Tanısal test olasılık ağacı

Açılış

Bir laboratuvar sonucunun başında oturduğunu düşün: kâğıtta tek bir sözcük var, "pozitif". Testin kutusunda duyarlılığın yüzde 90, özgüllüğün yüzde 95 olduğu yazıyor. Akla gelen ilk cevap, bu kişide durumun büyük ihtimalle var olduğudur. Bu derste o cevabın ne kadar yanıltıcı olabileceğini bin kişilik bir ağacı kendi elinle doldurarak göreceksin.

Bu bir uygulama görevi: modülün yedi dersi tek bir çizim üzerinde bir araya geliyor. Önce senaryoyu okuyup ağacı kendin çiz, sonra çözümle karşılaştır. Görevin tamamı yaklaşık kırk dakika sürüyor.

Kurgu senaryo

Kurgu değerler

Bir grupta durumun sıklığı (yaygınlık): yüzde 2, yani elli kişide bir.

Durumu olanlarda test pozitif çıkma oranı (duyarlılık): yüzde 90.

Durumu olmayanlarda test negatif çıkma oranı (özgüllük): yüzde 95.

Görevin şu: bin kişilik bir grupta ağacı çiz ve iki soruyu cevapla. Birinci soru, test pozitif çıkanların ne kadarında durumun gerçekten var olduğu; bu oran pozitif öngörü değeridir. İkinci soru, test negatif çıkanların ne kadarında durumun gerçekten olmadığı; bu da negatif öngörü değeridir. Kendi hesabını yap, sonra aşağıdaki çözümle karşılaştır.

Çözüm — ağacı açalım

Grubu böl

Bayes teoremi dersindeki beş adımı sayımla uygulayacağız. İlk iki adım grubu seçmek ve önsel olasılığa göre bölmek. Bin kişinin yüzde 2'si 1000 × 0,02 = 20 kişi eder; durumu olmayanlar 1000 − 20 = 980 kişi. İlk gözlem burada yapılır: iki dal çok farklı büyüklükte, biri yirmi, öteki dokuz yüz seksen kişi. Sonucun tamamını bu asimetri belirleyecek.

Her dala testi uygula

Üçüncü adımda test iki dala ayrı ayrı uygulanır. Durumu olan yirmi kişide duyarlılık yüzde 90, yani 20 × 0,90 = 18 kişi pozitif çıkar; bunlar doğru pozitiflerdir. Kalan 20 − 18 = 2 kişi durumu olduğu hâlde negatif çıkar ve yanlış negatif olur.

Durumu olmayan dokuz yüz seksen kişide özgüllük yüzde 95, yani 980 × 0,95 = 931 kişi doğru biçimde negatif çıkar. Kalan 980 − 931 = 49 kişi durumu olmadığı hâlde pozitif çıkar; bunlar yanlış pozitiflerdir. Ağacın dört ucu 18, 2, 49 ve 931 ve toplamları 18 + 2 + 49 + 931 = 1000. Bu, örneklem uzayı dersindeki kontrolün kendisi: dört uç ayrık ve birlikte bütün grubu tüketiyor.

Soruları cevapla

Dördüncü ve beşinci adımda gözlemin görüldüğü kişiler sayılır ve soru sorulur. Pozitif çıkanlar iki daldan gelir: 18 + 49 = 67 kişi. Bunların yalnız on sekizinde durum var, dolayısıyla pozitif öngörü değeri 18 ÷ 67 ≈ 0,27. Pozitif çıkan her dört kişiden yaklaşık üçünde durum yok.

Şaşırtıcı olan bu. Test hem durumu olanların çoğunu yakalıyor hem de olmayanların çoğunu doğru ayırıyor; buna rağmen pozitif bir sonuç, durumu olma olasılığını yüzde 2'den yalnız yüzde 27'ye çıkardı. Nedeni sayılarda açıkça görünüyor: 49 yanlış pozitif, 18 doğru pozitiften fazla, çünkü yüzde 5'lik küçük bir hata dokuz yüz seksen kişilik büyük bir dala uygulandı.

Negatif çıkanlar ise 2 + 931 = 933 kişi ve bunların yalnız ikisinde durum var. Negatif öngörü değeri 931 ÷ 933 ≈ 0,998; negatif çıkan birinde durumun bulunma olasılığı 2 ÷ 933 ≈ 0,002, yani binde iki. Bu grupta negatif sonuç çok bilgilendirici, pozitif sonuç çok daha az.

Aynı sonucu olasılık oranıyla da sağlayabilirsin. Önsel olasılık oranı 20'ye 980, yani 2'ye 98. Pozitif sonucun olabilirlik oranı 0,90 ÷ 0,05 = 18. İkisinin çarpımı 36'ya 98 eder ve 36 ÷ (36 + 98) = 36 ÷ 134 ≈ 0,27. Sayım ile oran aynı sonuca varıyor, çünkü ikisi aynı kuralın iki yazımı.

Yedi dersin izi

Ağacın her parçası modülün bir dersinden geliyor. Dört ucun toplamının bine eşit olması örneklem uzayının bölümlenmesidir: uçlar ayrık ve tüketici. Bütün hesabın "bu grupta" geçerli olması referans sınıfı fikridir; taban oranı farklı bir grupta bütün sayılar değişir. Pozitif çıkanların iki ayrık daldan gelip toplanması, 18 + 49 = 67, birleşimin toplama kuralıdır ve dallar ayrık olduğu için geçerlidir.

Koşullu olasılık dersinin iki yönü burada iki ayrı paydada görünür. Verilen bilgi "durum varsa pozitif" idi ve paydası yirmi kişiydi; sorulan "pozitifse durum var mı" ve paydası altmış yedi kişi. Bağımsızlık dersi bir uyarı ekler: bu hesap tek bir test için. Aynı biyolojik özelliği ölçen ikinci bir test ilkinden bağımsız değildir ve iki testin sonuçları doğrudan çarpılamaz.

Altmış yedi sayısı toplam olasılık kuralıyla kuruldu: iki dalın katkısının toplamı. Son olarak Bayes teoremi dersindeki güncelleme (L02-P02-M01-D07) ağacın tamamını özetler. Önsel yüzde 2 idi, sonsal yüzde 27 oldu; kanıt önseli değiştirdi ama yerine geçmedi.

Üç okuma

Taban oran belirleyici

Aynı testi, durumun yüzde 20 sıklıkla görüldüğü bir grupta uygula. Bin kişinin 200'ünde durum var, 800'ünde yok. Durumu olanlarda 200 × 0,90 = 180 doğru pozitif ve 20 yanlış negatif; olmayanlarda 800 × 0,95 = 760 doğru negatif ve 40 yanlış pozitif çıkar. Pozitif öngörü değeri 180 ÷ (180 + 40) = 180 ÷ 220 ≈ 0,82 olur.

Test hiç değişmedi, duyarlılık ve özgüllük aynı kaldı; yalnız uygulandığı grup değişti ve pozitif öngörü değeri yüzde 27'den yüzde 82'ye çıktı. Testin değeri testin kendisinde değil, uygulandığı gruptadır. Koşullu olasılık dersindeki "aynı test, iki grup" vakası bunu sözle söylemişti, burada sayıyla gördün. Seyrek bir durumu genel nüfusta aramanın çok sayıda yanlış pozitif üretmesinin aritmetik temeli de budur; tarama testlerini işleyen programdaki tartışmanın altında bu hesap yatar.

İki yön çok farklı

Yüzde 2'lik grupta pozitif sonucun bilgisi düşük, negatif sonucun bilgisi yüksekti. Yüzde 20'lik grupta tablo kayıyor: negatif öngörü değeri 760 ÷ 780 ≈ 0,974'e iniyor ve negatif çıkanların 20 ÷ 780 ≈ 0,026'sında, yani kırk kişide yaklaşık birinde durum var. Aynı test iki yönde eşit bilgi taşımaz ve hangi yönün güçlü olduğu taban orana bağlıdır.

Bu asimetri her testte var. Yalnız bir yönü konuşmak, örneğin "test hastalığı yüzde 90 yakalıyor" demek, testin bir kişinin sonucu hakkında ne söylediğini yanlış anlatır. Tanısal okuryazarlık programındaki pozitif öngörü değeri dersinde (L01-P05-M02-D04) bu oranın paydasının pozitif çıkanlar olduğu vurgulanmıştı; ağaç o paydayı gözle görünür kılıyor.

Oran olarak verildiğinde kaybolan sayılar

Aynı hesap yalnız yüzdelerle yapılsaydı sonuç aynı çıkardı ama görülmezdi. On sekiz ile kırk dokuzu yan yana görmek, kırk dokuzun nereden geldiğini anlatır: küçük bir hata oranı, büyük bir gruba uygulanmış. "Yüzde 5 yanlış pozitif" cümlesi bunu gizler, "dokuz yüz seksen kişiden kırk dokuzu" cümlesi gösterir. Bayes teoremi dersindeki A rozetli kart bunun ölçülmüş hâlidir.

İkinci kartın son cümlesi az konuşulan ama önemli bir şey söylüyor. Aynı şeyi ölçen ikinci bir test, ilk testin hatasını tekrarlar: altmış yedi pozitifin kırk dokuz yanlış pozitifi, ilk testi yanıltan aynı özellik yüzünden ikinci testte de pozitif çıkabilir. İkinci basamak ancak farklı bir özelliği ölçtüğünde bu kırk dokuz kişiyi ayırabilir.

İkinci görev — kendi ağacın

Şimdi sıra sende. Aynı testi, durumun yüzde 10 sıklıkla, yani on kişide birde görüldüğü bir grupta uygula ve bin kişilik ağacı yeniden çiz. Dört ucu doldur, pozitif ve negatif öngörü değerini hesapla ve bunları yüzde 2 ile yüzde 20'lik gruplardaki sonuçlarla bir tabloda yan yana koy.

Sonra iki soru sor. Pozitif sonucun bilgisi taban oran arttıkça ne kadar arttı, negatif sonucunki ne oldu? Ardından son soruyu cevapla: bu testi hangi grupta yapmak anlamlı? Cevap testin özelliklerinden değil, taban orandan çıkıyor. Görevin tamamı bu son adım: bir testin değeri, kime uygulandığından ayrılamaz.

Modülün kapanışı

Sekiz derste olasılığın omurgasını kurduk: örneklem uzayı, olasılığın yorumu ve referans sınıfı, birleşim ve kesişim, koşullanma, bağımsızlık, toplam olasılık ve güncelleme. Modülün ortak bulgusu yedisinden de çıktı ve akademinin en eski vurgusunun olasılık hâli: her olasılık bir paydaya aittir ve payda genellikle yazılmaz. Bu ağaçta 0,27 ile 0,90 arasındaki bütün fark, birinin paydası altmış yedi pozitif, ötekinin paydası yirmi hasta olmasından geliyordu.

Örneklem uzayı paydadır; koşullanmak paydayı daraltır; referans sınıfı paydayı seçer; toplam olasılık paydayı alt gruplardan kurar. Bayes hesabında sonucu belirleyen şey, paydanın nasıl bileştiğidir. Oran ve yüzdeyi işleyen dersten beri her sayının önce paydasına bakma alışkanlığının neden bu kadar merkezî olduğunu bu modül gösterdi.

Bu modülün bir sonucu daha var: L01'de sezgiyle kullandığın araçlar burada biçimsel olarak kuruldu. Risk ölçüleri ve tanısal okuryazarlık programlarında pozitif öngörü değerini ve taban oran yanılgısını kurallarını bilmeden kullanmıştın; o kurallar ilk kez bu modülde açıkça yazıldı. Bu akademide okuma sırası kavramların kullanımını, kuralların yazılışından önce getirir ve bu bilinçli bir tercihtir: önce aracı kullanıp neden gerektiğini görürsün, sonra nasıl çalıştığını öğrenirsin.

Sıradaki modül olasılıkları tek tek olaylardan dağılımlara taşıyor. İlk dersi, bu ağaçtaki "pozitif ya da negatif" sonucu gibi iki sonuçlu tek bir gözlemin matematiğini kuruyor ve sağlıkta ölçülen şeylerin çoğunun bu iki sonuçlu biçime bir eşik kararıyla indirildiğini gösteriyor (L02-P02-M02-D01).