düzgündür ve bunun bir açıklaması gerekir.

Klinik gerçeklik

Bir oran ya da sayım bildirimiyle karşılaştığında ilk soru her zamanki gibi paydadır: kaç gözlem üzerinden? On kişilik bir gruptan çıkan %20 ile yüz kişilik bir gruptan çıkan %20 aynı ağırlığı taşımaz. Ardından belirsizlik aralığının verilip verilmediğine bak ve bildirilen şeyin bir sayım mı yoksa oran mı olduğunu ayır, çünkü ikisinin belirsizliği grup büyüdükçe ters yönde davranır. Son olarak gözlemlerin bağımsız olup olmadığını sor; aynı poliklinikten, aynı aileden ya da aynı kişiden gelen tekrarlı gözlemler varsa aralık olduğundan dar çıkar.

Açılıştaki hekimin sorusuna bu dört soruyla dönebilirsin. Payda on, sonuç tek bir tur ve %20 ile %30 arasındaki fark, 14,5 puanlık standart sapmanın çok içinde. Programın kötüleşip kötüleşmediğini söylemek için daha çok tura ya da daha büyük gruplara ihtiyaç var; şimdiki cevap "bu veriyle bilemiyoruz".

Kendini sına

1. Binom dağılımının iki parametresini ve üç varsayımını yaz. Hangisi Bernoulli dersindeki homojenlik varsayımından geliyor?
2. n = 10, p = 0,3 için tam dört yanıt olasılığını hesapla. (İpucu: on kişiden dört kişi seçmenin 210 yolu var, 0,7⁶ ≈ 0,118.)
3. n = 20, p = 0,3 için beklenen yanıt sayısını, varyansı ve oranın standart sapmasını hesapla.
4. Karekök kuralını yaz. Oranın standart sapmasını 4,6 puandan 2,3 puana indirmek için grup kaç kişiye çıkmalı?
5. Aynı olasılığa sahip yirmi poliklinikten neden yaklaşık altısı "en iyi" ya da "en kötü" listesine giriyor?
6. Sayının dalgalanması grup büyüdükçe artarken oranınki neden azalıyor?
7. Yirmi poliklinik örneğinde gözlenen varyans neden binomun öngördüğünden büyük çıktı? Hangi varsayım bozuldu?
8. Vakadaki iki çalışma neden "aynı sonuç" gibi görünüyor ve bu görüntüyü ne düzeltir?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste deneme sayısı belliydi: on hasta, yüz hasta. Şimdi bir bölgede bir yıl boyunca görülen seyrek bir olayı düşün; deneme sayısı binlerce kişi, her birinde olasılık çok küçük. Bin kişi ve 0,002 olasılıkla beklenen sayı 1000 × 0,002 = 2, varyans 1000 × 0,002 × 0,998 ≈ 1,996, yani ortalama ile varyans neredeyse eşitleniyor. Sıradaki ders deneme sayısının belli olmadığı bu sayımlara geçiyor: belirli bir sürede kaç olay beklenir, rastlantı nasıl kümelenir ve ortalama ile varyansın eşitliği neyi sınamaya izin verir (L02-P02-M02-D03).