Bernoulli dağılımı

Açılış sahnesi

Bir fizik tedavi polikliniğinde, dört haftalık programın son gününde bir hemşire on hastanın ağrı skorundaki düşüşü deftere yazıyor. Skor 0 ile 10 arasında ve düşüşler şöyle: 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 7 puan. Protokolün son sütununda tek bir soru var: "Yanıt verdi mi?" Poliklinik bunu "en az 4 puan düşüş" diye tanımlamış, bu yüzden sütuna üç "evet", yedi "hayır" yazılıyor ve rapora "yanıt oranı %30" diye geçiyor.

Aynı defterde iki şey daha saklı. Skoru 3 puan düşen iki hasta, 4 puan düşen hastadan yalnız bir puan uzakta ama "yanıtsız" sayıldı; 7 puan düşen hasta ise 4 puan düşenle aynı kutuya girdi. Eşik 3 puan olsaydı, hiçbir hastanın durumu değişmeden oran %50'ye çıkacaktı. Bu ders iki sonuçlu tek bir gözlemin matematiğini kuruyor ve sağlıkta ölçtüğümüz şeylerin çoğunun bu biçime bir kararla indirildiğini gösteriyor.

Bu derste ne olacak

Önce Bernoulli denemesini ve tek parametresini tanımlayacağız. Sonra beklenen değeri ve varyansı elle hesaplayıp değişkenliğin olasılıkla nasıl değiştiğini göreceğiz. Ardından sürekli bir ölçümü iki sonuca indirmenin bedelini açılıştaki defter üzerinden ölçeceğiz. Son bölümde bu modülün her dersinde soracağımız soruyu ilk kez soracağız: bu dağılım hangi varsayımları taşıyor?

Sıfır noktası

En yalın rastlantı, iki sonuçlu tek bir denemedir: oldu ya da olmadı, pozitif ya da negatif, yanıt verdi ya da vermedi. Bu kadar basit bir şeyin ayrı bir adı olması gereksiz görünebilir. Ama bütün olasılık dağılımları bu en basit durumun üzerine kuruluyor ve onun taşıdığı varsayımlar sonraki her dağılıma aktarılıyor.

Hesap yapabilmek için iki sonuca sayı veririz: başarıya 1, başarısızlığa 0. Açılıştaki defterde "evet" 1, "hayır" 0 oluyor. Bu kodlamanın güzel bir yan etkisi var: sütundaki sayıları toplayıp hasta sayısına bölersen doğrudan oranı bulursun, çünkü 3 ÷ 10 = 0,3.

Bir dağılımı bilmek, onun parametrelerini bilmek demektir. Bernoulli'de iş kolay: başarı olasılığını söylediğinde başarısızlık olasılığını da söylemiş olursun, çünkü ikisinin toplamı 1. Başarı olasılığı 0,3 ise başarısızlık olasılığı 1 − 0,3 = 0,7 ve dağılım hakkında söylenecek başka bir şey kalmıyor.

Mekanizma

Beklenen değer ve değişkenlik

Bunu elle görelim. Başarı olasılığı 0,3 olan bir denemede her sonucu olasılığıyla çarpıp toplarsın: 0 × 0,7 + 1 × 0,3 = 0,3. Beklenen değer 0,3 çıkıyor, oysa deneme hiçbir zaman 0,3 vermiyor; ya 0 ya 1 veriyor. Bir ortalamanın hiçbir gözlemin değeri olmak zorunda olmadığını ilk kez burada, en yalın hâliyle görüyorsun. On hastalık bir grupta bu, beklenen yanıt sayısının 10 × 0,3 = 3 olması anlamına geliyor; tek tek hastalar için ise "0,3 yanıt" diye bir şey yok.

Varyansı da tanımından hesaplayalım: her sonucun beklenen değerden uzaklığının karesini alır, olasılığıyla ağırlıklandırırsın. Sonuç 0 ise uzaklık 0,3 ve karesi 0,09; sonuç 1 ise uzaklık 0,7 ve karesi 0,49. Ağırlıklı toplam 0,7 × 0,09 + 0,3 × 0,49 = 0,063 + 0,147 = 0,21. Kısa yol da aynı sayıyı veriyor: 0,3 × 0,7 = 0,21. Standart sapma bunun karekökü, yaklaşık 0,46.

Bu çarpımın pratikte çok işe yarayan bir özelliği var: değişkenlik, olasılık ortadayken en yüksek. Başarı olasılığı 0,5 olduğunda varyans 0,5 × 0,5 = 0,25 ile tepe noktasına çıkıyor. Olasılık 0,1'e inince 0,1 × 0,9 = 0,09'a, 0,01'e inince 0,01 × 0,99 ≈ 0,0099'a düşüyor. Sezgisel nedeni açık: sonucun neredeyse kesin olduğu durumda sürpriz azdır, ortada ise her deneme gerçekten belirsizdir. Seyrek olayların sayımında bu davranışın ayrı bir biçim aldığını modülün Poisson dağılımı dersinde göreceksin.

İkiye indirmenin bedeli

Sağlıkta ölçülen şeylerin çoğu doğası gereği ikili değil. Ağrı derece derece azalıyor, bir bulgu sürekli bir ölçekte duruyor, bir iyileşme kısmi olabiliyor. Bunları iki sonuca indirmek bir karar ve bu karar bir kesme değeri içeriyor. Tanımsal eşiğin nasıl seçildiği ve neyi değiştirdiği L02-P01-M02-D06'da parçalı ilişkiler üzerinden işlenmişti.

Kaybı açılıştaki defterde sayabilirsin. On düşüşün toplamı 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 7 = 28, ortalaması 28 ÷ 10 = 2,8 puan; bu sayı programın ağrıyı ortalamada ne kadar azalttığını söylüyor. İkili sütun ise yalnız "üç kişi eşiği geçti" diyor ve 3 puanla 4 puan arasındaki bir puanlık farkı, 4 puanla 7 puan arasındaki üç puanlık farktan daha önemli sayıyor. Kesme değeri 3'e çekildiğinde yanıt veren sayısı beşe çıkıyor ve oran 5 ÷ 10 = 0,5 oluyor; hastalar aynı, yalnız tanım değişti.

Kartın son cümlesi dengeyi koruyor. Bir karar bir noktada ikili olmak zorundadır: bir hasta programa devam eder ya da etmez. Sorun kararın ikili olması değil, çözümlemenin de ikili yapılması ve 2,8 puanlık ortalamanın rapora hiç girmemesi.

Varsayımlar

Bu modülün her dersinde aynı soruyu soracağız: model neyi varsayıyor? Bernoulli modeli önce sonucun gerçekten iki kategorili olduğunu, ya da ikileştirmenin gerekçelendirildiğini varsayıyor. Sonra tek bir denemeden söz ettiğini; birden çok denemenin birlikte sayılması ayrı bir dağılımın işi. Son olarak başarı olasılığının o deneme için tanımlı ve sabit olduğunu varsayıyor.

Üçüncüsü masum görünüyor ama değil. Başarı olasılığı kişiden kişiye değişiyorsa, tek bir parametreyle tarif edilen bir Bernoulli bir topluluğu tarif etmiyor. Açılıştaki poliklinikte "yanıt olasılığı 0,3" dediğimizde, her hastanın aynı 0,3'ü taşıdığını söylemiş oluyoruz.

Bozulduğunda ne olduğunu bir hesapla görelim. Yüz kişilik bir grubun yarısının yanıt olasılığı 0,5, yarısınınki 0,1 olsun; ortalama olasılık (0,5 + 0,1) ÷ 2 = 0,3. Tek bir ölçümde bu grup, herkesin 0,3 taşıdığı bir gruptan ayırt edilemez: rastgele seçilen bir kişinin yanıt verme olasılığı yine 0,3 ve varyans yine 0,3 × 0,7 = 0,21. Fark ancak aynı kişiler ikinci kez ölçülünce görünür. Homojen grupta birinin iki ölçümde de yanıt verme olasılığı 0,3 × 0,3 = 0,09; karışık grupta (0,5 × 0,5 + 0,1 × 0,1) ÷ 2 = 0,26 ÷ 2 = 0,13.

Yani yüz kişide homojen grupta yaklaşık dokuz, karışık grupta yaklaşık on üç kişi iki kez yanıt veriyor. Kişiler kendi içinde tutarlı olduğu için aynı kişiler tekrar tekrar yanıt veriyor ve değişkenlik, tek parametreli modelin öngördüğünden büyük çıkıyor. L02-P02-M02-D02'deki binom dağılımı bu fazlalığa bir ad veriyor, Poisson dağılımı dersi ise onu bir tanı aracına çeviriyor.

Kartın son cümlesi önemli bir uyarı taşıyor: "yanıt veren" ve "vermeyen" ayrımı tek bir ölçümden çıkarılamıyor. Yukarıdaki hesap bunun nedenini gösteriyor, çünkü tek ölçümde iki grup aynı sayıları veriyordu. İkinci ölçüm bile ayrımı ancak kabaca yapıyor; gerçek fark ile ölçümün kendi dalgalanmasını ayırmak daha fazla tekrar ister.

Klinik gerçeklik

Bir ikili sonuç oranıyla karşılaştığında önce sonucun doğası gereği mi ikili olduğunu, yoksa sürekli bir ölçümden mi indirildiğini sor. İndirildiyse kesme değerinin ne olduğunu ve nasıl seçildiğini, veriye bakılmadan mı konduğunu öğrenmek istersin. Ardından sürekli çözümlemenin de yapılıp yapılmadığına bak; açılıştaki raporda "%30" yanında "ortalama 2,8 puan düşüş" de yazsaydı okur çok daha fazlasını bilirdi. Son olarak herkesin aynı olasılığı taşıyıp taşımadığını sor, çünkü bir oran bu soruyu kendiliğinden cevaplamaz.

Bu son soru modülün geri kalanına açılan kapı. Bir dağılım seçmek, bir homojenlik iddiası taşır ve iddianın tutup tutmadığı ancak tekrarlı ölçümle ya da alt grup bilgisiyle sınanabilir. Sonraki dağılımların her biri aynı soruyu biraz daha karmaşık bir biçimde yeniden soracak.

Kendini sına

1. Başarı olasılığı 0,2 olan bir Bernoulli denemesinin beklenen değerini ve varyansını tanımdan hesapla, sonra kısa yolla doğrula.
2. Varyans hangi olasılıkta en yüksek? 0,5, 0,1 ve 0,9 için hesaplayıp karşılaştır. 0,1 ile 0,9 neden aynı çıkıyor?
3. Beklenen değer neden gerçekleşemeyecek bir sayı olabiliyor? On kişilik bir grupta bu ne anlama geliyor?
4. Açılıştaki defterde kesme değeri 5 puan olsaydı oran kaç olurdu? Hangi bilgi kaybolurdu?
5. İkileştirmenin bedelini açılıştaki on düşüş üzerinden iki cümleyle anlat.
6. B rozetli kartın koruduğu denge ne?
7. Yarısının olasılığı 0,6, yarısınınki 0 olan bir grupta ortalama olasılık kaç? İki ölçümde de yanıt verme olasılığı kaç, homojen grupla karşılaştır.
8. C rozetli kart neden "yanıt verenler" alt grubunun tek ölçümden tanımlanamayacağını söylüyor?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste tek bir denemeye baktık ve on hastalık bir grupta beklenen yanıt sayısının 10 × 0,3 = 3 olduğunu hesapladık. Ama aynı on hasta yeniden ölçülse her seferinde tam üç yanıt çıkmaz; bazen iki, bazen beş çıkar. Sıradaki ders aynı denemeyi tekrarlayıp başarı sayısının nasıl dağıldığını kuruyor: bu dalgalanmanın grup büyüdükçe nasıl değiştiğini ve küçük gruplardan hesaplanan oranların neden bu kadar oynak olduğunu (L02-P02-M02-D02).