Bayes teoremi

Açılış sahnesi

Salı öğleden sonra bir aile sağlığı merkezinde hemşire, hızlı test şeridini hekimin masasına bırakıyor: iki çizgi, sonuç pozitif. Kutunun içindeki bilgi notunda iki sayı yazıyor. Aranan durumu olan kişilerin yüzde 85'inde test pozitif çıkıyor; durumu olmayanların yüzde 7,5'inde de pozitif çıkıyor. Merkezin kayıtlarına göre bu yaş grubunda durumun sıklığı yüzde 4.

Danışan tek bir şey soruyor: "Yani bende var mı?" Bilgi notundaki yüzde 85 cevabı veriyormuş gibi duruyor, ama o sayı "durum varsa test pozitif mi?" sorusunun cevabı. Danışanın sorusu bunun tersi: "test pozitifse durum var mı?" Bu derste iki sorunun arasındaki köprüyü kuran hesabı öğreneceksin ve açılıştaki danışan için cevabın yüzde 85 değil, yüzde 32 civarında olduğunu iki ayrı yoldan bulacaksın.

Bu derste ne olacak

Önce güncellemenin üç parçasına ad vereceğiz ve teoremin formülünü koşullu olasılığın tanımından türeteceğiz. Sonra açılıştaki sonucu formülle hesaplayacak, ardından aynı hesabı bin kişiyi sayarak yeniden yapacak ve iki yolun aynı sayıya vardığını göreceğiz. Üçüncü bölümde hesaptan üç okuma çıkaracağız: taban oranın gücü, ayırt ediciliğin anlamı ve negatif sonucun taşıdığı bilgi. Son olarak güncellemenin birikmesine ve bunun bir koşuluna geleceğiz.

Sıfır noktası

Koşullu olasılığı işleyen L02-P02-M01-D04, aynı sözcüklerle kurulan iki cümlenin, paydaları farklı olduğu için çok farklı sayılar verdiğini göstermişti. Orada iki yönün arasında duran şeyin adı taban oran idi: bir durumun, hiçbir bilgi edinilmeden önce o gruptaki sıklığı. Bayes teoremi bu boşluğu dolduran hesap. Elindeki iki bilgiyi, yani başlangıçtaki olasılığı ve gözlemin ne kadar ayırt edici olduğunu alır ve üçüncüsünü, gözlemden sonraki olasılığı verir.

Açılıştaki sayıları bu adlara yerleştir. Önsel yüzde 4; olabilirliğin iki parçası yüzde 85 ve yüzde 7,5; sonsal ise danışanın sorduğu, henüz bilinmeyen sayı. Teoremin söylediği şey şu: sonsal olasılık, önselin gözlemle güncellenmiş hâlidir. Yeni bilgi eskisinin yerine geçmez, onu değiştirir. Akıl yürütme programındaki fikir değiştirmenin erdemi dersinde sözle kurulan orantılı güncelleme ilkesi, yani güçlü kanıtın büyük, zayıf kanıtın küçük kayma getirmesi, bu hesabın aritmetiğe dökülmüş hâli.

Mekanizma

Formülü kurmak

Koşullu olasılığın tanımıyla başla: B'nin gerçekleştiği bilindiğinde A'nın olasılığı, P(A | B) = P(A ve B) ÷ P(B). Aynı tanımı ters yönde de yazabilirsin: P(B | A) = P(A ve B) ÷ P(A). İkinci eşitliği P(A) ile çarptığında pay yalnız kalır: P(A ve B) = P(B | A) × P(A). Bunu birinci eşitliğin payına koyduğunda teorem ortaya çıkar: P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B).

Formülün her parçası, az önce adlandırdığın bir şeye karşılık gelir. P(A) önseldir, P(B | A) olabilirliktir, P(A | B) sonsaldır. Geriye yalnız payda kalıyor: gözlemin, durum olsun olmasın, toplamda ne sıklıkla görüldüğü. Bu payda iki grubun katkısının toplamıdır ve toplam olasılık kuralını işleyen L02-P02-M01-D06 onu tam böyle kurmuştu: durumu olanlardan gelen pozitifler artı durumu olmayanlardan gelen pozitifler. Bayes teoremi, toplam olasılık kuralının ters yönü gibi okunabilir; orada parçalardan bütüne gidiyordun, burada bütünden bir parçaya dönüyorsun.

Formülle hesap

Açılıştaki danışan için A "durum var", B "test pozitif" olsun. Pay, olabilirlik ile önselin çarpımı: 0,85 × 0,04 = 0,034. Paydanın birinci parçası bu sayının kendisi. İkinci parçası, durumu olmayanlardan gelen pozitifler: 0,075 × 0,96 = 0,072. Payda ikisinin toplamı, 0,034 + 0,072 = 0,106. Sonsal olasılık 0,034 ÷ 0,106 ≈ 0,32.

Sonucu yüzdeye çevirdiğinde anlamı netleşir. Test pozitif çıktığında durumun bulunma olasılığı yüzde 4'ten yaklaşık yüzde 32'ye çıktı. Bu sekiz kattan fazla bir artış, dolayısıyla test gerçekten bilgi taşıyor. Ama pozitif sonuç alan her üç kişiden yaklaşık ikisinde durum yok. Bilgi notundaki yüzde 85 ile danışanın yüzde 32'si arasındaki farkın tamamı paydadan geliyor: 0,106'lık paydanın 0,072'si, yani üçte ikiden fazlası, durumu olmayanlardan geliyor.

Sayımla kurmak

Aynı hesabı hiç formül yazmadan, kişi sayarak da yapabilirsin. Yol beş adımdan oluşuyor. Birinci adımda bir grup düşünürsün; burada bin kişi, sayı serbestçe seçilebilir, yeter ki yeterince büyük olsun. İkinci adımda grubu önsel olasılığa göre bölersin: durumu olanlar ve olmayanlar. Üçüncü adımda gözlemi iki gruba ayrı ayrı uygularsın. Dördüncü adımda gözlemin görüldüğü kişileri sayarsın; bu kişiler iki gruptan birden geliyor. Beşinci adımda sorarsın: bu kişilerin ne kadarı durumu olanlardan? Cevap sonsal olasılıktır.

Şimdi açılışın sayılarıyla yürü. Bin kişinin yüzde 4'ünde, yani 1000 × 0,04 = 40 kişide durum var; 1000 − 40 = 960 kişide yok. Durumu olan kırk kişiden 40 × 0,85 = 34'ünde test pozitif çıkar. Durumu olmayan dokuz yüz altmış kişiden 960 × 0,075 = 72'sinde de pozitif çıkar. Pozitiflerin toplamı 34 + 72 = 106 kişi ve bunlardan otuz dördünde durum var: 34 ÷ 106 ≈ 0,32.

İki yol aynı sayıya vardı ve bu bir rastlantı değil. Formüldeki 0,034, bin kişilik gruptaki otuz dört kişinin binde biri; 0,106 da yüz altı kişinin binde biri. Dördüncü adımın paydası, yani pozitiflerin toplamı, formüldeki P(B)'nin kendisi ve toplam olasılık kuralı orada sessizce çalışıyor. Farkı yapan şey sunuş: "yüzde 7,5 yanlış pozitif" cümlesi yetmiş iki kişiyi gizler, "dokuz yüz altmış kişiden yetmiş ikisi" cümlesi onları masaya koyar.

Üç okuma

İlk okuma taban oranın gücü. Aynı testi, aynı iki çizgiyi, belirtileri nedeniyle bir uzmanlık polikliniğine yönlendirilmiş ve durumun sıklığının yüzde 40 olduğu bir grupta düşün. Formülle pay 0,85 × 0,40 = 0,34, paydanın ikinci parçası 0,075 × 0,60 = 0,045, payda 0,34 + 0,045 = 0,385 ve sonsal 0,34 ÷ 0,385 ≈ 0,88. Bin kişiyle sayarsan dört yüz kişiden 340'ı, altı yüz kişiden 45'i pozitif çıkar ve 340 ÷ 385 yine yaklaşık 0,88 verir. Test değişmedi; yalnız önsel değişti ve aynı sonuç yüzde 32 yerine yüzde 88 anlamına geldi.

İkinci okuma ayırt ediciliğin anlamı. Bir gözlemin değeri, iki durumda ne kadar farklı sıklıkta görüldüğünden gelir; tek başına ne kadar sık ya da çarpıcı olduğundan değil. Durumu olanların da olmayanların da yüzde 60'ında görülen bir yakınma düşün. Bin kişilik grupta kırk kişinin 40 × 0,60 = 24'ünde, dokuz yüz altmış kişinin 960 × 0,60 = 576'sında görülür; toplam 600 kişinin 24 ÷ 600 = 0,04'ünde durum var. Sonsal önsele eşit kaldı: gözlem ne kadar yaygın olursa olsun, iki grupta eşit sıklıktaysa hiçbir şey söylemez. Akıl yürütme programındaki rakip hipotezler dersinin ayırt edici kanıt kuralı ve tanısal okuryazarlık programındaki duyarlılık ile özgüllük ölçüleri, bu tek aritmetik gerçeğin iki farklı yüzü.

Üçüncü okuma negatif sonucun bilgisi. Test negatif çıktığında da olasılık değişir, bu kez aşağı doğru. Formülle: durum varken negatif çıkma olasılığı 1 − 0,85 = 0,15, negatif sonucun toplam olasılığı 1 − 0,106 = 0,894 ve sonsal 0,15 × 0,04 ÷ 0,894 = 0,006 ÷ 0,894 ≈ 0,0067. Sayımla: kırk kişinin altısı, dokuz yüz altmış kişinin 888'i negatif çıkar ve 6 ÷ 894 aynı sayıyı verir. Yüzde 4'lük önsel, negatif bir sonuçla binde yediye yakın bir değere indi. Bir gözlem, göründüğünde de görünmediğinde de bilgi taşır; yalnız pozitif sonucu konuşmak bilginin yarısını atmak demektir.

Güncelleme birikir

Bir gözlem işlendikten sonra elinde bir sonsal olasılık kalır. İkinci bir gözlem geldiğinde, o sonsal yeni önsel olur. Açılıştaki danışan için bu, ikinci bir değerlendirmenin artık yüzde 4'ten değil yüzde 32'den başlaması demek; aynı ikinci test, ilkinden önce yapılsaydı vereceğinden çok farklı bir sonuç verir.

Zincirin bir koşulu var: gözlemler, durum bilindiğinde birbirinden bağımsız olmalı. Bağımsızlık dersinin koşullu bağımsızlık kavramı tam olarak bunu tarif ediyor. Aynı şeyi ölçen iki gözlem arka arkaya uygulandığında, ikincisi birincinin verdiği bilgiyi yeniden sayar ve sonuç olduğundan daha kesin çıkar. Yetmiş iki yanlış pozitifi yanıltan özellik aynı biyolojik işareti ölçen ikinci bir testi de yanıltıyorsa, ikinci pozitif sonuç neredeyse hiç yeni bilgi getirmez; bağımsızlık dersinin etkin bilgi miktarı kavramının güncelleme tarafı budur.

Klinik gerçeklik

Bir sonucu yorumlarken ilk soru önselin ne olduğudur: bu gözlemden önce, bu kişinin içinde bulunduğu grupta durum ne kadar bekleniyordu? Bu soru en çok atlanan ve sonucu en çok belirleyen sorudur, çünkü açılıştaki testin aynı iki çizgisi yüzde 4'lük grupta yüzde 32, yüzde 40'lık grupta yüzde 88 anlamına geliyordu. Ardından gözlemin ne kadar ayırt edici olduğuna bakarsın; iki durumdaki sıklıkların farkına, tek başına duyarlılığa değil.

Sonra hesabı sayımla kurarsın. Bin kişiyi böl, gözlemi iki gruba uygula, gözlemin görüldüğü kişileri say ve bunların kaçının durumu olanlardan geldiğini sor. Son olarak negatif sonucu da hesapla, çünkü o da bir güncellemedir ve çoğu zaman pozitif sonuçtan daha kesin konuşur. Bu dört alışkanlık, bir kişinin elindeki sonucu testin kutusundaki sayıyla karıştırma hatasının büyük bölümünü önler.

Kendini sına

1. Açılıştaki bilgi notundaki yüzde 85 hangi sorunun cevabı? Danışanın sorusu hangisi?
2. Önsel, olabilirlik ve sonsalı tanımla ve açılıştaki sayıları bu üç ada yerleştir.
3. P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B) formülünü koşullu olasılığın tanımından türet. Paydayı hangi kuralla hesaplarsın?
4. Sayımla kurmanın beş adımını yaz. Dördüncü adımın paydası formüldeki hangi terime eşit?
5. Açılıştaki testin yanlış pozitif oranı yüzde 7,5 yerine yüzde 2,5 olsaydı sonsal kaç olurdu? Hem formülle hem bin kişiyle hesapla.
6. İki grupta aynı sıklıkta görülen bir gözlem neden sonsalı değiştirmez? Yüzde 60'lık örneği kendi sayılarınla yeniden kur.
7. Negatif sonuç neden bir güncellemedir? Açılıştaki testte negatif sonuçtan sonra olasılık kaça iniyor?
8. Ardışık güncellemenin koşulu ne? Vakadaki iki farklı sonsal bir tutarsızlık mı?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste bin kişiyi iki gruba böldün ve dikkatini çoğunlukla pozitif çıkanlara verdin; negatif sonucu yalnız bir kez, kenardan hesapladın. Sıradaki derste aynı sayım bir çizime dönüşüyor: bir tanısal testin bin kişiyi dört uca dağıttığı bir olasılık ağacı. Bu kez ağacı sen dolduracaksın ve pozitif sonucun ardından kalan olasılığa pozitif öngörü değeri, negatif sonucun ardından kalana negatif öngörü değeri adını vereceksin. Aynı testin bu iki yönde neden eşit bilgi taşımadığı ağacın uçlarında görünür hâle geliyor (L02-P02-M01-D08).